задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
§ 5. Выделение полных квадратов Приведём полезные формулы возведения в квадрат для суммы нескольких слагаемых: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc, (a + b + c + d) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd. § 5. Выделение полных квадратов 49 Пример 5.1. Найдите все значения a, при которых уравнение (x 2 − 6|x| + a) 2 + 10(x 2 − 6|x| + a) + 26 = cos 16π a имеет ровно два различных корня. Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению (x 2 − 6|x| + a) 2 + 2 · 5(x 2 − 6|x| + a) + 25 + 1 − cos 16π a = 0 ⇔ ⇔ (x 2 − 6|x| + a + 5) 2 + 1 − cos 16π a = 0. Функция (x 2 − 6|x| + a + 5) 2 и величина 1 − cos(16π/a) неотрицатель- ны при всех значениях переменных. Мы получили, что сумма неот- рицательных слагаемых равна нулю. Это имеет место тогда и только тогда, когда эти слагаемые обращаются в нуль одновременно, т. е. исходное уравнение равносильно системе ( x 2 − 6|x| + a + 5 = 0, 1 − cos 16π a = 0 ⇔ ( (|x| − 3) 2 = 4 − a, a = 8 n , n ∈ Z, ⇔ ⇔ a ¶ 4, |x| = 3 ± p 4 − a, a = 8 n , n ∈ Z. Совокупность уравнений |x| = 3 ± p 4 − a имеет ровно два корня в том и только в том случае, когда либо p 4 − a = 0, либо 3 − p 4 − a < 0, т. е. либо a = 4, либо a < −5. Следовательно, значения a должны принадлежать множеству (−∞; −5) ∪ {4}, откуда с учётом условия a = 8 n , n ∈ Z, ⇔ a = ±8, ±4, ± 8 3 , . . . находим два значения a = 4, a = −8, которые принадлежат множеству (−∞; −5) ∪ {4}. Ответ: a = 4; a = −8. Пример 5.2. Для каждого значения a решите уравнение 9a 2 + log 2 2 x + 3 arccos(x − 1) − (3a − 1) log 2 x 2 − 6a + 1 = 0. Решение. Преобразуем исходное уравнение: 9a 2 + log 2 2 x + 3 arccos(x − 1) − (3a − 1) log 2 x 2 − 6a + 1 = 0 ⇔ ⇔ log 2 2 x − 2 · (3a − 1) log 2 x + 9a 2 − 6a + 1 + 3 arccos(x − 1) = 0 ⇔ 50 Часть 1. Решение задач ⇔ log 2 2 x − 2 · (3a − 1) log 2 x + (3a − 1) 2 + 3 arccos(x − 1) = 0 ⇔ ⇔ (log 2 x − 3a + 1) 2 + 3 arccos(x − 1) = 0. Поскольку функции (log 2 x − 3a + 1) 2 и 3 arccos(x − 1) неотрицатель- ные, исходное уравнение равносильно системе ¨ log 2 x − 3a + 1 = 0, 3 arccos(x − 1) = 0 ⇔ ( a = 2 3 , x = 2. Ответ: если a = 2/3, то x = 2; при других a решений нет. Пример 5.3. Для каждого значения a решите уравнение sin 2 x +sin 2 2x +sin 2 3x −2a(sin x +sin 2x +sin 3x)+cos x −cos 3x +2a 2 =0. Решение. Приведём два решения данного примера. I. Преобразуем cos x − cos 3x в произведение синусов: cos x − cos 3x = 2 sin x sin 2x и сгруппируем слагаемые 1 : sin 2 x +sin 2 2x + a 2 −2a(sin x +sin2x)+2sin x sin2x + +(a 2 +sin 2 3x − 2a sin 3x) = 0 ⇔ (sin x + sin 2x − a) 2 +(sin3x −a) 2 =0. Но поскольку сумма квадратов — число неотрицательное, каждое сла- гаемое, являющееся полным квадратом, равно нулю, т. е. sin x + sin 2x = a, sin 3x − a = 0 ⇔ sin x + sin 2x = sin 3x, a = sin 3x ⇔ ⇔ ( 2 sin 3x 2 cos x 2 = 2 sin 3x 2 cos 3x 2 , a = sin 3x ⇔ ⇔ ( sin 3x 2 sin x sin x 2 = 0, a = sin 3x. Решим уравнение sin(3x/2) sin x sin(x/2) = 0. Поскольку из равенства sin(x/2) = 0 следует, что sin x = 0, получаем эквивалентное уравнение sin(3x/2) sin x = 0, решая которое находим x = πm, x = 2πn/3, m, n ∈ Z. Из равенства a = sin 3x следует, что для всех найденных x выполнено равенство a = 0. 1 Здесь мы используем формулу квадрата суммы трёх слагаемых (a + b + c) 2 = = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc. Тренировочные задачи к § 5 51 Получаем следующий ответ: если a = 0, то x = πm, 2πn/3, m, n ∈ Z; при a 6= 0 решений нет. II. Приведём второе решение исходного уравнения. Уравнение можно рассмотреть как квадратное относительно a. Воспользовав- шись формулой разности косинусов cos x − cos 3x = 2 sin x sin 2x, мы получаем 2a 2 − 2a(sin x + sin 2x + sin 3x) + + sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x + 2 sin x sin 2x = 0. Найдём дискриминант данного уравнения: D 4 = (sin x + sin 2x + sin 3x) 2 − − 2(sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x + 2 sin x sin 2x) = = − sin 2 x − sin 2 2x − sin 2 3x − 2 sin x sin 2x + + 2 sin x sin 3x + 2 sin 2x sin 3x = −(sin x + sin 2x − sin 3x) 2 ¶ 0. Но решение у квадратного уравнения существует лишь в случае D ¾ 0, таким образом, D = −4(sin x + sin 2x − sin 3x) 2 = 0, откуда опять при- ходим к выводу, что уравнение будет иметь решение лишь в случае, если sin x + sin 2x = sin 3x, и при этом a = sin x + sin 2x + sin 3x 2 = sin 3x. Таким образом, мы опять приходим к системе ¨ sin x + sin 2x = sin 3x, a = sin 3x, решив которую получаем ответ. Ответ: если a = 0, то x = πm, 2πn/3, m, n ∈ Z; при a 6= 0 решений нет. Тренировочные задачи к § 5 5.1. Найдите все значения a, при которых уравнение 2 cos 2x − 4a cos x + a 2 + 2 = 0 не имеет решений. 5.2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a 2 x 2 + 2a( p 2 − 1)x + p x − 2 = 2 p 2 − 3 имеет решение. 52 Часть 1. Решение задач 5.3. Решите систему уравнений ( p x 2 + 3x + 2 − |y + 2| = 0, 2 Æ y 2 + 4y + 4 + p x 2 − x − 2 = 0. 5.4. Решите систему ¨ 2 −𝑥 y 4 − 2 y 2 + 2 𝑥 ¶ 0, 8 𝑥 − y 4 + 2 𝑥 − 1 = 0. 5.5. Число α подобрано так, что уравнение Æ x − p 3 + α 2 x 2 + 2αx( p 6 − p 3) = 6 p 2 − 9 имеет решение. Найдите это решение. 5.6. Найдите все тройки целых чисел (x; y; z), для которых выполня- ется соотношение 5x 2 + y 2 + 3z 2 − 2 yz = 30. 5.7. Найдите все значения a, при которых уравнение (x 2 − 6|x| − a) 2 + 12(x 2 − 6|x| − a) + 37 = cos 18π a имеет ровно два различных решения. 5.8. При каких значениях a уравнение x 2 − 4ax + 4a 2 − 1 x − 2a + x 2 − 2x + 1 = 0 имеет хотя бы одно решение? 5.9. Решите уравнение (x − 1) 6 (sin 4x + sin 4) 1/6 + (x + 1) 6 (sin 2 − sin 2x) 1/6 = 0. 5.10. Для каждого значения b найдите все пары чисел (x; y), удовле- творяющие уравнению b sin 2 y + log 4 x 8 p 1 − 4x 8 = b 2 5.11. Для каждого значения a найдите все пары чисел (x; y), удовле- творяющие уравнению a cos 2x + log 2 y 12 Æ 1 − 2 y 12 = a 2 5.12. Найдите все пары действительных чисел a и b, при которых уравнение (3x − a 2 + ab − b 2 ) 2 + (2x 2 − a 2 − ab) 2 + x 2 + 9 = 6x имеет хотя бы одно решение x. Тренировочные задачи к § 5 53 5.13. Найдите все рациональные решения уравнения Æ y · (x + 1) 2 − x 2 + x + 1 + log 2 |𝑦+2| 21 cos 2 πy = 0. 5.14. При каких значениях a уравнение p x 2 − 3ax + 8 + p x 2 − 3ax + 6 𝑥 + + p x 2 − 3ax + 8 − p x 2 − 3ax + 6 𝑥 = 2( p 2) 𝑥 имеет единственное решение? 5.15. Найдите наименьшее из значений x, для которых существуют числа y, z, удовлетворяющие уравнению x 2 +2y 2 +z 2 + xy − xz− yz=1. 5.16. Найдите все решения системы cos 10x − 2 sin 5x ¾ 3 · 4 𝑡 − 3·2 𝑡 +2 + 27 2 , q (2 − p 3) 4𝑡 +(2+ p 3) 4𝑡 +2+14log 2 (cos 10x) + 6 cos 5x ¾ (2t + 1) 1,5 5.17. Для каждого значения a решите уравнение 4 − sin 2 x + cos 4x + cos 2x + 2 sin 3x sin 7x − cos 2 7x − cos 2 πa = 0. 5.18. Найдите все значения a, при каждом из которых система нера- венств ( 4 𝑥 − 2 𝑥 +𝑦 ¶ 108a − 161 2a − 3 , 5 · 2 𝑥 +𝑦 − 9 · 4 𝑦 ¾ 54 имеет решение. 5.19. При каких значениях a уравнение (x 2 − x + a 2 + 2) 2 = 4a 2 (2x 2 − x + 2) имеет ровно три различных решения. 5.20. Для каждого a решите уравнение cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + 2a(cos x − cos 2x + cos 3x) + + cos 2x + cos 4x + 2a 2 = 0. Ответы 5.1 . a ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞). 5.2 . a = (1 − p 2)/2. 5.3 . (−1; −2). 5.4 . (0; 1); (0; −1). 5.5 . x = p 3. 5.6 . (1; 5; 0); (1; −5; 0); (−1; 5; 0); (−1; −5; 0). 5.7 . a = −3; a = 9. 5.8 . a = 0; a = 1. 5.9 . −1; −1 + π/2 + πn, n ∈ Z. 54 Часть 1. Решение задач 5.10 . При b = −1/2 решение (1/ 8 p 8; −π/4 + πk), k ∈ Z; при b = 1/2 решение (1/ 8 p 8; π/4 + πm), m ∈ Z; при b 6= ±1/2 решений нет. 5.11 . При a = −1/2 решение (π/2 + πk; 1/ 6 p 2), k ∈ Z; при a = 1/2 решение (πm; 1/ 6 p 2), m ∈ Z; при a 6= ±1/2 решений нет. 5.12 . (3; 3); (−3; −3); (2 p 3; p 3); (−2 p 3; − p 3). 5.13 . (−2/3; 1); (−1 − 1/(l − 1); l 2 + l − 1); (−1 + 1/(l + 2); l 2 + l − 1), l ∈ Z, l 6= −5, −2, 1, 4. 5.14 . a ∈ (−2 p 6/3; 2 p 6/3). 5.15 . x = − p 7/5. Указание. Выделите полный квадрат сначала по перемен- ной z. 5.16 . t = 1, x = −π/30 + 2πn/5, n ∈ Z. 5.17 . Если a ∈ Z, то решение x =π/4+πk/2, k ∈ Z; при других a решений нет. 5.18 . a ∈ (3/2; +∞). Указание. Введите обозначение u = 2 𝑥 , v = 2 𝑦 . Вычтите из первого неравенства второе и докажите, что при полученном ограниче- нии на α всегда существует решение. 5.19 . a = ± p 2; a = ±( p 15 + 1)/4. 5.20 . Если a = 0, то x = π/4 + πm/2; если a = −1/2, то x = ±2π/3 + 2πn, где m, n ∈ Z; если a 6= 0, −1/2, то решений нет. § 6. Разложение на множители Разложение на множители часто значительно упрощает задачу. Для этого, например, используется удачная группировка слагаемых. Также бывает полезным умение разделить один многочлен на другой. Опишем деление алгебраического многочлена a 𝑛 x 𝑛 + a 𝑛 −1 x 𝑛 −1 + . . . + a 1 x + a 0 на одночлен x − a. Сначала разберём алгоритм деления, называемый схемой Горнера. I. Разделим многочлен P 𝑛 (x) = a 𝑛 x 𝑛 + a 𝑛 −1 x 𝑛 −1 + a 𝑛 −2 x 𝑛 −2 + . . . + a 1 x + a 0 на одночлен x − a, т. е. представим его в виде P 𝑛 (x) = (x − a)Q 𝑛 −1 (x) + R, где R — остаток, а Q 𝑛 −1 (x) = b 𝑛 −1 x 𝑛 −1 + b 𝑛 −2 x 𝑛 −2 + . . . + b 1 x + b 0 — многочлен. Коэффициенты b 𝑘 , k = 0, 1, . . . , n − 1, и остаток R удобно вычислять при помощи таблицы a 𝑛 a 𝑛 −1 a 𝑛 −2 a 2 a 1 a 0 a b 𝑛 −1 b 𝑛 −2 b 𝑛 −3 b 1 b 0 R § 6. Разложение на множители 55 где b 𝑛 −1 = a 𝑛 ; b 𝑛 −2 = a 𝑛 −1 + a · b 𝑛 −1 ; b 𝑛 −3 = a 𝑛 −2 + a · b 𝑛 −2 ; b 0 = a 1 + a · b 1 ; R = a 0 + a · b 0 II. Опишем более общий способ деления многочлена на произ- вольный многочлен (пригодный и для рассмотренного выше деления на одночлен x − a). Для этого рассмотрим пример деления многочлена ax 4 + x 3 + (2a + 3a 3 )x 2 + 2x + 6a 3 на многочлен x 2 + 2. Будем действовать по аналогии с обычным делением целых чисел. Сначала подберём одночлен так, чтобы при умножении его на x 2 + 2 получился многочлен, имеющий старший коэффициент, равный ax 4 . Очевидно, это ax 2 . Вычтем из исходного многочлена многочлен ax 2 (x 2 + 2) и получим ax 4 + x 3 + (2a + 3a 3 )x 2 + 2x + 6a 3 − ax 4 − 2ax 2 = x 3 + 3a 3 x 2 + 2x + 6a 3 Снова подбираем одночлен так, чтобы при его умножении на x 2 + 2 получился многочлен со старшим коэффициентом x 3 . Этот одночлен равен x. Вычтем из x 3 + 3a 3 x 2 + 2x + 6a 3 многочлен x 3 + 2x: x 3 + 3a 3 x 2 + 2x + 6a 3 − x 3 − 2x = 3a 3 x 2 + 6a 3 Наконец, подбираем одночлен, при умножении которого на x 2 + 2 по- лучится многочлен со старшим коэффициентом 3a 3 x 2 . Этот одночлен равен 3a 3 . Разность многочленов 3a 3 x 2 + 6a 3 и 3a 3 (x 2 + 2) равна 0. Это означает, что ax 4 + x 3 + (2a + 3a 3 )x 2 + 2x + 6a 3 = (ax 2 + x + 3a 3 )(x 2 + 2). Эти вычисления удобно записать в виде деления уголком: − ax 4 + x 3 + (2a + 3a 3 )x 2 + 2x + 6a 3 x 2 + 2 ax 4 + 0 + 2ax 2 ax 2 + x + 3a 3 − x 3 + 3a 3 x 2 + 2x x 3 + 0 + 2x − 3a 3 x 2 + 0 + 6a 3 3a 3 x 2 + 0 + 6a 3 0 56 Часть 1. Решение задач Пример 6.1. При каждом значении a решите неравенство ax 4 + x 3 + (2a + 3a 3 )x 2 + 2x + 6a 3 > 0. Решение. Имеем ax 4 + x 3 + (2a + 3a 3 )x 2 + 2x + 6a 3 > 0 ⇔ ⇔ x 2 (ax 2 + x + 3a 3 ) + 2(ax 2 + x + 3a 3 ) > 0 ⇔ ⇔ (x 2 + 2)(ax 2 + x + 3a 3 ) > 0. Поскольку для любого действительного x справедливо неравенство x 2 + 2 > 0, исходное неравенство эквивалентно неравенству ax 2 + x + 3a 3 > 0, решённому в примере 4.1 Ответ: при a ¶ −1/ 4 p 12 решений нет; если −1/ 4 p 12 < a < 0, то x ∈ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; −1 − p 1 − 12a 4 2a ; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если 0 < a ¶ 1/ 4 p 12, то x ∈ −∞; −1 − p 1 − 12a 4 2a ∪ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; +∞ ; если a > 1/ 4 p 12, то x ∈ (−∞; +∞). Пример 6.2. При каждом значении параметра a решите уравне- ние Æ −x 3 + (a − 1)x 2 + (a − 1)x + a = 2x 2 + 3x + 2 − a. Решение. Заметим, что a является корнем уравнения −x 3 + (a − 1)x 2 + (a − 1)x + a = 0, и разложим подкоренное выражение на множители: −x 3 + (a − 1)x 2 + (a − 1)x + a = (a − x)(x 2 + x + 1). Обозначим u = p a − x, v = p x 2 + x + 1. Получим, что исходное урав- нение равносильно следующему: uv = 2v 2 − u 2 ⇔ (u − v)(u + 2v) = 0. Так как u ¾ 0, v > 0, получаем, что u + 2v 6= 0. Следовательно, u = v, т. е. решения уравнения будут получены из системы ¨ x 2 + x + 1 = a − x, x ¶ a ⇔ ¨ (x + 1) 2 = a, x ¶ a ⇔ a ¾ 0, x 1,2 = −1 ± p a, x ¶ a. Но неравенства x 1,2 ¶ a выполнены при всех неотрицательных a. § 6. Разложение на множители 57 Ответ: при a < 0 решений нет; если a = 0, то x = −1; если a > 0, то x = −1 ± p a. Пример 6.3. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ x 3 − (a + 3)x 2 + (3a + 2)x − 2a ¾ 0, x 3 − (a + 3)x 2 + 3ax ¶ 0 имеет единственное решение. Решение. Имеет место равенство x 3 − (a + 3)x 2 + (3a + 2)x − 2a = (x − a)(x 2 − 3x + 2), т. е. x 3 − (a + 3)x 2 + (3a + 2)x − 2a = (x − 1)(x − 2)(x − a). Второй многочлен представим в виде x 3 − (a + 3)x 2 + 3ax = x(x − 3)(x − a). Таким образом, исходная система эквивалентна системе неравенств ¨ (x − 1)(x − 2)(x − a) ¾ 0, x(x − 3)(x − a) ¶ 0. Рассмотрим пять случаев. 1. a ¾ 3. С помощью метода интервалов находим, что решения первого неравенства составляют множество [1; 2] ∪ [a; +∞), а реше- ния второго — множество (−∞; 0] ∪ [3; a] (или (−∞; 0) ∪ {3}, если a = 3). Пересечение этих множеств даёт единственное решение си- стемы x = a. 2. a ∈ [2; 3). В этом случае решения первого неравенства составля- ют, как и ранее, множество [1; 2] ∪ [a; +∞), а решения второго — мно- жество (−∞; 0] ∪ [a; 3], так что решением системы будет множество [a; 3]. Таким образом, единственности решения в данном случае нет. 3. a ∈ [1; 2). Решения первого неравенства составляют множество [1; a] ∪ [2; +∞) (или {1} ∪ [2; +∞), если a = 1), а решения второго — множество (−∞; 0] ∪ [a; 3], так что решением системы будет множе- ство {a} ∪ [2; 3]. Таким образом, единственности решения в данном случае нет. 4. a ∈ (0; 1). Решения первого неравенства составляют множество [a; 1] ∪ [2; +∞), а решения второго — множество (−∞; 0] ∪ [a; 3], так что решением системы будет множество [a; 1] ∪ [2; 3]. Таким обра- зом, единственности решения опять нет. 58 Часть 1. Решение задач 5. a ∈ (−∞; 0]. Решения первого неравенства составляют множе- ство [a; 1] ∪ [2; +∞), а решения второго — множество (−∞; a] ∪ [0; 3], так что решением системы будет множество {a} ∪ [0; 1] ∪ [2; 3]. Таким образом, единственности решения в данном случае также нет. Ответ: a ∈ [3; +∞). Пример 6.4. Для каждого значения a решите неравенство 3a − 1 − (8a − 5) · 3 −2 p − log 81 (𝑥 2 +6𝑥+9) ¶ 3(a + 2) · |x + 3| 2 p log |𝑥+3| (1/9) Решение. Перепишем исходное неравенство в следующем виде: 3a − 1 − (8a − 5) · 3 −2 p − log 9 |𝑥+3| ¶ 3(a + 2) · |x + 3| 2 p − log |𝑥+3| 9 Найдём ОДЗ неравенства: |x + 3| > 0, log 9 |x + 3| ¶ 0, |x + 3| 6= 1 ⇔ 0 < |x + 3| < 1. Заметим, что |x + 3| 2 p − log |𝑥+3| 9 = 9 2 p − log |𝑥+3| 9·log 9 |𝑥+3| = = 9 −2 − log 9 | 𝑥 +3| p − log 9 | 𝑥 +3| = 9 −2 p − log 9 |𝑥+3| = 3 −2 p − log 9 |𝑥+3| 2 Введём обозначение t = 3 −2 p − log 9 |𝑥+3| Найдём множество значений переменной t: 0 < |x + 3| < 1 ⇔ 0 < − log 9 |x + 3| < +∞ ⇔ 0 < t = 3 −2 p − log 9 |𝑥+3| < 1. Тогда исходное неравенство с учётом ОДЗ примет вид ¨ 3(a + 2)t 2 + (8a − 5)t − (3a − 1) ¾ 0, 0 < t < 1. Решим эту систему. Для a = −2 имеем ¨ − 21t + 7 ¾ 0, 0 < t < 1 ⇔ t ∈ (0; 1/3]. Для a 6= −2 найдём корни квадратного уравнения 3(a + 2)t 2 + (8a − 5)t − (3a − 1) = 0, Тренировочные задачи к § 6 59 например, вычисляя его дискриминант: t = 1/3, t = (1 − 3a)/(a + 2). Таким образом, при a 6= −2 получаем ( 3(a + 2) t − 1 3 t − 1 − 3a a + 2 ¾ 0, 0 < t < 1. Решаем последнюю систему относительно переменной t. Если a ¶ −1/4, то t ∈ (0; 1/3]; если a ∈ (−1/4; 1/10), то t ∈ (0; 1/3] ∪ ∪ [(1 − 3a)/(a + 2); 1); если a = 1/10, то t ∈ (0; 1); если a ∈ (1/10; 1/3), то t ∈ (0; (1 − 3a)/(a + 2)] ∪ [1/3; 1); если a ¾ 1/3, то x ∈ [1/3; 1). Чтобы получить окончательный ответ, перейдём обратно к пере- менной x. Ответ: если a ¶ −1/4, то x ∈ [−3 − 1/ p 3; −3) ∪ (−3; −3 + 1/ p 3]; если a ∈ (−1/4; 1/10), то x ∈ (−4; −3 − f 𝑎 ] ∪ [−3 − 1/ p 3; −3) ∪ (−3; −3 + 1/ p 3] ∪ [−3 + f 𝑎 ; −2); если a = 1/10, то x ∈ (−4; −3) ∪ (−3; −2); если a ∈ (1/10; 1/3), то x ∈ (−4; −3 − 1/ p 3] ∪ [−3 − f 𝑎 ; −3) ∪ (−3; −3 + f 𝑎 ] ∪ [−3 + 1/ p 3; −2); если a ¾ 1/3, то x ∈ (−4; −3 − 1/ p 3] ∪ ∪ [−3 + 1/ p 3; −2), где f 𝑎 = ((1 − 3a)/(a + 2)) log 3 p (𝑎+2)/(1−3𝑎) Тренировочные задачи к § 6 6.1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых сре- ди решений уравнения (a 4 + 2014a 3 + 2014a 2 + 2014a + 2013)x = a 3 + 3a 2 − 6a − 8 есть неотрицательные числа. 6.2. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство x 2 + 2|x − a| ¾ a 2 справедливо при всех действительных x. 6.3. Найдите наибольшее значение a, при котором уравнение x 3 + 5x 2 + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из ко- торых равен −2. 6.4. Для каждого допустимого значения a решите неравенство a 𝑥 (a − 1) 𝑥 − 2a 𝑥 +1 − (a − 1) 𝑥 + 2a ¶ 0 и найдите, при каких значениях a множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2. 60 Часть 1. Решение задач 6.5. Найдите все значения a, при которых область определения функ- ции y = ( p a) 2 𝑥+1 + p xa 4 − x 1/2+𝑥 log 𝑥 𝑎 − ( p a) 9 1/2 содержит два или три целых числа. 6.6. При каких значениях a неравенство (x 2 − (a + 8)x − 6a 2 + 24a) p 3 − x ¶ 0 имеет единственное решение? 6.7. Для каждого значения a решите неравенство (x 2 + 2x − a 2 − 4a − 3)(sin x + 2x) > 0. 6.8. Для каждого значения a решите неравенство x 2 · 2 |2𝑎−1| − 2x + 1 x 2 − (a − 2)x − 2a > 0. 6.9. Фигура на плоскости (x; y) состоит из всех точек, через которые не проходит ни одна из кривых, задаваемых соотношением (p 4 +4p 2 +16) 2 +(x 2 − y 2 ) 2 =16(p 3 +4p)xy +2(p 4 +12p 2 +16)(x 2 + y 2 ) при различных действительных значениях p. Найдите длину линии, ограничивающей эту фигуру. 6.10. Найдите все значения a, при каждом из которых ровно одно решение неравенства x 3 p a 3 + a 2 − a − 1 − x 2 p a 3 + a 2 + x p a 4 − a 2 − a 2 ¶ 0 удовлетворяет условию a ¶ x ¶ 2a + 1. 6.11. Для каждого значения a решите неравенство 2a + 3 − 2(a − 1) · 2 −2 p 2 log 1/2 |𝑥−4| ¾ (3a + 7) · (x 2 − 8x + 16) p −(1/2) log |𝑥−4| 2 6.12. При каждом значении a решите уравнение 2x 2 + 3x − a + 4 = Æ −x 3 + (a − 1)x 2 + (a − 2)x + 2a. 6.13. При каждом значении a решите неравенство 2ax 4 + 8x 3 + (a + 2a 3 )x 2 + 4x + a 3 > 0. 6.14. Найдите все значения β, при которых уравнение (x 2 + x)(x 2 + 5x + 6) = β относительно x имеет ровно три различных корня. Тренировочные задачи к § 6 61 6.15. Найдите все пары значений a и b, для каждой из которых си- стема уравнений ¨ x 2 − y 2 + a(x + y) = x − y + a, x 2 + y 2 + bxy − 1 = 0 имеет не менее пяти различных решений (x; y). 6.16. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ x 3 − (4 − a)x 2 + (5 − 3a)x + 2a − 2 ¾ 0, x 3 + (a − 4)x 2 + (3 − 3a)x ¶ 0 имеет единственное решение. 6.17. Найдите все такие значения y > 1/2, что неравенство 16 y 3 + 6y 3 x − 4 y 3 x 2 − 50 y 2 − 11 y 2 x + + 10y 2 x 2 + 52y + 4yx − 8yx 2 − 18 + x + 2x 2 > 0 выполняется при всех x из интервала 1 < x < 2 y. 6.18. При каком значении a сумма различных корней уравнения cos x − sin 2x + sin 4x = a(ctg x + 2 cos 3x), принадлежащих отрезку [3π/4; 22π/3], максимальна? 6.19. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ 2 3𝑥 2 +2𝑦 2 +8𝑥−4𝑦+8 + 2 𝑥 2 +4𝑦+5 ¶ 33 · 2 2 𝑥 2 +𝑦 2 +4𝑥+4 , x 2 + y 2 − 8x + 8 y = a имеет хотя бы одно решение, но среди этих решений нет удовлетво- ряющих условию x + y = 0. 6.20. Найдите все значения a, при которых среди корней уравнения sin 2x + 6a cos x − sin x − 3a = 0 найдутся два корня, разница между которыми равна 3π/2. 6.21. Найдите все значения a из промежутка [−2; 1], при каждом из которых расстояние на числовой оси между любыми различными корнями уравнения sin 2x + |2a + 1| sin x + |a| = 2|a| cos x + sin x + |2a 2 + a| не меньше чем π/2. 62 Часть 1. Решение задач 6.22. Найдите все значения a, при каждом из которых все решения уравнения 6 sin 2x − 11 12 πa + 6 sin 11 12 πa + 3a 3 − 7a 2 + 3a + 1 = = 2(3a 2 − 4a − 1) cos x − 11 12 πa + 6(a − 1) sin x, будучи отложенными на тригонометрической окружности, образуют на ней ровно четыре точки, причём эти точки являются вершинами трапеции. Ответы 6.1 . a ∈ (−2013; −4] ∪ {−1} ∪ [2; +∞). 6.2 . a ∈ [−1; 1]. 6.3 . a = 7. 6.4 . Если 1 < a < 2, то x ∈ (−∞; log 𝑎 −1 2a] ∪ [0; +∞); если a = 2, то x ∈ [0; +∞); если a > 2, то x ∈ [0; log 𝑎 −1 2a]. При a = 2 + p 3 множество решений — про- межуток длины 2. 6.5 . a ∈ (1; 3] ∪ [5; 7). 6.6 . a ∈ [1; 5/2]. 6.7 . Если a ¶ −3, то x ∈ (a + 1; 0) ∪ (−(a + 3); +∞); если a ∈ (−3; −2), то x ∈ ∈ (a + 1; −(a + 3)) ∪ (0; +∞); если a = −2, то x ∈ (0; +∞); если a ∈ (−2; −1), то x ∈ (−(a + 3); a + 1) ∪ (0; +∞); если a ¾ −1, то x ∈ (−(a + 3); 0) ∪ (a + 1; +∞). 6.8 . Если a < −2, то x ∈ (−∞; a) ∪ (−2; +∞); если a = −2, то x ∈ R\{−2}; если a ∈ (−2; 1/2), то x ∈ (−∞; −2) ∪ (a; +∞); если a = 1/2, то x ∈ (−∞; −2) ∪ ∪ (1/2; 1) ∪ (1; +∞); если a > 1/2, то x ∈ (−∞; −2) ∪ (a; +∞). 6.9 . 12 p 2. Указание. Введите новые переменные u = (x + y) 2 , v = (x − y) 2 6.10 . a = −1; a = p 2. Указание. Найдите ОДЗ по a для неравенства и для данных значений a решите его. 6.11 . Если a ¶ −3/2, то x ∈ (3; 4 − 1/ p 2] ∪ [4 + 1/ p 2; 5); если a ∈ (−3/2; −1), то x ∈ (3; 4 − 1/ p 2] ∪ [4 − f 𝑎 ; 4) ∪ (4; 4 + f 𝑎 ] ∪ [4 + 1/ p 2; 5); если a = −1, то x ∈ (3; 4) ∪ (4; 5); если a ∈ (−1; −2/3), то x ∈ (3; 4 − f 𝑎 ] ∪ [4 − 1/ p 2; 4) ∪ ∪ (4; 4 + 1/ p 2] ∪ [4 + f 𝑎 ; 5); если a ¾ −2/3, то x ∈ [4 − 1/ p 2; 4) ∪ (4; 4 + 1/ p 2], где f 𝑎 = ((2a + 3)/(1 − a)) log 2 p (1−𝑎)/(2𝑎+3) 6.12 . При a<1 решений нет; если a=1, то x=−1; если a>1, то x =−1± p a − 1. 6.13 . При a ¶ − p 2 решений нет; если − p 2 −2 + p 4 − a 4 a ; −2 − p 4 − a 4 a ; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если 0 < a ¶ p 2, то x ∈ −∞; −2 − p 4 − a 4 a ∪ −2 + p 4 − a 4 a ; +∞ ; если a > p 2, то x ∈ (−∞; +∞). 6.14 . β = 9/16. 6.15 . (1; −2); (−1; −2); (t; 2), t ∈ R. § 7. Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степени 63 6.16 . a ∈ (−∞; −2]. 6.17 . y ∈ [5/6; 1) ∪ (1; 3/2]. Указание. Запишите уравнение как квадратное (относительно переменной x). 6.18 . a = − p 3/2. 6.19 . a ∈ (44 − 24 p 2; 44 + 24 p 2). Указание. Разделите обе части первого неравенства на 2 𝑥 2 +4𝑦 и затем разложите на множители. 6.20 . a = ±1/6; a = ± p 2/6. 6.21 . a ∈ [−1 − 1/ p 2; −1] ∪ {−2; 0; 1; 1/ p 2}. 6.22 . a ∈ {1/3; 4/3; −6/11; 6/11; 18/11}. |