задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
§ 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, a 6= 0, (4.1) выделяем три случая. 1. Если D = b 2 − 4ac < 0, то действительных решений у квадратного уравнения ( 4.1 ) нет (см. рис. 4.1 , 4.2 ). 2. Если D = b 2 − 4ac = 0, то решение квадратного уравнения ( 4.1 ) имеет вид x = −b/(2a) (см. рис. 4.3 , 4.4 ). 3. Если D = b 2 − 4ac > 0, то квадратное уравнение ( 4.1 ) имеет два корня x + , x − (см. рис. 4.5 , 4.6 ): x ± = −b ± p b 2 − 4ac 2a Кроме того, выполнено равенство ax 2 + bx + c = a(x − x + )(x − x − ). I. Важную роль при решении квадратных уравнений с парамет- ром играет теорема Виета. Для квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0, a 6= 0, имеющего корни x ± (случай D ¾ 0), выполняются формулы Виета: x + + x − = − b a ; x + x − = c a x y x в y в 0 y = f (x) Рис. 4.1. D < 0, a > 0 x y x в y в 0 y = f (x) Рис. 4.2. D < 0, a < 0 x y x в 0 y = f (x) Рис. 4.3. D = 0, a > 0 x y x в 0 y = f (x) Рис. 4.4. D = 0, a < 0 § 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения 37 x y x в y в 0 x − x + y = f (x) Рис. 4.5. D > 0, a > 0 x y x в y в 0 x + x − y = f (x) Рис. 4.6. D > 0, a < 0 II. Второе важное замечание состоит в том, что при решении задач, сводящихся к исследованию квадратных уравнений, нужно помнить о геометрической интерпретации квадратного уравнения. Например, выделяя полный квадрат, получаем (при a 6= 0) ax 2 + bx + c = a · x + b 2a 2 + c − b 2 4a = a · (x − x в ) 2 + y в , где x в = − b 2a , y в = c − b 2 4a Графиком функции y = ax 2 + bx + c является парабола, вершина кото- рой имеет координаты (x в ; y в ). При a > 0 ветви параболы направлены вверх, а в вершине параболы достигается минимум квадратичной функции. При a < 0 ветви параболы направлены вниз, а в вершине параболы достигается максимум квадратичной функции. Пример 4.1. При каждом значении a решите неравенство ax 2 + x + 3a 3 > 0. Решение. Пусть a = 0. Тогда решением неравенства будет мно- жество чисел x > 0. При a 6= 0 функция f (x) = ax 2 + x +3a 3 квадратичная, её график — парабола. Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискрими- нанта D = 1 − 12a 4 функции f (x), т. е. случаи D < 0, D = 0, D > 0. I. Пусть D = 1 − 12a 4 < 0, т. е. a ∈ (−∞; −1/ 4 p 12) ∪ (1/ 4 p 12; +∞). Тогда в зависимости от знака a функция f (x) будет всюду положи- тельна либо всюду отрицательна (см. рис. 4.7 и рис. 4.8 ). Если a > 1/ 4 p 12, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ R. Если a < −1/ 4 p 12, то получаем f (x) < 0 для любого x ∈ R. Частичный ответ: при a < −1/ 4 p 12 решений нет; если a > 1/ 4 p 12, то x ∈ (−∞; +∞). 38 Часть 1. Решение задач x y 0 y = f (x) 1 Рис. 4.7 x y 0 y = f (x) Рис. 4.8 II. Пусть D = 1 − 12a 4 = 0, т. е. a = ±1/ 4 p 12. Тогда у квадратного уравнения f (x) = 0 будет единственный корень x 0 = − 1 2a (см. рис. 4.9 и рис. 4.10 ). x y 0 y = f (x) x 0 Рис. 4.9 x y 0 y = f (x) x 0 Рис. 4.10 Если a = 1/ 4 p 12, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ R\{− 4 p 12/2}. Если a = −1/ 4 p 12, то получаем f (x) ¶ 0 для любого x ∈ R. Частичный ответ: при a = −1/ 4 p 12 решений нет; если a = 1/ 4 p 12, то x ∈ (−∞; +∞)\{− 4 p 12/2}. III. Пусть D = 1−12a 4 >0, т. е. a∈(−1/ 4 p 12; 1/ 4 p 12). Тогда квадрат- ное уравнение f (x) = 0 имеет два решения (см. рис. 4.11 и рис. 4.12 ). x + = −1 + p 1 − 12a 4 2a , x − = −1 − p 1 − 12a 4 2a Если a > 0, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ (−∞; x − )∪(x + ; +∞). Если a < 0, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ (x + ; x − ). Частичный ответ: если 0 < a < 1 4 p 12 , то x ∈ −∞; −1 − p 1 − 12a 4 2a ∪ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; +∞ ; если − 1 4 p 12 < a < 0, то x ∈ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; −1 − p 1 − 12a 4 2a Объединяя частичные ответы, получаем ответ. § 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения 39 x y 0 y = f (x) x − x + Рис. 4.11 x y 0 y = f (x) x + x − Рис. 4.12 Ответ: при a ¶ −1/ 4 p 12 решений нет; если −1/ 4 p 12 < a < 0, то x ∈ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; −1 − p 1 − 12a 4 2a ; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если 0 < a ¶ 1/ 4 p 12, то x ∈ −∞; −1 − p 1 − 12a 4 2a ∪ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; +∞ ; если a > 1/ 4 p 12, то x ∈ (−∞; +∞). Пример 4.2. При каких значениях a функция y = 2 𝑎𝑥 +7 2 𝑥 2 имеет максимум в точке x = 4? Решение. Исходную функцию представим в виде y = 2 −𝑥 2 +𝑎𝑥+7 Поскольку функция 2 𝑡 монотонно возрастает, максимум функции y = =2 −𝑥 2 +𝑎𝑥+7 достигается в той же точке, что и у квадратичной функции f (x) = −x 2 + ax + 7. У соответствующей параболы ветви направлены вниз, следовательно, максимум достигается в вершине параболы, т. е. в точке x в = a/2. Но согласно условию x в = 4, следовательно, a = 8. Ответ: a = 8. Пример 4.3. Найдите все значения b, при которых уравнение x − 2 = p 2(b − 1)x + 1 имеет единственное решение. Решение. Преобразуем уравнение: ¨ x ¾ 2, (x − 2) 2 = 2(b − 1)x + 1 ⇔ ¨ x ¾ 2, x 2 − 2(b + 1)x + 3 = 0. У параболы f (x) = x 2 − 2(b + 1)x + 3 ветви направлены вверх, по- этому единственное решение возможно лишь в следующих случаях (см. соответствующие рис. 4.13 – 4.17 ): I) ¨ D > 0, f (2) < 0; II) D > 0, f (2) = 0, x в < 2; III) ¨ D = 0, x в ¾ 2. 40 Часть 1. Решение задач x y 0 y = f (x) 2 Рис. 4.13. Случай I x y 0 y = f (x) 2 Рис. 4.14. Случай I x y 0 y = f (x) 2 Рис. 4.15. Случай II x y 0 y = f (x) 2 Рис. 4.16. Случай III x y 0 y = f (x) 2 Рис. 4.17. Случай III Найдём дискриминант уравнения f (x) = 0: D 4 = (b + 1) 2 − 3 = (b + 1 − p 3)(b + 1 + p 3). Разберём теперь каждый из перечисленных выше трёх случаев. Случай I: D > 0, f (2) < 0 ⇔ ¨ b ∈ (−∞; −1 − p 3) ∪ (−1 + p 3; +∞), 4 − 4(b + 1) + 3 < 0 ⇔ ⇔ ( b ∈ (−∞; −1 − p 3) ∪ (−1 + p 3; +∞), b > 3 4 § 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения 41 x y 0 y = f (x) 2 Рис. 4.18. Случай двух корней Сравним числа −1 + p 3 и 3/4: −1 + p 3 ∨ 3/4, p 3 ∨ 7/4, 4 p 3 ∨ 7, 48 < 49. Таким образом, в первом случае получаем b > 3/4. Разберём второй случай. (Второй случай приходится разбирать отдельно от первого, поскольку возможна ситуация (см. рис. 4.18 ), когда D > 0 и f (2) = 0, но при этом мы имеем два решения (случай x в > 2).) Случай II: D > 0, f (2) = 0, x в < 2 ⇔ b ∈ (−∞; −1 − p 3) ∪ (−1 + p 3; +∞), b = 3 4 , 2(b + 1) 2 < 2 ⇔ b = 3 4 Остаётся разобрать последний третий случай. Случай III: ¨ D = 0, x в ¾ 2 ⇔ ¨ b = −1 ± p 3, b ¾ 1 ⇔ b ∈ ∅. Объединяя результаты этих случаев, получаем ответ. Ответ: b ∈ [3/4; +∞). Пример 4.4. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x 2 −2(a+1)x+a 2 +2a) 2 +(a+5)(x 2 −2(a+1)x+a 2 +2a)−a 2 −7a−10=0 имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения. 42 Часть 1. Решение задач x y y = f (x) −1 Рис. 4.19 Решение. Замена переменной y = x 2 − 2(a + 1)x + a 2 + 2a (графики функции y = f (x) приведены на рис. 4.19 ) сводит исходное уравнение к квадратному уравнению g( y) = 0, где g( y) = y 2 + (a + 5)y − a 2 − 7a − 10. Если y 0 — корень этого уравнения, то для отыскания корней исход- ного уравнения требуется решить уравнение x 2 − 2(a + 1)x + a 2 + 2a = y 0 или равносильное уравнение (x − (a + 1)) 2 = y 0 + 1. • Если y 0 < −1, то уравнение не имеет корней, так как его левая часть неотрицательна при любых x, а правая часть отрицательная. • Если y 0 = −1, то уравнение имеет один корень x = a + 1. • Если y 0 > −1, то уравнение имеет два корня, один из которых меньше чем a + 1, а другой — больше (см. рис. 4.20 ). x y y = f (x) y 0 0 a + 1 Рис. 4.20 § 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения 43 y z −1 0 нет решений одно решение два решения Рис. 4.21 Эти замечания изобразим на графике (см. рис. 4.21 ). Рассмотрим пункт а) исходной задачи. Согласно сказанному вы- ше исходное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда уравнение g( y) = 0 либо имеет корень y 0 = −1 кратности 2, либо кро- ме корня y 0 = −1 имеет корень, меньший −1. При этом в обоих случа- ях абсцисса вершины параболы меньше либо равна −1 (см. рис. 4.22 ). Эти условия можно объединить в систему: ¨ g(−1) = 0, y в ¶ −1 ⇔ ( − a 2 − 8a − 14 = 0, − a + 5 2 ¶ −1 ⇔ a = −4 + p 2. y z −1 0 Рис. 4.22 Рассмотрим пункт б) задачи. Исходное уравнение имеет два ре- шения в одном из двух случаев. В первом из них уравнение g( y) = 0 имеет единственный корень y 0 > −1, причём y 0 = y в (см. рис. 4.23 ). Этот случай соответствует системе ¨ D = 0, y в > −1 ⇔ ( (a + 5) 2 + 4(a 2 + 7a + 10) = 0, − a + 5 2 > −1 ⇔ 44 Часть 1. Решение задач y z −1 0 нет решений одно решение два решения Рис. 4.23 y z −1 0 нет решений одно решение два решения Рис. 4.24 ⇔ ( 5a 2 + 38a + 65 = 0, − a + 5 2 > −1 ⇔ a = −5. Во втором случае (см. рис. 4.24 ) уравнение g( y) = 0 имеет два корня, один из которых больше −1, а другой меньше −1, что равносильно условию g(−1) < 0, т. е. g(−1) < 0 ⇔ a 2 +8a+14>0 ⇔ a ∈(−∞; −4− p 2) ∪ (−4 + p 2; +∞). Ответ: а) единственное решение при a = −4 + p 2; б) ровно два различных решения при a ∈ (−∞; −4 − p 2) ∪ {−5} ∪ (−4 + p 2; +∞). Тренировочные задачи к § 4 4.1. При каких значениях a функция y = 3 𝑥 2 3 𝑎𝑥 −11 имеет минимум при x = 6? 4.2. При каких значениях a один из корней уравнения (a 2 + a + 1)x 2 + (2a − 3)x + a − 5 = 0 больше 1, а другой меньше 1? Тренировочные задачи к § 4 45 4.3. Найдите все такие значения a, что уравнение ax 2 + (4a 2 − 3)x − 10 = 0 имеет два различных корня, модули которых равны. 4.4. Найдите все значения a, при которых неравенство x 2 + ax + a 2 + 6a < 0 выполняется при всех x ∈ (1; 2). 4.5. При каких значениях a уравнение (a + 4)x 2 + 6x − 1 x + 3 = 0 имеет единственное решение? 4.6. Найдите все значения a, при которых неравенство ax 2 − 4x + 3a + 1 < 0 выполняется при всех x > 0. 4.7. Найдите все значения a, при каждом из которых среди корней уравнения ax 2 + (a + 4)x + a + 1 = 0 имеется ровно один отрицательный. 4.8. Найдите все значения a, при которых из неравенства x 2 − (3a + 1)x + a > 0 следует, что x > 1. 4.9. Один из корней квадратного уравнения px 2 + qx + 1 = 0 равен 2010. Для всех значений p < 0 решите неравенство x + q p x + p > 0. 4.10. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f (x) = 4x 2 + 4ax + a 2 − 2a + 2 на множестве 1 ¶ |x| ¶ 3 не меньше 6. 4.11. При каких значениях a система ¨ x 4 − (a − 1) p a + 3 y + a 4 + 2a 3 − 9a 2 − 2a + 8 = 0, y = p a + 3 x 2 имеет ровно три различных решения? 46 Часть 1. Решение задач 4.12. При каких значениях a уравнение (a − 1) · 4 𝑥 + (2a − 3) · 6 𝑥 = (3a − 4) · 9 𝑥 имеет единственное решение? 4.13. Найдите все значения a, при которых уравнение 4 𝑥 + (a 2 + 5) · 2 𝑥 + 9 − a 2 = 0 не имеет решений. 4.14. Найдите все значения a, для каждого из которых система ¨ − x 2 + 12x − a ¾ 0, x ¶ 2 выполняется хотя бы при одном значении x. 4.15. При каких значениях a неравенство 3 · 4 𝑥 − 6a · 2 𝑥 + 3a 2 + 2a − 14 < 0 не имеет решений? 4.16. При каких значениях a уравнение 2a(x + 1) 2 − |x + 1| + 1 = 0 имеет четыре различных корня? 4.17. Найдите все значения a, при которых неравенство log 1 5 (x 2 − ax + 7) < −1 выполняется для всех значений x из промежутка x < 0. 4.18. Найдите все целые значения a, при каждом из которых уравнение 3 p x 6 − 1 a − 2 · 4 p x 4 + 1 − 2 a = 0 имеет решения и все они являются целыми числами. 4.19. Обозначим через x 1 и x 2 корни (возможно, совпадающие) квад- ратного трёхчлена (a − 1)x 2 − (2a + 1)x + 2 + 5a. 1. Найдите все значения a, при которых x 1 > 1 и x 2 > 1. 2. Найдите все значения b, для каждого из которых функция y = (x 1 − b)(x 2 − b) принимает постоянное значение при всех a, при которых она опре- делена. Тренировочные задачи к § 4 47 4.20. Найдите все значения a, при каждом из которых сумма арктан- генсов корней уравнения x 2 + (1 − 2a)x + a − 4 = 0 больше чем π/4. 4.21. Найдите все значения p, при которых уравнение x − 2 = Æ −2(p + 2)x + 2 имеет единственное решение. 4.22. При каждом значении a найдите все решения неравенства x + 2a − 2 p 3ax + a 2 > 0. 4.23. Найдите все значения b, при которых уравнение 3 · 5 p x + 2 − 16b 2 · 5 p 32x + 32 = 10 p x 2 + 3x + 2 имеет единственное решение. 4.24. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a − 1) cos 2 x − (a 2 + a − 2) cos x + 2a 2 − 4a + 2 = 0 имеет более одного решения на отрезке [0; 4π/3]. 4.25. При каких значениях параметра a уравнение 16 𝑥 − 3 · 2 3𝑥+1 + 2 · 4 𝑥 +1 − (4 − 4a) · 2 𝑥 −1 − a 2 + 2a − 1 = 0 имеет ровно три различных корня? 4.26. Найдите все значения a, при которых уравнение log 2 (x + 1) − log 2 (x − 1) 2 − 2 log 2 (x + 1) − log 2 (x − 1) − a 2 + 1 = 0 имеет ровно два различных решения. 4.27. Найдите все значения a, при которых уравнение (|x − 2| + |x + a|) 2 − 7(|x − 2| + |x + a|) − 4a · (4a − 7) = 0 имеет ровно два различных решения. 4.28. Найдите все значения a, при которых уравнение log 2 8 x + a x − a − 12 log 8 x + a x − a + 35a 2 − 6a − 9 = 0 имеет ровно два различных решения. 4.29. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x 2 +2(a−2)x+a 2 −4a) 2 +(a+5)(x 2 +2(a−2)x+a 2 −4a)−a 2 +8a+2=0 имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения. 48 Часть 1. Решение задач Ответы 4.1 . a = 12. 4.2 . a ∈ (−2 − p 11; −2 + p 11). 4.3 . a = p 3/2. 4.4 . a ∈ [−(7 + p 45)/2; −4 + 2 p 3). 4.5 . a ∈ {−13; −17/9; −4}. 4.6 . a ∈ (−∞; −1/3]. 4.7 . a ∈ (−1; 0] ∪ {(2 + 2 p 13)/3}. 4.8 . a ∈ ∅. 4.9 . x ∈ (2010 −2 ; +∞). 4.10 . a ∈ (−∞; −2] ∪ {0} ∪ [7 + p 17; +∞). 4.11 . a = 2. 4.12 . a ∈ (−∞; 1] ∪ {5/4} ∪ [4/3; +∞). 4.13 . a ∈ [−3; 3]. 4.14 . a ∈ (−∞; 20]. 4.15 . a ∈ (−∞; (−1 − p 43)/3] ∪ [7; +∞). 4.16 . a ∈ (0; 1/8). 4.17 . a ∈ (−2 p 2; +∞). 4.18 . a = 2. Указание. Квадратное уравнение должно иметь хотя бы один неотрицательный корень. 4.19 . 1. a ∈ (1; (2 + p 13)/4]. 2. b = 7/3. 4.20 . a ∈ (2; +∞). 4.21 . p ∈ (−∞; −5/2]. 4.22 . При a < 0 решений нет; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если a > 0, то x ∈ ∈ [−a/3; 0) ∪ (8a; +∞). 4.23 . b ∈ (−∞; −1/(2 p 2)] ∪ [−1/4; 1/4] ∪ [1/(2 p 2); +∞). 4.24 . a ∈ (−1/3; 3/10] ∪ {1}. 4.25 . a ∈ (0; 1) ∪ (1; 4) ∪ (4; 5). Указание. Разложите на множители и иссле- дуйте два квадратных уравнения. 4.26 . a ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1). 4.27 . a ∈ (−∞; 2/3) ∪ {7/8} ∪ (1; +∞). 4.28 . a ∈ 3 − 12 p 11 35 ; − 3 7 ∪ − 3 7 ; 0 ∪ 0; 3 5 ∪ 3 5 ; 3 + 12 p 11 35 4.29 . а) a = 2 + p 2; б) a ∈ (−∞; 2 − p 2) ∪ {1} ∪ (2 + p 2; +∞). |