задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
§ 2. Задачи с модулем Напомним полезные неравенства: |x + y| ¶ |x| + | y|, x, y ∈ R, |x| − | y| ¶ |x − y|, x, y ∈ R. § 2. Задачи с модулем 25 Следует отметить, что в первом из них равенство достигается тогда и только тогда, когда оба числа имеют одинаковый знак, а во вто- ром — когда оба числа имеют одинаковый знак и |x| ¾ | y|. Отметим одно полезное преобразование, позволяющее в некото- рых случаях избавиться от модуля: |x| < | y| ⇔ x 2 < y 2 ⇔ (x − y)(x + y) < 0, x, y ∈ R. Пример 2.1. При каждом a решите неравенство |x − a| < |x + a|. Решение. Согласно приведённой выше формуле |x − a| < |x + a| ⇔ (x − a) 2 < (x + a) 2 ⇔ ax > 0. Таким образом, при a < 0 получаем x ∈ (−∞; 0), при a = 0 решений нет, при a > 0 получаем x ∈ (0; +∞). Ответ: если a < 0, то x ∈ (−∞; 0); при a = 0 решений нет; если a > 0, то x ∈ (0; +∞). Пример 2.2. При каждом a решите неравенство |x + a| > a. Решение. Вновь отметим, что при каждом конкретном значе- нии a получается вполне стандартная задача, поэтому можно при- менить метод интервалов для модулей. Заметим сначала, что при a < 0 это неравенство верное (так как модуль числа — неотрицательная величина) при любом x. Поэтому получаем часть ответа: если a < 0, то x ∈ (−∞; +∞). Если a = 0, то |x| > 0 и x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Если a > 0, то следует рассмотреть два случая: x < −a и x ¾ −a. В первом из них исходное неравенство равносильно следующему: −x − a > a ⇔ −x > 2a ⇔ x < −2a. Так как a > 0, число −2a меньше, чем −a. Поэтому x ∈ (−∞; −2a) ⊂ ⊂ (−∞; −a) и пересечение этих областей совпадает с (−∞; −2a). Во втором случае, т. е. при x + a ¾ 0, получаем x + a > a, x > 0, x ∈ (0; +∞). Так как −a < 0, множество [−a; +∞) содержит множество (0; +∞), а их пересечение равно (0; +∞). Поэтому при a > 0 решением неравенства будет объединение (−∞; −2a) ∪ (0; +∞). Объединим части ответа: если a < 0, то x ∈ (−∞; +∞); если a = 0, то x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞); если a > 0, то x ∈ (−∞; −2a) ∪ (0; +∞). Заметим, что при a = 0 число −2a равно 0, поэтому последние две части ответа можно объединить так: если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; −2a) ∪ ∪ (0; +∞). 26 Часть 1. Решение задач Ответ: если a < 0, то x ∈ (−∞; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; −2a) ∪ ∪ (0; +∞). Пример 2.3. При каждом a решите неравенство |x + a| < x. Решение. Как и в предыдущей задаче, рассмотрим два случая. 1. Пусть x + a < 0. Тогда получаем −x − a < x ⇔ 2x > −a ⇔ x > −a/2. Рассматриваемая область задана условием x < −a. Часть ответа по- лучается как решение системы неравенств ¨ x > − a 2 , x < −a. Если a > 0, то число −a меньше, чем −a/2, и эта система не имеет решений. Если a = 0, то получаем систему ¨ x > 0, x < 0, очевидно, не имеющую решений. Если a < 0, то −a > −a/2 и получаем интервал x ∈ (−a/2; −a). Итак, получен частичный ответ в первом случае: если a < 0, то x ∈ (−a/2; −a); если a ¾ 0, то x ∈ ∅. 2. Пусть x + a ¾ 0. Тогда получаем неравенство x + a < x, a < 0 которое верно при a < 0 в рассматриваемой области, т. е. при x ¾ −a, или x ∈ [−a; +∞). При a ¾ 0 это неверное неравенство, не имеющее решений. Частичный ответ: если a < 0, то x ∈ [−a; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ ∅. Объединяя части ответа, получаем следующее: если a < 0, то x ∈ ∈ (−a/2; −a) ∪ [−a; +∞) = (−a/2; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ ∅. Ответ: если a < 0, то x ∈ (−a/2; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ ∅. Пример 2.4. Найдите все значения a, при которых уравнение 5|x − 3a| + |x − a 2 | + 4x = a 1) имеет бесконечное множество решений; 2) не имеет решений. Решение. Исходное уравнение можно заменить совокупностью следующих систем: 1) 5(x − 3a) + (x − a 2 ) + 4x = a, x ¾ 3a, x ¾ a 2 ; 2) 5(3a − x) + (x − a 2 ) + 4x = a, x ¶ 3a, x ¾ a 2 ; § 2. Задачи с модулем 27 3) 5(x − 3a) + (a 2 − x) + 4x = a, x ¾ 3a, x ¶ a 2 ; 4) 5(3a − x) + (a 2 − x) + 4x = a, x ¶ 3a, x ¶ a 2 Преобразуем систему 1: x = 1 10 · (a 2 + 16a), 1 10 · (a 2 + 16a) ¾ 3a, 1 10 · (a 2 + 16a) ¾ a 2 ⇔ ⇔ x = 1 10 · (a 2 + 16a), a(a − 14) ¾ 0, a(−9a + 16) ¾ 0 ⇔ x = 1 10 · (a 2 + 16a), a ∈ (−∞; 0] ∪ [14; +∞), a ∈ 0; 16 9 Данная система имеет решения только при a = 0. При этом также x = 0. Система 2 равносильна системе 14a − a 2 = 0, x ¶ 3a, x ¾ a 2 ⇔ a = 0, a = 14, x ¶ 3a, x ¾ a 2 , и она разрешима тоже лишь при a = 0. Её единственное решение x = 0. Система 3 сводится к системе x = 1 8 · (16a − a 2 ), 1 8 · (16a − a 2 ) ¾ 3a, 1 8 · (16a − a 2 ) ¶ a 2 ⇔ x = 1 8 · (16a − a 2 ), a(a + 8) ¶ 0, a(9a − 16) ¾ 0 ⇔ ⇔ x = 1 8 · (16a − a 2 ), a ∈ [−8; 0], a ∈ (−∞; 0] ∪ 16 9 ; +∞ Два последних неравенства этой системы имеют общее множество решений −8 ¶ a ¶ 0. Для каждого a из этого отрезка первое уравнение 28 Часть 1. Решение задач даёт единственное значение x. Наконец, система 4 принимает вид x = 1 2 · (a 2 + 14a), 1 2 · (a 2 + 14a) ¶ 3a, 1 2 · (a 2 + 14a) ¶ a 2 ⇔ x = 1 2 · (a 2 + 14a), a(a + 8) ¶ 0, a(−a + 14) ¶ 0 ⇔ ⇔ x = 1 2 · (a 2 + 14a), a ∈ [−8; 0], a ∈ (−∞; 0] ∪ [14; +∞). Два последних неравенства также имеют общее множество решений −8 ¶ a ¶ 0. При каждом значении a из первого уравнения находим единственное значение x. Подведём итоги. При a < −8 и при a > 0 ни одна из систем 1–4 не имеет решений и исходное уравнение тоже не имеет решений. При −8 ¶ a ¶ 0 имеют решение системы 3 и 4, а при a = 0 имеют решение все системы 1–4. Но множество решений каждой из систем при фиксированном a ∈ [−8, 0] конечное, поэтому исходное уравне- ние не может иметь бесконечного множества решений ни при каком значении a. Ответ: 1) уравнение не имеет бесконечного множества решений ни при каком значении a; 2) при a ∈ (−∞; −8) ∪ (0; +∞) уравнение не имеет решений. Тренировочные задачи к § 2 2.1. Для каждого a решите уравнение x|x + 1| + a = 0. 2.2. Для каждого a решите неравенство |x + 2a| ¶ 1 x 2.3. При каких значениях a уравнение 2|x − a| + a − 4 + x = 0 имеет решение и все решения удовлетворяют неравенству 0 ¶ x ¶ 4? 2.4. При каждом a решите уравнение |x + 2| + a|x − 4| = 6. 2.5. Найдите все значения a, при которых уравнение |1 − ax| = 1 + (1 − 2a)x + ax 2 имеет ровно одно решение. Тренировочные задачи к § 2 29 2.6. Найдите все значения a, при которых неравенство x 2 + 4x + 6a|x + 2| + 9a 2 ¶ 0 имеет не более одного решения. 2.7. Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение 2x − |x − k 2 | = 11k − 3 · |x + 4k| 1) не имеет решений; 2) имеет конечное непустое множество реше- ний. 2.8. Определите, при каких значениях a уравнение x − a 2 = 4 · |4|x| − a 2 | имеет ровно три различных корня. Найдите эти корни. 2.9. При каких значениях a уравнение 2|x − 9a| − 2a 2 + 35 + x = 0 не имеет решений? При каких значениях a это уравнение имеет хотя бы одно решение и все решения этого уравнения принадлежат отрез- ку [−30; 63]? 2.10. Найдите все пары (a; b), при каждой из которых уравнение |x − sin 2 a | + |x + cos 2 4a − 2 sin a · cos 4 4a| = b a + 3 2 π имеет единственное решение. 2.11. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство 1 2 |a − 2| · |x + a − 4| + a 2 − 4a + 3 |a − 2| − |a − 2| · |x − 2| + 1 2 |a − 2| · |x − a| ¶ 1 выполняется ровно для двух различных значений x. Ответы 2.1 . Если a < 0, то x = (−1 + p 1 − 4a)/2; если a = 0, то x = 0, x = −1; если a ∈ (0; 1/4), то x = (−1 − p 1 + 4a)/2, x = (−1 ± p 1 − 4a)/2; если a = 1/4, то x = (−1 − p 2)/2, x = −1/2; если a > 1/4, то x = (−1 − p 1 + 4a)/2. 2.2 . Если a < −1, то x ∈ (0; −a − p a 2 − 1] ∪ [−a + p a 2 − 1; −a + p a 2 + 1]; если a ¾ −1, то x ∈ (0; −a + p a 2 + 1]. 2.3 . a ∈ [4/3; 2]. 2.4 . Если a < −1, то x = 4; если a = −1, то x ∈ [4; +∞); если a ∈ (−1; 1), то x = 4, x = 4(a − 2)/(a + 1); если a = 1, то x ∈ [−2; 4]; если a > 1, то x = 4. 30 Часть 1. Решение задач 2.5 . a = 0; a = 1. 2.6 . a ∈ [2/3; +∞). 2.7 . 1. Не имеет решений для k ∈ (−23; 0). 2. Имеет конечное непустое мно- жество решений для k ∈ (−∞; −23) ∪ (0; +∞). 2.8 . Если a = −2, то x = {−1; 15/17; 17/15}; если a = −1/8, то x = {−1/136; 0; 1/120}. 2.9 . 1. a ∈ (−2,5; 7). 2. a ∈ [(9 − p 211)/2; −2,5] ∪ {7}. 2.10 . a = π/2 + 2πn, b = 0, n ∈ Z; a = −3π/2, b = t, t ∈ R. 2.11 . a = 2 ± p 2. Указание. Сделайте замену b = a − 2, t = (x − 2)/b. § 3. Решение обратных задач и задач, в которых параметр рассматривается как переменная В следующих задачах удобнее рассматривать параметр в качестве переменной. Пример 3.1. Найдите все значения x, при которых неравенство (4 − 2a)x 2 + (13a − 27)x + (33 − 13a) > 0 выполняется для всех a, удовлетворяющих условию 1 < a < 3. Решение. Преобразуем неравенство следующим образом: −2ax 2 + 13ax − 13a + 4x 2 − 27x + 33 > 0 ⇔ ⇔ (−2x 2 + 13x − 13) · a + 4x 2 − 27x + 33 > 0. Это неравенство будем рассматривать как линейное относительно a с коэффициентами, зависящими от x. Представим его в виде f (a) = k(x) · a + b(x) > 0, где k(x) = −2x 2 + 13x − 13, b(x) = 4x 2 − 27x + 33. В зависимости от знака коэффициента k(x) при a левая часть неравенства является возрастающей (коэффициент k(x) больше 0) или убывающей (ко- эффициент k(x) меньше 0) функцией от a. Если коэффициент k(x) равен 0, то это не зависящая от a функция. Дадим два возможных способа продолжения решения этой задачи. I. Пусть k(x) > 0. Тогда, как отмечено выше, линейная функция возрастает. Поэтому условие положительности этой функции при a ∈ ∈ (1; 3) равносильно тому, что её значение в точке a = 1 неотрица- тельно. Запишем рассматриваемые условия в виде системы: ¨ k(x) > 0, f (1) ¾ 0. § 3. Решение обратных задач 31 a y 0 1 3 f (a) = k(x)a + b(x) Рис. 3.1. Случай k(x) > 0 a y 0 1 3 f (a) = k(x)a + b(x) Рис. 3.2. Случай k(x) = 0 a y 0 1 3 f (a) = k(x)a + b(x) Рис. 3.3. Случай k(x) < 0 Если k(x) = 0, то неравенство будет верным для каждого a при усло- вии, что b(x) > 0, т. е. ¨ k(x) = 0, f (0) > 0. Наконец, если k(x) < 0, то функция k(x) · a + b(x) убывает, поэтому условие её положительности при a ∈ (1; 3) равносильно тому, что ¨ k(x) < 0, f (3) ¾ 0. Решая данные системы, мы приходим к ответу (советуем читателю проделать это самостоятельно). А мы приведём решение вторым спо- собом. II. Поскольку функция f (a) = k(x) · a + b(x) линейная, условие её положительности на (1; 3) равносильно тому, что | f (1)| + | f (3)| > 0, f (1) ¾ 0, f (3) ¾ 0 ⇔ ⇔ | f (1)| + | f (3)| > 0, (−2x 2 + 13x − 13) · 1 + 4x 2 − 27x + 33 ¾ 0, (−2x 2 + 13x − 13) · 3 + 4x 2 − 27x + 33 ¾ 0 ⇔ 32 Часть 1. Решение задач ⇔ | f (1)| + | f (3)| > 0, 2x 2 − 14x + 20 ¾ 0, − 2x 2 + 12x − 6 ¾ 0 ⇔ | f (1)| + | f (3)| > 0, x 2 − 7x + 10 ¾ 0, x 2 − 6x + 3 ¶ 0 ⇔ |(x − 2)(x − 5)| + |(x − 3) 2 − 6| > 0, (x − 2)(x − 5) ¾ 0, (x − 3) 2 − 6 ¶ 0 ⇔ ⇔ x ∈ R, x ∈ (−∞; 2] ∪ [5; +∞), (x − 3 + p 6)(x − 3 − p 6) ¶ 0 ⇔ ¨ x ∈ (−∞; 2] ∪ [5; +∞), x ∈ [3 − p 6; 3 + p 6]. Ответ: [3 − p 6; 2] ∪ [5; 3 + p 6]. Математические утверждения (теоремы, леммы) часто имеют вид A ⇒ B, где A — условие утверждения, B — его заключение. Если верно утверждение A ⇒ B и условие A выполняется, то применение логиче- ского правила (носящего название modus ponens) позволяет сделать вывод об истинности заключения B. Если верно утверждение A ⇒ B, а заключение B ложное, то и условие A ложно. Для утверждения A ⇒ B, называемого прямым, утверждение B ⇒ A будем называть обратным утверждением. Пример 3.2. Найдите все значения p, при каждом из которых множество решений неравенства (p − x 2 )(p + x − 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства x 2 ¶ 1. Решение. Ниже (см. пример 14.3 ) мы дадим и другое решение этого примера, в котором используется метод областей. Рекомендуем вам разобрать оба эти решения! Условие задачи, с учётом сказанного выше, можно переформу- лировать так: найдите все значения p, при каждом из которых все решения неравенства (p − x 2 )(p + x − 2) < 0 (3.1) удовлетворяют неравенству x 2 > 1. Решим неравенство ( 3.1 ). Для этого надо попытаться разложить p − x 2 на линейные множители. Это не удаётся сделать, если p < 0. Но при этом p − x 2 < 0 для всех x. По- этому неравенство окажется равносильным неравенству p + x − 2 > 0, § 3. Решение обратных задач 33 или x > 2 − p. Так как в рассматриваемом случае p < 0, получаем, что 2 − p > 2 и x 2 > 4 > 1. Следовательно, все p < 0 дают часть ответа задачи. Пусть p = 0. Тогда −x 2 (x − 2) < 0 ⇔ x 2 (x − 2) > 0. Решая неравенство методом интервалов, находим, что x > 2. Следо- вательно, p = 0 также даёт часть ответа задачи. Если p > 0, то p − x 2 = −(x − pp)(x + pp) и неравенство примет вид (x − p p)(x + p p)(x − 2 + p) > 0. (3.2) Для применения метода интервалов следует расставить на оси числа − p p, p p, 2− p в порядке возрастания. Очевидно, p p >−pp. Поэтому достаточно сравнить числа − p p, 2 − p и p p, 2 − p. Имеем − p p ∨ 2 − p, p p ∨ 2 − p, p − p p − 2 ∨ 0, p + p p − 2 ∨ 0, ( p p + 1)( p p − 2) ∨ 0, ( p p − 1)( p p + 2) ∨ 0, p p − 2 ∨ 0, p p − 1 ∨ 0, p p ∨ 2, p p ∨ 1, p ∨ 4, p ∨ 1. Эти сравнения означают, что − p p > 2 − p тогда и только тогда, когда p > 4, а pp > 2 − p тогда и только тогда, когда p > 1. Таким образом, следует рассмотреть случаи 0 < p < 1, p = 1, 1 < p < 4, p = 4 и p > 4. Пусть 0 < p < 1. Тогда − p p < pp < 2 − p. Методом интервалов из неравенства ( 3.2 ) получаем расположение точек, показанное на рис. 3.4 − + − + − p p p p 2 − p x Рис. 3.4. Случай 0 < p < 1 Следовательно, p ∈ (0; 1) не удовлетворяют условию задачи, так как x = 0 — решение исходного неравенства. Аналогично разбирается случай p = 1 (x = 0 опять будет решением). Пусть 1 < p < 4. Тогда − p p < p − 2 < pp. Методом интервалов из неравенства ( 3.2 ) получаем расположение точек, показанное на 34 Часть 1. Решение задач рис. 3.5 , − + − + − p p 2 − p p p x Рис. 3.5. Случай 1 < p < 4 т. е. x ∈ (− p p; 2 − p) ∪ ( p p; +∞). Данные значения x удовлетворяют неравенству x 2 > 1 в случае, если ¨ p p ¾ 1, 2 − p ¶ −1 ⇔ ¨ p ¾ 1, p ¾ 3 ⇔ p ¾ 3. Следовательно, значения p ∈ [3; 4) удовлетворяют условию задачи. Осталось рассмотреть последний случай p ¾ 4; см. рис. 3.6 , 3.7 − + − + 2 − p − p p p p x Рис. 3.6. Случай p > 4 − − + − p p = 2 − p p p a Рис. 3.7. Случай p = 4 Поскольку для p ¾ 4 выполнены неравенства p p > 1 и −pp < 1, значения p ¾ 4 также удовлетворяют условию задачи. Ответ: p ∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞). Тренировочные задачи к § 3 3.1. Найдите все значения x, при которых неравенство (2c − 6)x 2 + (32 − 10c)x − (8 + c) < 0 выполняется для всех c, удовлетворяющих условию 2 < c < 4. 3.2. Найдите все значения a, при которых неравенство x − 3a − 1 x + 2a − 2 ¶ 0 выполняется для всех x из промежутка [2; 3]. Тренировочные задачи к § 3 35 3.3. При каких положительных значениях a неравенство a + 2x ax − 4 ¾ 5 x справедливо для всех x > 10? 3.4. Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства 6x 2 + 4a 2 + 6ax − 3x − 24a + 35 < 0 содержит хотя бы одно целое число. 3.5. Для каждого значения a найдите число решений уравнения 2 16 𝑥 − 1 8 𝑥 − a + 8 4 𝑥 + 4 − 2a 2 𝑥 − a 2 + 4a + 5 = 0. 3.6. Найдите все значения q, при каждом из которых множество ре- шений неравенства (q − x 2 )(q + 2x − 8) < 0 не содержит ни одного решения неравенства x 2 ¶ 4. 3.7. Найдите все значения a, при которых неравенство |x 2 + 4x − a| > 6 не имеет решений на отрезке [−3; 0] 3.8. Найдите все значения a, при которых неравенство x + 7a 2 + a − 2 x + a + 1 < 7a − 1 не имеет положительных решений. 3.9. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству (2 − a)x 3 + (1 − 2a)x 2 − 6x + (5 + 4a − a 2 ) < 0 хотя бы при одном значении a, принадлежащем отрезку [−1; 2]. Ответы 3.1 . x ∈ [2 − p 10; 1] ∪ [5; 2 + p 10]. 3.2 . a ∈ (−∞; −1/2) ∪ [2/3; +∞]. 3.3 . a ∈ ∈ [2/5; 11/2]. 3.4 . a ∈ (2; 7). 3.5 . При a ∈ (−∞; −5/4) одно решение; при a = −5/4 два решения; при a ∈ (−5/4; −1) три решения; при a ∈ [−1; 1 − p 2) два решения; при a = 1 − p 2 одно решение; при a ∈ (1 − p 2; 5) два решения; при a ∈ [5; +∞) одно решение. 3.6 . q ∈ (−∞; 0] ∪ [12; +∞). 3.7 . a ∈ [−6; 2]. 3.8 . a ∈ [−1; −1/5]. 3.9 . x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞). |