задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
§ 14. Метод областей Метод областей является обобщением метода интервалов. При решении неравенства f (x)/g(x) ¾ 0 мы находили корни уравнений f (x) = 0, g(x) = 0, тем самым разбивая числовую прямую на части, в которых знак функции f (x)/g(x) сохранялся. Затем мы выбирали те части, которые составляли решение исходной задачи. При решении неравенства f (x, y)/g(x, y) ¾ 0 методом областей мы находим все кривые, на которых f (x, y) = 0 или g(x, y) = 0. Они разбивают плос- кость на части, в которых функция f (x, y)/g(x, y) сохраняет знак. За- тем мы выбираем те части, которые дадут решение исходной задачи. Разберём этот метод на простом примере. Пример 14.1. Найдите площадь фигуры на плоскости (x; y), за- данной неравенствами ¨ x 2 + y 2 −2x −4 y ¶ −1, 3x − 2 y + 1 ¾ 0. Решение. Выделив полные квадраты, перепишем систему в более удобном виде: ¨ (x − 1) 2 + (y − 2) 2 − 4 ¶ 0, 3x − 2 y + 1 ¾ 0 ⇔ ¨ f (x, y) ¶ 0, g(x, y) ¾ 0, 134 Часть 1. Решение задач где f (x, y) = (x − 1) 2 + (y − 2) 2 − 4, g(x) = 3x − 2 y + 1. Уравнение (x − 1) 2 + (y − 2) 2 − 4 = 0 задаёт окружность с центром в точке (1; 2) и радиусом 2. Следовательно, плоскость разбивается этой окружностью на две части: внешнюю и внутреннюю (см. рис. 14.1 , 14.2 ). Проверим, какое множество удовлетворяет условию f (x, y) = (x − 1) 2 + (y − 2) 2 − 4 ¶ 0. Для этого выберем произвольную точку (1; 2) внутри окружности и точку (−2; 2) вне окружности. Для них выполняются неравенства f (1; 2) = −4 < 0, f (−2; 2) = 5 > 0, и, таким образом, нам подходит множество, лежащее внутри круга (см. рис. 14.1 ). Решим второе неравенство g(x, y) = 3x − 2 y + 1 ¾ 0. Рассмотрим уравнение прямой 3x − 2 y + 1 = 0. Эта прямая делит плоскость на две части (см. рис. 14.3 , 14.4 ). Выберем по точке из каждой части и опре- x y 2 1 0 − − − − − − − Рис. 14.1 x y 2 1 0 + + + + + + Рис. 14.2 x y 2 1 0 + + + + 3x −2 y+1=0 Рис. 14.3 x y 2 1 0 − − − − − 3x −2 y+1=0 Рис. 14.4 § 14. Метод областей 135 0 1 2 x y 3x −2 y+1=0 Рис. 14.5 делим ту, которая нам подходит: g(−2; 0) = −5 < 0, g(2; 0) = 7 > 0. Следовательно, нам подходит множество, изображённое на рис. 14.3 Итак, нам требуется найти площадь множества, изображённого на рис. 14.5 . Но поскольку прямая проходит через центр окружности, данное множество является половиной круга радиуса 2. Следователь- но, площадь равна πR 2 /2 = 2π. Ответ: 2π. Пример 14.2. При каждом значении a решите неравенство p x + 2a > x + p 2a. Решение. Для удобства введём обозначения y = p x + 2a, b = p 2a. Сразу заметим, что для y, b выполнены неравенства y, b ¾ 0. Так как x = y 2 − b 2 , неравенство принимает вид ( y 2 − b 2 ) − ( y − b) < 0, или ¨ ( y − b)( y − (1 − b)) < 0, y ¾ 0, b ¾ 0. (14.1) Решим систему ( 14.1 ) двумя способами. I. Графический способ. Так как уравнения y = b, y = 1 − b задают прямые на плоскости (b; y), удобно изобразить на рисунке области знакопостоянства функции ( y − b)( y − (1 − b)) (см. рис. 14.6 ). Учи- тывая неотрицательность переменных y, b, мы можем изобразить множество, являющееся решением системы (см. рис. 14.7 ). Остаётся выписать ответ. Если b ∈ [0; 1/2), то y ∈ (b; 1 − b); при b = 1/2 решений нет; если b ∈ (1/2; 1], то y ∈ (1 − b; b); если b > 1, то y ∈ [0; b). 136 Часть 1. Решение задач b y y = b y = 1 − b 1 0 − − + + Рис. 14.6 b y y = b y = 1 − b 1 0 1 /2 1 Рис. 14.7 II. Решим систему ( 14.1 ) аналитически. Для этого нам потребуется сравнить корни y 1 = b, y 2 = 1−b между собой и с нулём. Из уравнений b = 0, b = 1 − b, 1 − b = 0 находим реше- ния b = 0, b = 1/2, b = 1. Исследуя систему ( 14.1 ) на каждом из участ- ков b ∈ [0; 1/2), b ∈ (1/2; 1], b > 1 по отдельности, приходим к ответу в переменных ( y; b). Если b ∈ [0; 1/2), то y ∈ (b; 1 − b); при b = 1/2 решений нет; если b ∈ (1/2; 1], то y ∈ (1 − b; b); если b > 1, то y ∈ [0; b). Вернёмся к переменным (a, x): b ∈ [0; 1/2), y ∈ (b; 1 − b), b = 1/2 — решений нет, b ∈ (1/2; 1], y ∈ (1 − b; b), b > 1, y ∈ [0; b) ⇔ ⇔ p 2a ∈ [0; 1/2), p x + 2a ∈ ( p 2a; 1 − p 2a), p 2a = 1/2 — решений нет, p 2a ∈ (1/2; 1], p x + 2a ∈ (1 − p 2a; p 2a), p 2a > 1, p x + 2a ∈ [0; p 2a) ⇔ ⇔ a ∈ [0; 1/8), x + 2a ∈ (2a; 1 − 2 p 2a + 2a), a = 1/8 — решений нет, a ∈ (1/8; 1/2], x + 2a ∈ (1 − 2 p 2a + 2a; 2a), a > 1/2, x + 2a ∈ [0; 2a) ⇔ § 14. Метод областей 137 ⇔ a ∈ [0; 1/8), x ∈ (0; 1 − 2 p 2a), a = 1/8 — решений нет, a ∈ (1/8; 1/2], x ∈ (1 − 2 p 2a; 0), a > 1/2, x ∈ [−2a; 0). Ответ: при a<0 решений нет; если a∈[0; 1/8), то x ∈(0; 1−2 p 2a); при a = 1/8 решений нет; если a ∈ (1/8; 1/2], то x ∈ (1 − 2 p 2a; 0); если a > 1/2, то x ∈ [−2a; 0). Пример 14.3. Найдите все значения p, при каждом из которых множество решений неравенства (p − x 2 )(p + x − 2) < 0. не содержит ни одного решения неравенства x 2 ¶ 1. Решение. Этот пример уже был решён (см. пример 3.2 ). Пока- жем, как его можно решить с использованием метода областей. На рис. 14.8 изображены кривые p = x 2 и p + x = 2. При помощи ме- тода областей расставляем знаки функции, стоящей в левой части неравенства, в областях, образованных этими кривыми. Заметим (см. рис. 14.9 ), что при p ∈ (0; 3) существуют решения x исходного неравенства из отрезка [−1; 1], а для оставшихся p ∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞) решений x из отрезка [−1; 1] не существует. p 0 1 2 3 4 −2 −1 1 2 p + x − 2 = 0 p = x 2 x + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − − Рис. 14.8 p 0 1 2 3 4 −2 −1 1 2 p + x − 2 = 0 p = x 2 x Рис. 14.9 Ответ: p ∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞). Пример 14.4. Докажите, что множество, заданное на коорди- натной плоскости условием |3x + 6| + |2 y + 3x − 2| < 6, является параллелограммом с центром в точке пересечения прямых 3x + 6 = 0, 2 y + 3x − 2 = 0, которые являются диагоналями данного параллело- грамма. Найдите площадь параллелограмма. 138 Часть 1. Решение задач Решение. Заметим, что |a| + |b| < c ⇔ ¨ |a + b| < c, |a − b| < c. Действительно, это неравенство легко проверить, рассматривая все возможные комбинации знаков чисел a и b. Используя это замечание, находим, что исходное неравенство равносильно системе |2 y +3x −2|+|3x +6| < 6 ⇔ ¨ |(2y + 3x − 2) + (3x + 6)| < 6, |(2 y + 3x − 2) − (3x + 6)| < 6 ⇔ ⇔ ¨ |2y + 6x + 4| < 6, |2 y − 8| < 6 ⇔ ¨ |y + 3x + 2| < 3, | y − 4| < 3. Решением неравенства | y + 3x + 2| < 3 является множество −5 < < y + 3x < 1; см. рис. 14.10 7 4 1 y = 1 − 3x y = −3x − 5 x y −4 −2 0 A B C D E Рис. 14.10. Множество −5 < y + 3x < 1 Решением неравенства | y − 4| < 3 является множество 1 < y < 7; см. рис. 14.11 Пересечением данных множеств (−5 < y + 3x < 1 и 1 < y < 7; см. рис. 14.12 ) действительно является параллелограмм со сторонами AB: y + 3x + 5 = 0, BC: y = 7, CD: y + 3x − 1 = 0, DA: y = 1. Следовательно, диагоналями данного параллелограмма действи- тельно являются прямые AC: 3x + 6 = 0, BD: 2 y + 3x − 2 = 0, которые Тренировочные задачи к § 14 139 y = 1 y = 7 x y −4 −2 0 A B C D E Рис. 14.11. Множество 1 < y < 7 7 4 1 y = 1 − 3x y = −3x − 5 2 y + 3x − 2 = 0 3x + 6 = 0 ( −2, 4) x y −4 −2 0 A B C D E Рис. 14.12 пересекаются в точке (−2; 4). Найдём площадь параллелограмма: S 𝐴𝐵𝐶𝐷 = AC · AD = 2 · 6 = 12. Ответ: 12. Тренировочные задачи к § 14 14.1. При каких значениях a на плоскости существует круг, содержа- щий все точки, удовлетворяющие системе неравенств 2 y − x ¶ 1, y + 2x ¶ 2, y + ax ¾ −1? 140 Часть 1. Решение задач 14.2. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ x 2 + a ¶ −2x, a + 2 + x ¾ 0 имеет единственное решение. 14.3. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую про- грессию. Первый, второй и четвёртый члены этой прогрессии явля- ются решениями неравенства log 0,5𝑥−1 log 4 x − 11 x − 8 ¾ 0, а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите мно- жество всех возможных значений первого члена таких прогрессий. 14.4. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовле- творяют соотношениям x 2 + y 2 ¶ 9, y + 1 ¾ 0, 3 y + 6 ¾ 2|x|. 14.5. Определите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек (x; y), удовлетворяющих неравен- ству log 0,5(𝑥 2 +𝑦 2 ) (x − y) > 1. 14.6. Найдите периметр фигуры, точки которой на координатной плоскости (x; y) удовлетворяют системе ¨ y > |x − 2| − 1 , x 2 + y 2 < 4x + 2y − 3. 14.7. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоско- сти условиями ( y ¶ p 4 − x 2 , y ¾ |x − 1| − 3. 14.8. Определите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек (x; y), удовлетворяющих неравен- ству x 2 + y 2 ¶ 6|x| − 6| y|. 14.9. Найдите все значения, которые может принимать сумма x + a при условии |2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a| ¶ 3. Тренировочные задачи к § 14 141 14.10. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоско- сти соотношением y − x 2 2 + y + x 2 2 ¶ 2 + x . 14.11. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ |x + 2y + 1| ¶ 11, (x − a) 2 + (y − 2a) 2 = 2 + a имеет единственное решение. 14.12. Найдите все значения a, при каждом из которых ровно одно решение неравенства x 2 + (5a + 3)x + 4a 2 ¶ 4 удовлетворяет неравен- ству ax(x − 4 − a) ¶ 0. 14.13. Найдите все значения a, при каждом из которых система нера- венств Æ (x − 2a) 2 + (y − a) 2 ¶ |a| 6 p 5 , x − 2 y ¾ 1 имеет решения. 14.14. Найдите все положительные значения a, при каждом из кото- рых система неравенств ¨ (x + y + a) 2 + (x − y − a) 2 ¶ (a − 1) 2 , (x + y − 2a) 2 + (x − y + 3a) 2 ¶ (8a − 5) 2 не имеет решений. 14.15. При каких значениях p площадь фигуры, заданной на коорди- натной плоскости уравнением |2x + y| + |x − y + 3| ¶ p, будет равна 24? 14.16. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ x 2 + y 2 − 6|x| − 6| y| + 17 ¶ 0, x 2 + y 2 − 2 y = a 2 − 1 имеет хотя бы одно решение. 14.17. Составьте уравнение окружности наименьшего радиуса, внут- ри которой помещается множество, заданное на координатной плос- кости условием | y − 2x − 1| + |2x − 4| < 4. 142 Часть 1. Решение задач 14.18. При каких значениях a система ¨ x 2 + (2 − 3a)x + 2a 2 − 2a < 0, ax = 1 имеет решения? 14.19. При каждом значении a ¾ 0 решите неравенство x 2 (x − 2) x + 2 + ax 2 + ax x + 2 − 2ax + a 2 ¾ 0. 14.20. Найдите все значения c, при каждом из которых множество точек плоскости, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе x 2 + y 2 − 16x + 10 y + 65 x 2 + y 2 − 14x + 12 y + 79 ¶ 0, (x − c)( y + c) = 0, являются отрезком. 14.21. Найдите все значения a, при каждом из которых система ( x − ax − a x − 2 + 2a ¾ 0, x − 8 > ax не имеет решений. 14.22. При каждом значении b решите неравенство p x +4b 2 >x+2|b|. 14.23. Для каждого значения a, принадлежащего отрезку [−1; 0], ре- шите неравенство log 𝑥 +𝑎 (x 2 − (a + 1)x + a) ¾ 1. Ответы 14.1 . a ∈ (−1/2; 2). 14.2 . a = −3; a = 1. 14.3 . a 1 ∈ (2; 2,5). Указание. Напишите неравенства для a 1 и d и решите их методом областей. 14.4 . 9(π + 1)/2. 14.5 . π/3 + 2 p 3. 14.6 . 3π/ p 2 + 2 p 2. 14.7 . 2π + 7. 14.8 . 18π − 36. 14.9 . [−1; 5]. 14.10 . 15/2. 14.11 . a = −2; a = 3. 14.12 . a ∈ {−5/3; −3/2; −1; 1}. 14.13 . a ∈ (−∞; −6] ∪ [6; +∞). 14.14 . a ∈ (3/7; 3/2). 14.15 . p = 6. 14.16 . a ∈ [−6; 1 − p 13] ∪ [ p 13 − 1; 6] 14.17 . (x − 2) 2 + (y − 5) 2 = 20. 14.18 . a ∈ (−1; (1 − p 3)/2) ∪ (1; (1 + p 3)/2). 14.19 . Если a ∈ [0; 1), то x ∈ (−∞; −2) ∪ [−2a/(a + 1); 1 − p 1 − a] ∪ [1 + p 1 − a; +∞); если a ¾ 1, то x ∈ (−∞; −2) ∪ [−2a/(a + 1); +∞). 14.20 . c ∈ (5 − 2 p 6; 8 − 2 p 6) ∪ (5 + 2 p 6; 8 + 2 p 6). 14.21 . a ∈ [1; 3]. 14.22 . Если |b| ∈ [0; 1/4), то x ∈ (0; 1 − 4|b|); если |b| = 1/4, то решений нет; если |b| ∈ (1/4; 1/2], то x ∈ (1 − 4|b|; 0); если |b| > 1/2, то x ∈ [−4b 2 ; 0). |