задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами

• Название: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
• Дата: 15.04.2023
• Размер: 5.52 Mb.
• Имя файла: задача с параметром.pdf
• Тип: Книга; #1064746
• страница: 11 из 21

Ответ: c
=
71 8
; c = 8.
Пример 13.5. Решите неравенство arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) ¾ 3x − 18.
Решение. Заметим, что функции arcsin(sin x), arccos(cos x) пери- одические с периодом 2π (см. рис.
13.11
–
13.12
).
В частности, имеем arcsin(sin x) =



x
− 2πk,
x
∈
”
−
π
2
+ 2πk;
π
2
+ 2πk
—
, k ∈ Z,
π − x + 2πk, x ∈
”
π
2
+ 2πk; 3
π
2
+ 2πk
—
, k ∈ Z,
и arccos(cos x) =
¨
x
− 2πk, x ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ Z,
−x + 2πk, x ∈ [−π + 2πk; 2πk], k ∈ Z.
Построим график функции f (x) = arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) на пе- риоде, т. е. на отрезке [0; 2π]. Для этого нанесём точки (x; f (x)) с абс- циссами x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π на координатную плоскость и со- единим их прямолинейными отрезками. Продолжим график на всю

§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
125
x
y
π
−π
0
−π/2
π/2
y
= arcsin(sin x)
y
= −x + π
y
= x − 2π
y
= −x − π
y
= x + 2π
y
= x
Рис. 13.11
x
y
π
−π
0
π
y
= arccos(cos x)
y
= −x + 2π
y
= −x
y
= −x − 2π
y
= x + 2π
y
= x
Рис. 13.12
x
y
−π
π
2
π
3
π
4
π
π
2
π
3
π
0
y
= 3x − 18
y
= f (x)
Рис. 13.13
прямую, используя то, что исходная функция является периодиче- ской с периодом 2π. Затем построим график прямой y = 3x − 18
(см. рис.
13.13
).

126
Часть 1.
Решение задач
Решим уравнение arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) = 3x − 18,
а затем методом интервалов решим исходное неравенство. Так как функция f (x) удовлетворяет условиям 0 ¶ f (x) ¶ 3π, на множестве
(−∞; 3π/2) ∪ (3π; +∞) решений у уравнения нет (значения функции
g(x) = 3x − 18 на этих участках не попадают в отрезок [0; 3π]). Для функции f (x) имеем
f (x) = arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) =





−2x + 4π, x ∈ [3π/2; 2π],
4x − 8π,
x
∈ [2π; 5π/2],
2x − 3π,
x
∈ [5π/2; 3π].
Следовательно,
−2x + 4π = 3x − 18 ⇔ x
1
=
4π + 18 5
∈ [3π/2; 2π],
4x − 8π = 3x − 18 ⇔ x
2
= 8π − 18 ∈ [2π; 5π/2],
2x − 3π = 3x − 18 ⇔ x
3
= 18 − 3π ∈ [5π/2; 3π].
Остаётся применить метод интервалов к неравенству f (x) − g(x) ¾ 0:
f (0) − g(0) = 18 ⇒ f (x) − g(x) ¾ 0, x ∈ (−∞; x
1
],
f (2π) − g(2π) = 18 − 6π < 0 ⇒ f (x) − g(x) < 0, x ∈ (x
1
; x
2
),
f
€
5π
2
Š
− g
€
5π
2
Š = 2π −
15π
2
+ 18 = 18 −
11π
2
> 0 ⇒
⇒ f (x) − g(x) ¾ 0, x ∈ [x
2
; x
3
],
f (4π) − g(4π) = 18 − 12π < 0 ⇒ f (x) − g(x) < 0, x ∈ (x
3
; +∞).
+
−
+
−
x
1
x
2
x
3
Рис. 13.14. f (x) − g(x) ¾ 0
Таким образом, приходим к ответу.
Ответ: (−∞; (4π + 18)/5] ∪ [8π − 18; 18 − 3π].
Пример 13.6. Найдите все положительные a, при которых урав- нение
2πa + arcsin(sin x) + 2 arccos(cos x) − ax
tg
2
x
+ 1
= 0

§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
127
имеет ровно три различных решения, принадлежащих множеству
(−∞; 7π].
Решение. Область допустимых значений — R \ {π/2 + πn, n ∈ Z}.
На области определения решаем уравнение arcsin(sin x) + 2 arccos(cos x) = ax − 2πa.
Функция
f (x) = arcsin(sin x) + 2 arccos(cos x)
периодическая с периодом 2π, причём она является линейной на каж- дом из множеств [0; π/2], [π/2; π], [π; 3π/2], [3π/2; 2π]. Поскольку
f (0) = f (2π) = 0,
f
€
π
2
Š =
3π
2
,
f (π) = 2π,
f
€
3π
2
Š =
π
2
,
можно теперь построить график функции на всей числовой прямой
(см. рис.
13.15
).
x
y
0
π/2
π
3
π/2 2
π
π
2
π
3
π
4
π
5
π
6
π
7
π
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
Рис. 13.15
Графики функций y = a(x − 2π) образуют семейство прямых, про- ходящих через точку (2π; 0).
Далее выбираем те прямые, которые дают три решения из указан- ного множества. Им соответствуют значения a = 1/3; a = 2/3; a = 3/5.
Ответ: a
= 1/3; a = 2/3; a = 3/5.
Пример 13.7. Найдите все значения a, при которых система урав- нений
¨
(x + y
2
− 1)( y −
p
6|x|) = 0,
2ay + x = 1 + a
2
имеет ровно два различных решения.

128
Часть 1.
Решение задач
x
y
0 1
Рис. 13.16
x
y
0
Рис. 13.17
Решение. Первое уравнение системы равносильно совокупности уравнений y
2
= 1− x и y =
p
6|x| (см. рис.
13.16
). Выясним, при каких значениях a прямая 2ay + x = 1 + a
2
касается параболы y
2
= 1 − x.
Запишем условия касания этих графиков (для удобства будем рас- сматривать их как графики функций от переменной y):
¨
1 + a
2
− 2ay = 1 − y
2
,
−2a = −2 y.
Из второго уравнения находим y = a и, подставив найденное значе- ние в первое уравнение, приходим к тождеству 1 + a
2
− 2a
2
= 1 − a
2
Таким образом, показано, что прямая 2ay + x = 1 + a
2
при любом a
является касательной к параболе y
2
= 1 − x (см. рис.
13.17
).
Поскольку прямая 2ay + x = 1 + a
2
при любом a имеет ровно одну точку пересечения с параболой, необходимо найти такие значения a,
при которых:
A) либо прямая 2ay + x = 1 + a
2
пересекает график функции y =
p
6|x|
в двух точках, но при этом одна из точек пересечения совпадает с точкой касания к параболе (см. рис.
13.18
);
B) либо прямая 2ay + x = 1 + a
2
пересекает график функции y =
p
6|x|
в одной точке, но отличной от точки касания (см. рис.
13.19
).
В этих случаях будет ровно два решения исходной системы.
Разберём случай A. Для этого найдём точки пересечения параболы
y
2
= 1 − x и графика функции y =
p
6|x|:
¨ y
2
= 1 − x,
y
=
p
6|x|
⇔
¨
1 − x = 6x
2
,
y
=
p
6|x|
⇔


(x; y) =
€
−
1 2
;
p
6 2
Š
,
(x; y) =
€
1 3
;
p
6 3
Š

§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
129
x
y
0 1
Рис. 13.18
x
y
0 1
Рис. 13.19
Уравнение 2ay + x = 1 + a
2
равносильно уравнению (a − y)
2
= x + y
2
−1,
и при условии, что точка (x; y) принадлежит параболе, последнее ра- венство означает, что a = y. Поэтому двум касательным (см. рис.
13.18
)
соответствуют значения a =
p
6/2 и a =
p
6/3.
Разберём случай B (см. рис.
13.19
). В случае a = 0 касательная к параболе 2ay + x = 1 + a
2
превращается в прямую x = 1, которая тоже имеет ровно одну точку пересечения с графиком функции y =
p
6|x|.
Пусть a 6= 0. Если касательная 2ay + x = 1+a
2
(т. е. y = −
1 2a
x
+
a
2
+ 1 2a
)
будет параллельна прямой y =−
p
6x, то исходная система будет иметь ровно два решения, так как касательная пересечёт луч y =
p
6x, x > 0,
но при этом не имеет общих точек с лучом y = −
p
6x, x < 0. Для каса- тельной 2ay + x = 1 + a
2
угловой коэффициент k равен −1/(2a). При уменьшении углового коэффициента k касательная пересечёт луч
y
=
p
6x, x > 0, но при этом не будет пересекаться с лучом y = −
p
6x,
x
< 0.
Если касательная станет параллельной прямой y =
p
6x, то у ис- ходной системы будет только одно решение (это нам не подходит).
При увеличении углового коэффициента k касательная пересечёт луч
y
=
p
6x, x > 0, но при этом не будет пересекаться с лучом y = −
p
6x,
x
< 0.
Таким образом, нужно найти те касательные, которые имеют уг- ловой коэффициент k = −1/(2a), больший чем p
6 либо не больший чем −
p
6, откуда с учётом рассмотренного выше получаем


−
1 2a
>
p
6,
−
1 2a
¶ −
p
6
⇔


1 + 2
p
6a
2a
< 0,
1 − 2
p
6a
2a
¾ 0.

130
Часть 1.
Решение задач
Поскольку случай a = 0 тоже подходит, имеем a ∈
€
−
1 2
p
6
;
1 2
p
6
—
Ответ: a
∈
¦
p
6 3
;
p
6 2
©
∪
€
−
1 2
p
6
;
1 2
p
6
—
Тренировочные задачи к § 13
13.1. Для каждого допустимого значения a определите количество решений системы
¨
log
𝑎
p
y
= (x
2
− 7x)
2
,
x
2
+ y = 7x.
13.2. Для каждого допустимого значения a определите количество решений системы
¨
log
𝑎
4
p
2 y = (x
2
− 10x)
2
,
x
2
+ y = 10x.
13.3. Найдите все значения a, при которых система
¨ |a − 1|
𝑥
−𝑦+1
= log
π
x
− 7,
x
− log
π
x
= y − 8
имеет ровно два различных решения.
13.4. Найдите все значения a из интервала (−π; π), при которых система
(
(1 − 4x
2
− 4 y
2
)(4x
2
+ 15 − 12y) = 0,
y cos a + x sin a =
1 2
имеет ровно три различных решения.
13.5. Найдите все значения a, при которых система
¨
( y
2
+ |x| + |2 − x| − 2)(xy − x + y − 2) = 0,
x
− 2a − 1 + ( y − 1)(a + 1)
2
= 0
имеет ровно два различных решения.
13.6. Найдите все значения a, при которых система
(
|a|
𝑦
2
=
7
p
−4x
2
+ 24x − 32,
y
= 4x
2
− 24x + 32
имеет не менее двух решений.

Тренировочные задачи к § 13 131
13.7. Найдите все значения a, при которых система уравнений
¨
(x − y
2
+ 1)(y −
p
6|x|) = 0,
2ay − x = 1 + a
2
имеет ровно два различных решения.
13.8. Найдите все значения a, при которых система
¨ |a|
2 𝑥−7𝑦+12
= e
2
(2x − 6 y + 11),
4 y − x = 6
имеет ровно два различных решения.
13.9. Определите, при каких значениях a уравнение
|x
2
− 6x + 8| + 2 = log
𝑎
x
имеет единственное решение.
13.10. Решите уравнение x
2
= arcsin(sin x) + 10x.
13.11. Даны функции
f (x, y) = | y| + 2|x| − 2 и g(x, y, a) = x
2
+ (y − a)(y + a).
а) При каком наименьшем положительном значении a система уравнений
¨ f (x, y) = 0,
g(x, y, a) = 0
имеет ровно четыре различных решения?
б) При этом значении a найдите площадь фигуры, координаты
(x; y) всех точек которой удовлетворяют неравенству
f (x, y)
g(x, y, a)
¶ 0.
13.12. Решите неравенство 2 arcsin(sin x) + arccos(cos x) ¾ −x − 3.
13.13. Найдите все положительные a, при которых уравнение
4πa + arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) − ax
2 + tg
2
x
= 0
имеет ровно три различных решения.
13.14. При каких значениях a неравенство log
𝑎𝑥
2
+2𝑎
2
𝑥
+1
Æ
16 arcsin
−4
(x + 3a) ¾
log
𝑎𝑥
2
+2𝑎
2
𝑥
+1
Æ
16 arcsin
−4
(x + 3a)
не имеет решений на отрезке [−5; 6]?

132
Часть 1.
Решение задач
13.15. Найдите все значения a, при каждом из которых корни урав- нения
Æ
x
+ 3 − 4
p
x
− 1 +
Æ
x
+ 8 − 6
p
x
− 1 = a
существуют и принадлежат отрезку [2; 17].
13.16. Найдите все значения a и n, при которых разница между наи- большим и наименьшим положительными корнями уравнения
|| . . . |||
| {z }
𝑛 знаков
x
− 1| − 1| − 1| − . . . − 1| − 1| = a
равна 18,3.
13.17. Найдите все значения a, при которых уравнение
a
+
p
6x − x
2
− 8 = 3 +
p
1 + 2ax − a
2
− x
2
имеет ровно одно решение.
13.18. Найдите все значения a и b, при которых система уравнений
¨ x
2
+ y
2
+ 5 = b
2
+ 2x − 4y,
x
2
+ (12 − 2a)x + y
2
= 2ay + 12a − 2a
2
− 27
имеет два решения (x
1
; y
1
) и (x
2
; y
2
), удовлетворяющие условию
x
1
− x
2
y
2
− y
1
=
y
1
+ y
2
x
1
+ x
2
13.19. Найдите все значения a, при которых система
¨
(xy − y − 9)( y + x
2
− 1) = 0,
y
= a(x − 3)
имеет ровно три различных решения.
13.20. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sin(arccos(5x)) = a + arcsin(sin(7x − 3))
имеет единственное решение.
13.21. Найдите все значения a, при каждом из которых графики функций
y
=
3x + 1
x
и
y
=
4x + 3a − 7
ax
− 1
разбивают координатную плоскость ровно на пять частей.

§ 14.
Метод областей
133
Ответы
13.1
. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; (49/4)
8/2401
) два решения; при a = (49/4)
8/2401
три решения; при a ∈ ((49/4)
8/2401
; e
1/(4𝑒)
) четыре решения; при a = e
1/(4𝑒)
два решения; при a > e
1/(4𝑒)
решений нет.
13.2
. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; 50 1/2500
) два решения; при a = 50 1/2500
три решения;
при a ∈ (50 1/2500
; e
1/(2𝑒)
) четыре решения; при a > e
1/(2𝑒)
решений нет.
13.3
. a
∈ (1 − e
1/𝑒
; 0) ∪ (2; 1 + e
1/𝑒
).
13.4
. a
∈
€
−
2π
3
; −
π
2
Š
∪
€
−
π
2
; − arccos
3 4
Š
∪
€
arccos
3 4
;
π
2
Š
∪
€
π
2
;
2π
3
Š
(ответ получен из условий −1/2 < cos a < 3/4, cos a 6= 0).
13.5
. a
∈ [−4; −2 −
p
2] ∪ [−2 +
p
2; 0].
13.6
. a
∈ (−e
1/(14𝑒)
; 0) ∪ (0; e
1/(14𝑒)
).
13.7
. a
∈ {
p
6/3;
p
6/2} ∪
€
−
1 2
p
6
;
1 2
p
6
—
13.8
. a
∈ (−e
2
; −1) ∪ (1; e
2
).
13.9
. a
∈ (0; 1) ∪ {2}.
13.10
. 0; (9 +
p
81 + 12π)/2.
13.11
. а) a = 2/
p
5; б) 4 − 4π/5.
13.12
. [−3/4 − 3π/2; −π + 3/2] ∪ [−3/2; +∞).
13.13
. a
∈ {1; 2/3; 4/5}.
13.14
. a
∈ (−∞; −1] ∪ {0} ∪ (2; +∞).
13.15
. a
∈ [1; 3].
13.16
. n
= 19, a = 0,15.
13.17
. a
∈ [2; 3) ∪ (3; 4].
13.18
. a
= 4,
p
45 − 3 < |b| <
p
45 + 3.
13.19
. a
= −6 − 4
p
2; a = 3/5.
13.20
. a
∈ [π − 22/5; π − 8/5) ∪ {π − 3 +
p
74/5}.
13.21
. a
∈ [0; 1].