66 Молчанова Статистика УМК без титула (1). I. Теория статистики

• Название: I. Теория статистики
• Анкор: 66 Молчанова Статистика УМК без титула (1).pdf
• Дата: 06.10.2017
• Размер: 1.56 Mb.
• Имя файла: 66 Молчанова Статистика УМК без титула (1).pdf
• Тип: Реферат; #9234
• страница: 22 из 38

интерполяции.
Как и экстраполяция, интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, а также с помощью аналитического выравнивания.
Интерполяция также основана на том или ином предположении о тенденции изменения уровней, но здесь уже не приходится предполагать, что тенденция, характерная для прошлого, сохранится и в будущем. При интерполяции предполагается, что ни выявленная тенденция, ни ее характер не претерпели существенных изменений в том промежутке времени, уровень (уровни) которого нам неизвестны.
Тренировочные задания
1. Имеются следующие данные о производстве стали в России:
Годы
2000 2001 2002 2003 2004
Производство стали, млн. тонн
59,1 59,0 58,0 61,3 64,1
// «РЦБ» №12 (291), 2005
Определите цепные и базисные:
а) абсолютные приросты;
б) темпы роста;
в) темпы прироста.
Решение:
а) величина абсолютного прироста – это разность двух сравниваемых величин.
1
i y
−
−
=
∆
i
y
i
или
0
i y
y
б
−
=
∆
,
где
i
у
– уровень i-го года,
218

0
y
– уровень базисного года.
Годы
2000 2001 2002 2003 2004
Абсолютный прирост, млн. тонн к предыдущему году
-
-0,1
-1,0 3,3 2,8
к базисному 2000 году
-
-0,1
-1,1 2,2 5,0
б) Интенсивность изменения уровней ряда динамики оцениваются отношением текущего уровня к предыдущему или базисному, которое всегда представляет собой положительное число. Поэтому темпы роста
представим в следующей таблице:
Годы
2000 2001 2002 2003 2004
Темп роста, %
к предыдущему году
-
99,8 98,3 105,7 104,6
к базисному 2000
году
100 99,8 98,1 103,7 108,5
в) для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяем темп
прироста, который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню, или
100
−
=
i
пр
T
T
i
- цепной и
100
−
=
б
пр
T
T
б
- базисный:
Годы
2000 2001 2002 2003 2004
Темпы прироста,
%
к предыдущему году
-
-0,2
-1,7 5,7 4,6
к базисному 2000 году
-
-0,2
-1,9 3,7 8,5
2. Закупка картофеля организациями потребительской кооперации региона за три года составила:
Месяцы
Годы
1 год
2 год
3 год
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
168 212 234 636 761 868 535 164 1217 925 416 346 243 317 329 606 910 1032 515 244 860 1240 354 175 205 184 269 572 702 801 290 443 207 2308 331 389 219

Измерьте сезонные колебания реализации картофеля, исчислив индексы сезонности. Сделайте выводы.
Решение:
Возьмем данные по условию, занесем их в графы 1-4 табл. 1.10.7 и проведем расчет индексов сезонности.
По данным таблицы 1.10.7 вычислим усредненные значения уровней по одноименным периодам способом арифметической простой:
январь:
3
,
205 3
616 3
205 243 168 1
=
=
+
+
=
у
;
февраль:
7
,
237 3
713 3
184 317 212 2
=
=
+
+
=
у
и т.д. (графа 5 табл.
1.10.7).
Затем по вычисленным помесячным средним уровням (
i
y
) определим общий средний уровень (
у
):
8
,
555 12 3
,
6669
=
=
=
∑
n
у
у
i
или
( )
8
,
555 3
35
,
1667 3
4
,
558 75
,
568 2
,
540
=
=
+
+
=
=
∑
m
у
у
i
где m - число лет;
( )
∑
i
у
- сумма среднегодовых уровней ряда динамики.
Таблица 1.10.7
Динамика реализации картофеля организациями
потребительской кооперации региона
Месяцы
Годы
Индекс сезонности
%
,
100
⋅
=
y
y
i
S
I
1 год
i
у
2 год
i
у
3 год
i
у
в среднем за три года
i
y
1 2
3 4
5 6
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
168 212 234 636 761 868 535 243 317 329 606 910 1032 515 205 184 269 572 702 801 290 205,3 237,7 277,3 604,7 791,0 900,3 446,7 36,9 42,8 49,9 108,8 142,3 162,0 80,4 220

Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
164 1217 925 416 346 244 860 1240 354 175 443 207 2308 331 389 283,7 761,3 1491,0 367,0 303,3 51,0 137,0 268,3 66,0 54,6
Средний уровень ряда
у
540,2 568,75 558,4
у
=
555,8 100,0
Далее рассчитаем по месяцам года индексы сезонности:
январь:
%;
9
,
36 100 8
,
555 3
,
205 1
=
⋅
=
S
I
февраль:
%
8
,
42 100 8
,
555 7
,
237 2
=
⋅
=
S
I
и т.д. (графа 6 табл. 1.10.7)
Совокупность исчисленных индексов сезонности характеризует сезонную волну реализации картофеля.
Анализ данных табл. 1.10.7 позволяет сделать следующие выводы:
1) реализация картофеля характеризуется резко выраженной сезонностью;
2) закупка картофеля по отдельным месяцам года отклоняется от среднемесячной закупки на 62 – 168%;
3) наименьшей реализацией картофеля характеризуется январь (36,9%), а наибольшей – октябрь (268,3%).
3. Имеются основные показатели деятельности аспирантуры:
Годы
Численность аспирантов
(на конец года), чел.
1999 479 2000 560 2001 619 2002 740 2003 827 2004 918
// Белгородская область в цифрах в 2004 году. Крат. стат. сб./ Белгородстат. – 2005, с. 182
Для анализа ряда динамики:
1) определите цепные и базисные: абсолютные приросты; темпы роста; темпы прироста;
221

2) определите для каждого года абсолютное значение 1% прироста;
3) рассчитайте среднегодовой абсолютный прирост, темп роста, темп прироста;
4) рассчитайте прогноз на 2005 и 2006 годы;
5) проведите аналитическое выравнивание динамического ряда.
Результаты расчетов оформите в таблице.
4. Динамика индекса потребительских цен РФ характеризуется следующими данными:
Годы
ИПЦ РФ, раз
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2,6 26,1 9,4 3,2 2,3 1,2 1,1 1,8 1,4 1,2 1,2 1,2 1,1
Рассчитать изменение цен в 2003 году по отношению к 1991
(цепной метод).
5. Имеются следующие данные о развитии инфраструктуры сельской местности в Белгородской области:
Годы
1999 2000 2001 2002 2003
Ввод в действие газовых сетей, км
916,9 451,4 118,2 117,8 212,7
// Белгородская область в 2003 году. Статистический сборник/ Белгородстат. – 2004, с. 129
Рассчитайте индексы цепных и базисных: абсолютных приростов и темпов роста. Результаты изложите в таблице.
6. Имеются следующие данные о товарных запасах в розничной торговле за первый квартал, тыс. руб.:
Товарные группы на 1/I
на 1/II
на 1/III
на 1/IV
Продовольственные товары
1620 1720 1380 1540
Непродовольственные товары
2800 2690 2809 2750
Определите средние товарные запасы за первый квартал по каждой товарной группе и в целом по двум группам.
7. Динамика кредитных ресурсов коммерческого банка на начало месяца характеризуется данными:
222

Месяц
1 2
3 4
5 6
7
Кредитные ресурсы,
млн. руб.
48 53 51 50 55 52 54
Определите средний объем кредитных ресурсов за первый и второй квартал, абсолютный прирост и темп прироста среднего объема.
8. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице цепные показатели динамики по следующим данным об объеме промышленной продукции по области:
Годы
Объем промышленной продукции,
млн. руб.
По сравнению с предыдущим годом
Абсолютный прирост,
млн. руб.
Темп роста,
%
Темп прироста,
%
Абсолютное значение
1% прироста,
млн. руб.
1998 1999 2000 2001 2002 2003 32500,5 6249,8 5898,6 106,9 23,0 616,033
9. Среднесуточное потребление электроэнергии характеризуется следующими данными, тыс. кВт-ч:
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
16,7 14,1 13,4 9,7 8,2 7,5
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
8,4 9,8 10,9 12,2 15,8 17,3
Определите индексы сезонности на основе постоянной средней, вычислите амплитуду колебаний.
Опишите сезонную волну графически.
10. Имеются следующие данные о среднем размере товарных запасов в супермаркете по месяцам года:
Месяцы
Средний размер товарных запасов, млн. руб.
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
99,6 100,1 99,6 100,1 99,6 98,7 98,7 94,9 90,2 94,5 223

Ноябрь
Декабрь
97,8 99,2
Произведите: а) сглаживание ряда товарных запасов супермаркета методом четырёхчленной скользящей средней; б) выравнивания ряда динамики по прямой.
Сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.
11. Динамика урожайности плодово-ягодных культур и виноградников в области характеризуется следующими данными:
Годы
Урожайность, ц/га плодов и ягод винограда
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 47,1 38,1 32,3 40,9 50,5 30,1 39,4 44,2 39,2 35,5 41,6 42,3 44,5 54,2 57,4 49,2 34,0 61,6 53,4 59,8 61,9 59,4 50,8 58,2 58,6 59,5
Проведите сглаживание рядов динамики методом трехчленной скользящей средней.
Сделайте выводы относительно тенденции урожайности.
Тест
1. Ряд динамики характеризует:
а) изменение характеристики совокупности в пространстве;
б) изменение характеристики во времени;
в) структуру совокупности по какому-либо признаку.
2. Базисный абсолютный прирост равен:
а) сумме цепных абсолютных приростов;
б) произведению цепных абсолютных приростов;
в) сумме цепных темпов роста;
г) произведению цепных темпов роста.
3. Темп роста вычисляется как:
а) произведение уровней ряда;
224

б) сумма уровней ряда;
в) отношение уровней ряда;
г) разность уровней ряда.
4. Средний прирост используется для вычисления прогнозного
значения в следующей точке, если:
а) цепные абсолютные приросты примерно одинаковы;
б) цепные темпы роста примерно одинаковы; в) базисные абсолютные приросты примерно одинаковы.
5. Средний темп роста рассчитывается по формуле:
а) средней арифметической;
б) средней гармонической;
в) средней геометрической.
6. Средний уровень интервального ряда динамики
определяется как:
а) средняя арифметическая;
б) средняя хронологическая;
в) средняя гармоническая.
7. Определите средний годовой темп прироста за 2001-2003 гг.,
если темпы роста выпуска изделия «А» в отрасли составили:
в 2001 г. - 103%, в 2002 г. – 102%, в 2003 г. – 105%.
а) 3,5%;
б) 5,0%;
в) 5,2%;
г) 3,3%.
8. При сглаживании временного ряда с помощью 5-членной
скользящей средней теряются:
а) только первые два значения временного ряда;
б) только последние два значения временного ряда;
в) два первых и два последних значения временного ряда;
г) пять первых и пять последних значений временного ряда.
9. На участке №1 средняя часовая выработка увеличилась за 2
года на 30%, на участке №2 трудоёмкость снизилась на 2,5%.
На каком участке выше темп прироста производительности
труда? а) на первом; б) на втором; в) одинаковый.
10. Вычислите средний уровень моментного ряда динамики,
если известны товарные остатки магазина на 1-ое число
каждого месяца (млн. руб.):
на 1 января - 20;
на 1 февраля - 18;
225

на 1 марта - 16;
на 1 апреля - 15.
а) 16,8;
б) 16,3;
в) 17,17; г) 17,25.
11. Каковы должны быть в среднем ежегодные темпы
прироста, чтобы продукция за три года возросла с 60 до 70
млн. руб.?
а) 5,3%; б) 3,3%; в) 6,0%; г) 5,0%.
12. В 2000 г. инвестиции в отрасль составляли 200 млн. ден. ед.
За 2001 г. объем инвестиций увеличился на 36, а за 2002 г. – на
52 млн. ден. ед. Определите среднегодовой темп прироста
инвестиций за 2001 – 2002 гг.
а) 22; б) 10; в) 44;
г) 20.
13. По состоянию на 1 января отчётного года в штате фирмы
состояло 130 человек. 14 января было принято 5 новых
сотрудников, 19 января уволено 3 человека, 28 января
уволено 6 человек. Определите среднюю численность
работников фирмы за январь.
а) 128,0;
б) 132;
в) 126;
г) 130,9.
14. Назовите методы сглаживания рядов динамики:
а) метод наименьших квадратов;
б) метод скользящей средней;
в) метод укрупнения интервалов.
15. В линейном уравнении тренда
t
a
a
y
t
1 0
+
=
параметр
1
a
характеризует:
а) среднегодовой темп изменения (в разах);
б) среднегодовой абсолютный прирост;
в) среднегодовой темп прироста.
16. Остатки нереализованной готовой продукции на складе
фирмы на начало каждого квартала – это ряд динамики:
226

а) моментный; б) интервальный.
17. В 2002 г. выручка от продаж продукции (работ, услуг)
фирмы увеличилась по сравнению с прошлым годом на 20%,
абсолютное значение 1% прироста – 15 тыс. руб. Определите
выручку от продаж продукции (работ, услуг) фирмы в 2002 г.:
а) 18 тыс. руб.;
б) 35 тыс. руб.;
в) 1,8 млн. руб.;
г) 1,25 млн. руб.
18. Потребление электроэнергии в регионе в прошлом году
выросло в 1,12 раза, в текущем - на 35%. Определите темп
роста потребления электроэнергии за два года.
а) 147%;
б) 39,2%;
в) 151,2%;
г) 148,5%.
19. На основе годовых данных об изменении урожайности
плодово-ягодных культур в регионе были оценены
коэффициенты линейного тренда:
t
y
t
197
,
4 59
,
163
+
=
. В
соответствии с этой моделью среднегодовой прирост
урожайности составляет:
а) 163,59 ц/га;
б) 4,197 ц/га;
в) (163,59+4,197) ц/га;
г) 4,197%.
20. Можно ли изучить взаимосвязи социально-экономических
явлений по данным рядов динамики:
а) да;
б) нет.
1.11 Экономические индексы
1.11.1 Понятие экономических индексов и их классификация
Индексы относятся к важнейшим обобщающим показателям.
«Индекс» в переводе с латинского - указатель или показатель. Он используется как понятие в математике, экономике, в метеорологии и других науках.
В статистике индексом называют относительный показатель, который выражает соотношение величин какого-либо явления во времени, в пространстве или дает сравнение фактических данных с любым эталоном (план, прогноз, норматив и т.д.).
227

Как относительная величина индекс выражается в форме коэффициента, либо в процентах или промилле. Название индекса отражает его социально-экономическое содержание, а числовое значение
– интенсивность изменения или степень отклонения.
Индексы выполняют две функции:

синтетическую
– используется как обобщающая характеристика изменения явления;

аналитическую – служит для изучения влияния отдельных факторов на изменение явления.
Большинство индексов выполняет обе функции одновременно.
В целом индексный метод направлен на решение следующих задач:
1) характеристика общего изменения уровня сложного социально- экономического явления;
2) анализ влияния каждого из факторов на изменение индексируемой величины путем элиминирования воздействия прочих факторов;
3) анализ влияния структурных сдвигов на изменение индексируемой величины.
В международной практике индексы принято обозначать символами i и I. Буквой «i» обозначаются индивидуальные (частные) индексы, буквой «I» - общие индексы. Подстрочный знак внизу справа означает период: 0 – базисный; 1 – отчетный.
Используются определенные символы для обозначения индексируемых показателей:
p - цена;
q - количество;
p q – стоимость продукции или товарооборот;
z - себестоимость;
z q – издержки производства;
t – трудоемкость;
t q – затраты рабочего времени на производство продукции.
Классификация индексов:
1. По степени обобщения данных:

индивидуальные;

сводные (общие);
2. По форме построения:

агрегатные;

средние: - арифметические;
- гармонические;
3. По отношению ко времени:
228


динамические индексы: - цепные;
- базисные;

территориальные;
4. По виду весов:

индексы с переменными весами;

индексы с постоянными весами;
5. В зависимости от структуры совокупности:

индексы переменного состава;

индексы постоянного состава.
Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени экономических величин, относящихся к одному объекту:
0 1
p
p
i
p
=
- индекс цены
, (1.11.1)
где
1
p
- цена товара в текущем периоде;
0
p
- цена товара в базисном периоде;
0 1
q
q
i
q
=
- индекс физического объема реализации
;
(1.11.2)
0 0
1 1
q
p
q
p
i
pq
=
- индекс товарооборота
(1.11.3)
Например, если цена товара А в текущем периоде составляла 45 руб., а в базисном – 37,5 руб., то индивидуальный индекс цены будет равен:
%)
0
,
20
(
2
,
1 5
,
37 45
+
=
=
p
i
Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста, и по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.
1.11.2 Агрегатные и средние индексы
В тех случаях, когда исследуются не единичные объекты, а состоящие из нескольких элементов совокупности, используются
сводные индексы. Исходной формой сводного индекса является агрегатная.
229

Агрегатный индекс – это сложный относительный показатель, служащий для соизмерения явления, составные части которых непосредственно несоизмеримы.
Сводный индекс товарооборота:
∑
∑
=
0 0
1 1
q
p
q
p
pq
I
(1.11.4)
Показывает во сколько раз увеличится или уменьшится товарооборот отчетного периода по сравнению с базисным.
Для иллюстрации этого и последующих индексов воспользуемся следующими условными данными (табл. 1.11.1):
Таблица 1.11.1
Цены и объем реализации трех товаров
Товар
Сентябрь
Октябрь цена,
руб.
0
p
продано, тыс. шт.
0
q
цена,
руб.
1
p
продано, тыс. шт.
1
q
А
Б
В
20 55 44 22 12 13 17 44 39 31 14 13
Рассчитаем индекс товарооборота:
%)
3
,
1
(
987
,
0 13 44 12 55 22 20 13 39 14 44 31 17
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
pq
I
Таким образом, товарооборот в целом по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным уменьшился на 1,3%.
Отметим, что размер товарной группы при расчете этого и последующих индексов значения не имеет.
На величину полученного индекса товарооборота оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен
(индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров
(веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей как цена и себестоимость физический объем реализации обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают сводный индекс цен (по методу
Пааше):
230

∑
∑
=
1 0
1 1
q
p
q
p
p
I
(1.11.5)
%)
9
,
15
(
841
,
0 13 44 14 55 31 20 13 39 14 44 31 17
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
p
I
По данной товарной группе цены в октябре по сравнению с сентябрем снизились на 15,9%.
При построении данного индекса цена выступает в качестве индексируемой величины, а количество проданного товара – в качестве веса. Числитель данного индекса содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую каким, был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий отражает имевшее место изменение цен.
Числитель и знаменатель сводного индекса цен также можно интерпретировать и по-другому. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за товары в текущем периоде. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились. Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии, если знак «-» или перерасхода, если знак «+», покупателей от изменения цен:
312 1962 1650 1
0 1
1
руб
q
p
q
p
Е
−
=
−
=
−
=
∑
∑
Третьим индексом в данной индексной системе является сводный
индекс физического объема реализации. Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения. Весами в данном случае выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне:
∑
∑
=
0 0
0 1
p
q
p
q
q
I
(1.11.6)
%)
3
,
17
(
173
,
1 13 44 12 55 22 20 13 44 14 55 31 20
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
q
I
Физический объем реализации (товарооборота) увеличился на
17,3%.
Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:
pq
q
p
I
I
I
=
⋅
(1.11.7)
231

987
,
0 173
,
1 841
,
0
=
⋅
Мы рассмотрели применение индексного метода в анализе товарооборота и цен. Однако эта же индексная система может использоваться для анализа результатов производственной деятельности предприятий, выпускающих разнородную продукцию. Тогда приведенные выше индексы соответственно называются:
pq
I
- индекс стоимости продукции;
p
I
- индекс оптовых цен;
q
I
- индекс физического объема продукции.
Взаимосвязь между этими индексами остается прежней:
pq
q
p
I
I
I
=
⋅
В ряде случаев на практике вместо индексов в агрегатной форме удобнее использовать средние арифметические и средние гармонические индексы. Любой сводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов. Однако при этом форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождественен исходному агрегатному индексу.
Предположим, мы располагаем данными о стоимости проданной продукции в текущем периоде и индивидуальными индексами цен, полученными, например, в результате выборочного наблюдения. Тогда при расчете сводного индекса цен можно использовать следующую замену:
1 0
1
p
i
p
p
=
В целом же сводный индекс цен в данном случае будет выражен в форме средней гармонической:
∑
∑
=
1 1
1 1
1
q
p
i
q
p
p
p
I
(1.11.8)
Рассмотрим следующий условный пример (табл. 1.11.2):
Таблица 1.11.2
Данные о реализации и ценах по товарной группе
Товар
Реализация в текущем периоде, руб.
Изменение цен в текущем периоде по сравнению с базисным, %
232

А
Б
В
330 310 390
+3,0
-2,0 0
Данные последней графы таблицы отражают изменение индивидуальных индексов цен, которые по товарам А, Б и В соответственно равны 1,03; 0,98 и 1,0.
С учетом этого получим:
%)
3
,
0
(
003
,
1 0
,
1 390 98
,
0 310 03
,
1 330 390 310 330
+
=
+
+
+
+
=
p
I
Цены по данной товарной группе в среднем возросли на 0,3%.
При расчете сводного индекса физического объема товарооборота можно использовать среднеарифметическую форму. При этом производится замена:
0 1
q
i
q
q
=
Тогда индекс имеет вид:
∑
∑
=
0 0
0 0
p
q
p
q
i
q
q
I
(1.11.9)
Для иллюстрации этой формы расчета воспользуемся следующим примером (табл. 1.11.3):
Таблица 1.11.3
Данные о реализации трех товаров в натуральном и
стоимостном выражении
Товар
Реализация в базисном периоде, руб.
Изменение физического объема реализации в текущем периоде по сравнению с базисным, %
А
Б
В
467 274 518
-6,5
-8,3
+1,5
Индивидуальные индексы физического объема будут равны 0,935;
0,917; 1,015. С учетом этого рассчитаем среднеарифметический индекс:
%)
6
,
3
(
964
,
0 518 274 467 518 015
,
1 274 917
,
0 467 935
,
0
−
=
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
q
I
233

Физический объем реализации данных товаров в среднем снизился на 3,6%.
1.11.3 Индексный анализ взвешенной средней. Индекс
структурных сдвигов
При анализе динамики взвешенной средней используется система индексов, включающая:
1) индекс переменного состава;
2) индекс структурных сдвигов;
3) индекс фиксированного состава.
В предыдущих задачах рассматривались индексы, рассчитываемые по нескольким товарам или видам продукции, реализуемым или производимым в одном месте. Рассмотрим теперь случай, когда один товар или вид продукции реализуется или производится в нескольких местах (табл. 1.11.4):
Таблица 1.11.4
Реализация товара А в двух регионах
Регион
Сентябрь
Октябрь цена,
руб.
0
p
продано, тыс. шт.
0
q
цена,
руб.
1
p
продано, тыс. шт.
1
q
1 2
16 22 130 260 17 25 234 117
Так как в данном случае реализуется один и тот же товар, вполне правомерно рассчитать его среднюю цену за сентябрь и за октябрь.
Сравнением полученных средних значений получают индекс цен
переменного состава:
∑
∑
∑
∑
=
0 0
0 1
1 1
:
q
q
p
q
q
p
пс
P
I
(1.11.10)
%)
7
,
1
(
983
,
0 260 130 260 22 130 16
:
117 234 117 25 234 17
−
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
пс
P
I
Из таблицы видно, что цена в каждом регионе в октябре по сравнению с сентябрем возросла. В целом же средняя цена снизилась на
1,7%. Такое несоответствие объясняется влиянием изменения структуры реализации товаров по регионам: в сентябре по более высокой цене продали товара вдвое больше, в октябре ситуация принципиально
234

изменилась (в данном условном примере для наглядности числа подобраны таким образом, чтобы это различие в структуре продаж было очевидным). Оценить воздействие этого фактора можно с помощью
индекса структурных сдвигов:
∑
∑
∑
∑
=
0 0
0 1
1 0
:
q
q
p
q
q
p
стр
I
(1.11.11)
%)
0
,
10
(
9
,
0 260 130 260 22 130 16
:
117 234 117 22 234 16
−
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
стр
I
Первая формула в этом индексе позволяет ответить на вопрос, какой была бы средняя цена в октябре, если бы цены в каждом регионе сохранились на прежнем сентябрьском уровне. Вторая часть формулы отражает фактическую среднюю цену сентября. В целом по полученному значению индекса мы можем сделать вывод, что за счет структурных сдвигов цены снизились на 10,0%.
Последним в данной системе является
индекс цен
фиксированного состава, который не учитывает влияние структуры:
%)
3
,
9
(
093
,
1 6318 6903 1
0 1
1
+
=
=
=
∑
∑
q
p
q
p
фс
P
I
(1.11.12)
Итак, если бы структура реализации товара А по регионам не изменилась, средняя цена возросла бы на 9,3%. Однако, влияние на среднюю цену первого фактора оказалось сильнее, что отражается в следующей взаимосвязи:
пс
P
стр
фс
P
I
I
I
=
⋅
(1.11.13)
983
,
0 9
,
0 093
,
1
=
⋅
Аналогично строятся индексы структурных сдвигов, переменного и фиксированного состава для анализа изменения себестоимости, трудоемкости и пр.
11.5.4 Важнейшие экономические индексы и
их взаимосвязи
Между важнейшими индексами существуют взаимосвязи, позволяющие на основе одних индексов получить другие. Зная, например, значение цепных индексов за какой-либо период времени, можно
235

рассчитать базисные индексы. И наоборот, если известны базисные индексы, то путем деления одного из них на другой можно получить цепные индексы.
Существующие взаимосвязи между важнейшими индексами позволяют выявить влияние различных факторов на изменение изучаемого явления, например, связь между индексом стоимости продукции, физического объема продукции и цен (1.11.2). Другие индексы также связаны между собой.
Так, индекс издержек производства – это произведение индекса себестоимости продукции и индекса физического объема продукции:
zq
q
z
I
I
I
=
⋅
(1.11.14)
или
∑
∑
⋅
∑
∑
=
∑
∑
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
1 1
q
z
z
q
q
z
q
z
q
z
z
q
(1.11.15)
Индекс затрат времени на производство продукции может быть получен в результате умножения индекса физического объема продукции и величины, обратной величине индекса трудоемкости, то есть индекс производительности труда:
t
q
tq
I
I
I
1
⋅
=
(1.11.16)
или
∑
∑
∑
∑
=
∑
∑
1 1
1 0
0 0
0 1
0 0
1 1
:
q
t
q
t
t
q
t
q
q
t
q
t
(1.11.17)
Существует важная взаимосвязь между индексами физического объема продукции и индексами производительности труда.
Индекс производительности труда рассчитывается на основе следующей формулы:
∑
∑
∑
∑
=
0 0
0 1
0 1
:
T
p
q
T
p
q
w
I
(1.11.18)
то есть представляет собой отношение средней выработки продукции (в сопоставимых ценах) в единицу времени (или на одного занятого) в текущем и базисном периодах.
Индекс физического объема продукции равен произведению индекса производительности труда на индекс затрат рабочего времени
(или численности занятых):
236





⋅
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
0 0
0 1
0 1
0 1
0 0
0 1
:
T
Τ
T
T
p
q
p
q
p
q
p
q
(1.11.19)
Взаимосвязь между отдельными индексами может быть использована для выявления влияния отдельных факторов, оказывающих воздействие на изучаемое явление.
1.11.5 Особенности расчетов индексов цен
В рыночном хозяйстве особое место среди индексов качественных показателей отводится индексам цен. Основным назначением индекса цен является оценка динамики цен на товары производственного и непроизводственного потребления. Кроме этого используется при корректировке законодательно устанавливаемого минимального размера оплаты труда и установлении ставок налогов.
Рассмотрим основные формулы расчета индексов цен:

Индекс Пааше:
∑
∑
=
1 0
1 1
q
p
q
p
p
I
;
(1.11.20)

Индекс Ласпейреса:
∑
∑
=
0 0
0 1
q
p
q
p
p
I
;
(1.11.21)

Индекс Фишера:
∑
∑
∑
∑
⋅
=
0 0
0 1
1 0
1 1
q
p
q
p
q
p
q
p
p
I
;
(1.11.22)

Индекс Эджворта – Маршалла:
∑
∑
+
+
=
2 2
0 1
0 0
1 1
q
q
p
q
q
p
p
I
(1.11.23)
237

Индексируемой величиной индексов являются цены. Весами же в индексе цен Пааше выступает количество продукции текущего периода, а в индексе цен Ласпейреса – количество продукции базисного периода.
Формула индекса цен Ласпейреса применяется в расчетах индекса потребительских цен, формула индекса цен Пааше - при расчете индекса- дефлятора ВВП.
Значения индексов цен Пааше и Ласпейреса не совпадают. Отличие значений объясняется тем, что индексы имеют различное экономическое содержание.
Индекс цен, исчисленный по формуле Пааше, дает ответ на вопрос, насколько товары в текущем периоде стали дороже (дешевле), чем в базисном. Индекс цен Ласпейреса показывает, во сколько бы раз товары базисного периода подорожали (подешевели) из-за изменения цен на них в отчетный период.
Согласно практике индекс цен, рассчитанный по формуле Пааше, имеет тенденцию некоторого занижения, а по формуле Ласпейреса – завышения темпов инфляции. Подобная систематическая связь индексов носит название эффекта Гершенкрона.
Индекс Фишера в силу сложности расчета и трудности экономической интерпретации на практике используется довольно редко.
Чаще всего он применяется в расчетах паритетах покупательной способности валют.
238

Тренировочные задания
1. Известны следующие данные о реализации фруктов предприятиями розничной торговли округа:
Товар
Цена за 1 кг, руб.
Продано, ц июль
0
p
август
1
p
июль
0
q
август
1
q
Яблоки
Груши
20 25 18 20 17,5 10,5 27,7 14,5
Рассчитайте сводные индексы:
а) товарооборота;
б) цен;
в) физического объема реализации.
Определите абсолютную величину экономии покупателей от снижения цен.
Решение:
а) сводный индекс товарооборота - это сравнение товарооборота в текущем периоде с его величиной в базисном периоде:
∑
∑
=
0 0
1 1
q
p
q
p
pq
I
;
б) сводный индекс цен (по методу Пааше) – это сравнение товарооборота в текущем периоде с его величиной в базисном периоде при условии сохранения цен на базисном уровне:
∑
∑
=
1 0
1 1
q
p
q
p
p
I
;
в) сводный индекс физического объема реализации характеризует изменение количества проданных товаров в физических единицах измерения:
∑
∑
=
0 0
0 1
p
q
p
q
q
I
Воспользуемся вспомогательными расчетными графами:
239

Расчетные графы
0
p
0
q
1
p
1
q
0
p
1
q
350,0 262,5 498,6 290,0 554,0 362,5 612,5 788,6 916,5
%).
6
,
49
(
496
,
1 5
,
612 5
,
916
)
%);
0
,
14
(
860
,
0 5
,
916 6
,
788
)
%);
8
,
28
(
288
,
1 5
,
612 6
,
788
)
+
=
−
=
+
=
=
=
=
q
p
pq
I
I
I
в
б
а
Проверим:
9
,
127 5
,
916 6
,
788
%)
8
,
28
(
288
,
1 496
,
1 860
,
0 1
0 1
1
руб
q
p
q
p
E
I
I
I
I
pq
q
p
pq
−
=
−
+
=
⋅
=
Σ
−
Σ
=
=
⋅
=
Это экономия (т.к. знак «-»; если знак «+», то это перерасход) покупателей от изменения цен.
2. Имеются следующие данные о реализации картофеля на рынках города:
Рынок
Апрель
Май
Цена за 1 кг,
руб.
0
p
Продано, ц
0
q
Цена за 1кг,
руб.
1
p
Продано, ц
1
q
1 2
10,0 12,0 45,1 32,0 14,0 15,0 37,4 21,9
Итого
-
77,1
-
59,3
Рассчитайте:
а) индекс цен переменного состава;
б) индекс цен фиксированного состава;
в) индекс структурных сдвигов.
Решение:
240

/
)
;
)
;
/
)
0 0
0 1
1 0
1 0
1 1
0 0
0 1
1 1
q
q
p
q
q
p
в
q
p
q
p
б
q
q
p
q
q
p
а
опр
фс
p
пс
p
I
I
I
Σ
Σ
Σ
Σ
=
Σ
Σ
=
Σ
Σ
Σ
Σ
=
Расчетные графы
0
p
0
q
1
p
1
q
0
p
1
q
451,0 384,0 523,6 328,5 374,0 262,8 835,0 852,1 636,8
%).
8
,
0
(
992
,
0 830
,
10
/
739
,
10 1
,
77 0
,
835
/
3
,
59 8
,
636
)
%);
8
,
33
(
338
,
1 8
,
636 1
,
852
)
%);
7
,
32
(
327
,
1 830
,
10
/
369
,
14 1
,
77 0
,
835
/
3
,
59 1
,
852
)
−
=
=
+
=
+
=
=
=
=
=
стр
фс
p
пс
p
I
I
I
в
б
а
3. Изменение объема ВВП по кварталам в 2003-2004 гг. в РФ характеризуется следующими данными:
Год, квартал
ВВП, млрд. руб.
2003
I
II
III
IV
2004
I
II
III
IV
2869 3103 3567 3662 3528 3938 4590 4723
// «Вопросы статистики» №6/2005, с.73
Определите общее изменение объема ВВП за весь рассматриваемый период.
4. В результате внедрения мероприятия по модернизации оборудования объем реализации цемента одного из заводов региона в натуральном выражении в отчетном периоде по сравнению с базисным
241

возрос на 8,7%, при этом индекс цен на цемент составил 90,2%.
Определите изменение товарооборота.
5. Как изменились общие затраты труда на предприятии, если стоимость продукции в сопоставимых ценах возросла на 15,1%, а производительность труда повысилась на 4,7%?
6. Имеются следующие данные о реализации овощей на городском рынке:
Продукты
Апрель
Май
Цена за
1кг, руб.
Продано,
ц
Цена за
1кг, руб.
Продано,
ц
Лук
Огурцы
Помидоры
15 55 60 14,5 20,1 10,8 11 40 55 16,4 22,8 15,6
Рассчитайте сводные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота.
7. Определите индекс розничных цен за I квартал текущего года, если известно, что цены на продовольственные товары увеличились на
17%, а на промышленные – на 9%. Товарная структура розничного товарооборота в I квартале: продовольственные товары – 46%; промышленные – 54%. Как изменилась покупательная способность денежной единицы?
8. Имеются следующие данные о себестоимости и объемах производства продукции промышленного предприятия:
Изделие
2003 2004
Себестоимость единицы продукции, руб.
Произведено, тыс. шт.
Себестоимость единицы продукции, руб.
Произведено, тыс. шт.
001 002 003 253 128 97 59,2 54,1 102,6 284 230 101 56,7 50,1 104,7
Определите:
а) индивидуальные и сводные индексы себестоимости;
б) сводные индексы физического объема продукции;
в) сводный индекс затрат на производство.
Покажите взаимосвязь сводных индексов.
9. Имеются следующие условные данные по предприятию:
242

Вид продукции
Произведено,
тыс. шт.
Среднесписочное число рабочих, чел.
Оптовая цена продукции в 2002 г.,
тыс. руб.
2002 2003 2002 2003 1
2 29,3 33,9 30,1 33,6 1420 1270 1500 1350 85 64
Определите:
а) индекс физического объема продукции;
б) индекс производительности труда;
в) индекс затрат труда.
10. На предприятии числится 2 группы рабочих. По данным таблицы определите индекс средней заработной платы:
Группа рабочих
I квартал
II квартал
Общие затраты времени, чел-ч.
Фонд заработной платы,
тыс. руб.
Общие затраты времени, чел-ч.
Фонд заработной платы,
тыс. руб.
1 2
1260 140 505 47 1652 158 696 77,5
11. Затраты на радиорекламу отдельных категорий товара характеризуются следующими изменениями:
Категория товара
Себестоимость одного рекламного ролика, тыс. руб.
Количество изготовленных роликов, ед.
Базисный период
Отчетный период
Базисный период
Отчетный период
А
Б
В
2,54 2,24 2,10 2,92 2,70 2,46 147 145 139 170 136 150
Определите:
1) сводные индексы себестоимости рекламных роликов;
2) сводные индексы количества изготовленных рекламных роликов;
3) абсолютный размер перерасхода (экономии) в общих затратах на радиорекламу за счет изменения себестоимости.
Проанализируйте полученные результаты.
Тест
243

1. Индексы используются для характеристики динамики
социально-экономических процессов и явлений:
а) во времени;
б) в пространстве;
в) во времени и в пространстве.
2. Индивидуальные индексы могут быть:
а) цепными или базисными;
б) средними.
3. Сводные индексы позволяют получить обобщающую оценку
изменения:
а) по товарной группе;
б) одного товара за несколько периодов.
4. Средний индекс физического объема продукции
рассчитывается по формуле:
а) средней арифметической;
б) средней гармонической;
в) средней геометрической;
г) средней квадратической.
5. Может ли индекс переменного состава превышать индекс
фиксированного состава?
а) может; б) не может.
6. Денежные затраты на строительно-монтажные работы
увеличились в текущем периоде на 38%, а себестоимость
работ – 46,8%. Определите индекс физического объема
строительно-монтажных работ.
а) 2,05; б) 0,94; в) 0,81; г) 1,06.
7. Рассчитайте общий индекс физического объема продукции
по следующим данным:
Изделия
Изменения выпуска в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
Удельный вес изделия в общем выпуске базисного периода, %
А
Б
+10
-10 60 40
а) 100%; б) 102%; в) 116 %; г) 103%.
8. Стоимость произведенной продукции в действующих ценах
244

выросла за год на 8%. Цены за этот же период снизились на
2%. Как изменился физический объем продукции?
а) увеличится на 16%;
б) увеличится на 5,8%;
в) увеличится на 10,2%.
9. При построении индекса цен Пааше в качестве весов
используются:
а) количество продукции текущего периода;
б) количество продукции базисного периода;
в) среднее количество продукции.
10. Индекс цен, рассчитываемый по формуле Ласпейреса:
а) имеет тенденцию некоторого занижения темпов инфляции;
б) имеет тенденцию некоторого завышения темпов инфляции;
в) отражает реальные темпы инфляции.
11. Индекс потребительских цен рассчитывается по формуле
индекса:
а) Пааше;
б) Ласпейреса;
в) Фишера.
12. Динамика потребительских цен на отдельные товарные
группы характеризуется следующими данными:
Группа товаров
Товарооборот в фактических ценах, млн. руб.
Темп прироста цен, %
Базисный период
Текущий период
Продовольственные
Непродовольственные
526 424 583 255
+6
+2
Определите сводный индекс цен на товары в целом, %:
а) 104,0; б) 105,6; в) 104,75; г) 104,92.
13. Индекс – дефлятор рассчитывается по формуле индекса
цен:
а) Пааше; б) Ласпейреса;
в) Фишера; г) Лоу.
245

14. Сводный индекс производительности труда рассчитывается
по формуле:
а) агрегатного индекса;
б) среднего гармонического индекса;
в) среднего арифметического индекса.
15. Определите индекс выработки продукции, если индекс
трудоемкости составил 0,8:
а) 120%;
б) 125%; в) 80%.
16. Рассчитайте индекс цен Фишера, если индекс Ласпейреса
составляет 125%, а индекс цен Пааше – 122%;
а) 123,50%; б) 152,50%; в)123,49%; г) 123,45%.
17. Себестоимость продукции в отчётном периоде по сравнению
с базисным увеличилась на 14%, количество производимой
продукции сократилось на 14%. Как изменилась величина
издержек производства:
а) уменьшилась на 2%;
б) увеличилась на 2%;
в) не изменилась.
18. Эффект Гершенкрона объясняет:
а) систематическую связь индексов Пааше и Ласпейреса (первый, как правило, больше);
б) взаимосвязь индексов цен, физического объёма и стоимости продукции;
в) тождественность агрегатных и средних индексов.
19. Потребительские цены на товары и услуги увеличились в
текущем году по сравнению с прошлым годом на 20%.
Определите индекс покупательной способности денежной
единицы.
а) 1,25;
б) 1,2;
в) 0,8;
г) 0,83.
20. Какие индексы обладают свойством мультипликативности:
а) цепные с переменными весами;
б) цепные с постоянными весами;
в) базисные с переменными весами.
246