Информатика и математика, (для юристов), 2011. Информатика и математика проблемнотематический комплекс
 Скачать 3.34 Mb.
|
|
С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания. Задание 13.1. Бросаются три игральных кубика. Определить вероят- ность появления ровно p 2 очков. Задание 13.2. Среди (p 1 + p 2 + p 3 ) деталей имеются четыре бракован- ных. Произвольно вынимаются пять деталей. Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна – бракованная? Задание 13.3. На экзамен вынесено (p 1 ·p 2 ·p 3 ) вопросов, причем сту- дент может ответить на три четверти этих вопросов. Для получения тройки надо ответить не менее чем на три вопроса, четверки – на четыре и пятерки – на пять. Определить вероятность получения студентом оценок 2, 3, 4 и 5. Задание 13.4. На трех станках изготавливаются патроны. На первом станке в минуту изготавливается p 1 патронов, на втором – p 2 и на третьем – p 3 . Установлено, что после одного часа работы на первом станке 2% патронов, на втором 3% и на третьем 5% – дефектные. На контроль берет- ся один патрон после каждого часа работы. Определить полную вероят- ность того, что он будет дефектным. Задание 13.5. Два студента на практике в налоговой полиции прове- ряют правильность заполнения налоговых деклараций членами Правитель- ства РФ. Первый студент обрабатывает 60% деклараций, второй – 40%. Вероятность того, что первый студент допустит ошибку при обработке, равна 100 1 p , а второго – 100 2 p . Руководитель практики для контроля проверил одну декларацию и выявил ошибку проверки. По формуле Байеса опреде- лить вероятность того, что ошибся первый студент. Задание 13.6. В партии, содержащей (p 1 ·p 2 ·p 3 ) упаковок чая, имеется 6 упаковок, в которых чай подменен наркотиком. Наудачу берется 5 упа- ковок. Построить ряд и многоугольник распределения числа упаковок с чаем среди отобранных. Задание 13.7. Монету бросают p 1 раз. Написать распределение Бер- нулли для случайной величины X – числа появлений орла в процессе испытания. Задание 13.8. Учебник по математике издан тиражом 100 000 экз. Вероятность бракованного экземпляра 000 10 1 p p = . С помощью распределе- ния Пуассона найти вероятность того, что в тираже будет ровно p 2 брако- ванных книг. Задание 13.9. Для закона распределения, заданного таблицей: Х 1 2 4 7 8 10 p a 1 a 2 +0,04 a 3 +0,01 a 1 +a 2 a 2 +a 3 0,95-(2a 1 +3a 2 +2a 3 ) 1. Практические задания 49 где 100 1 1 p a = ; 100 2 2 p a = ; 100 3 3 p a = , определить математическое ожидание, дисперсию и стандарт случайной величины X. Литература: 1–3, 19, 25. Э ЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Т ЕМА 14 Средства и методы доказательств значительно облегчаются введением символических обозначений и математических операций над высказыва- ниями и комбинациями высказываний. 1. Составить таблицу истинности для формулы y x z ∨ = Для решения таких задач надо прежде всего определить число вари- антов по формуле m = 2 n , где n – число независимых высказываний. В данном случае для двух высказываний x и y m = 2 2 = 4, т.е. таблица истинности будет содержать четыре строки. Следующим шагом является перебор всех значений 1 и 0 для x и y и использование известных свойств дизъюнкции. В результате имеем таблицу: x y y y ¬ = y x z ∨ = 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 2. Составить таблицу истинности для формулы ( ) z y x p ∨ = ∧ В отличие от примера 1 здесь n =3, т.е. x, y и z. Поэтому m = 2 3 = 8 и таблица содержит восемь строк. Остальное – аналогично примеру 1: x y z y y x ∧ ( ) z y x ∨ ∧ 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 3. Доказать равносильность x y x y x y ≡ = ∧ ∨ ∧ Для решения таких задач необходимо использовать важнейшие рав- носильности алгебры логики, приведенные в плане-конспекте. Преобразуем левую часть: (формула второй группы). ( ) ( x y y x y x → ∧ → = ≡ ) А теперь переведем импликацию в дизъюнкцию (по формуле y x y x ∨ = → ): ( ) ( ) ( ) ( ) x y y x x y y x ∨ ∧ ∨ = → ∧ → Информатика и математика 50 Используем дистрибутивный закон (третья группа): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y y x x y x x y y x ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ = ∨ ∧ ∨ Но по основным равносильностям (первая группа): 0 ; 0 = ∧ = ∧ y y x x , т.е. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y x x y y y x x y x ∧ ∨ ∨ ∨ ∧ = ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ 0 0 Используя теперь и a a = ∨ 0 a a = ∨ 0 , имеем (для ясности поставим скобки): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y x x y y x ∧ ∨ ∧ = ∧ ∨ ∨ ∨ ∧ 0 0 Полученное выражение полностью совпало с правой частью исходной формулы (ясно, что y x x y ∧ = ∧ ), поэтому равносильность доказана. Обычно такие доказательства и преобразования записываются короче в виде цепочки: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 y x y x y x y x y y x y x x y x x y y x x y y x y x ∧ ∨ ∧ = ∨ ∧ ∨ ∨ ∧ = = ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ = = ∨ ∧ ∨ = → ∧ → = ≡ 4. Упростить формулу ( ) y y x y x ∧ ∨ → ∨ Рассуждая аналогично предыдущему примеру и, используя основные равносильности, получим цепочку: ( ) ) ( ) ( ) ( y y y x y y x y x y y x y x y y x y x = ∧ ∨ = = ∧ ∨ ∨ ∨ = ∧ ∨ ∨ ∨ = ∧ ∨ → ∨ 5.За отсутствие документов наряд милиции задержал трех студентов разных вузов: Романа, Сергея и Павла. На допросе каждый из них показал следующее: - Роман: Я учусь в ИМПЭ, а Сергей – в СГУ; - Сергей: Я учусь в ИМПЭ, а Роман – в МИЭП; - Павел: Я учусь в ИМПЭ, а Роман – в СГУ. В ответах каждого из них одно утверждение истинно, а другое – нет. Поэтому в милиции легко определили, кто где учится. Как это было уста- новлено? При решении таких логических задач, постоянно возникающих в дея- тельности юриста, необходимо формализовать имеющиеся утверждения, определить базовую связь между ними и упростить полученное выражение путем равносильных преобразований. Обозначим через Xy студента, имя которого начинается с буквы X, а y – первая буква названия института, в котором он учится. К примеру, утверждение «Роман учится в ИМПЭ» запишется Ри. Так как в показаниях студентов одно утверждение верно, а другое – нет, то по условию задачи можно составить следующие истинные дизъюнкции: Ри Сс = 1, ∨ Си Рм =1, ∨ Пи Рс =1. ∨ 1. Практические задания 51 Но тогда будет истинной и конъюнкция этих дизъюнкций: (Ри ∨ Сс) ∧ (Си ∨ Рм) ∧ (Пи Рс)=1. ∨ Используем свойства равносильностей. Для первых двух скобок: (Ри ∨ Сс) ∧ (Си ∨ Рм)=(Ри ∧ Си) (Ри ∨ ∧ Рм) (Сс ∨ ∧ Си) (Сс Рм)= ∨ ∧ =0 0 ∨ 0 ∨ (Сс ∨ ∧ Рм) = Сс ∧ Рм. Так как все студенты из разных вузов, то Xy ∧ Xz = 0 и, кроме того, один студент не может учиться в двух вузах, поэтому Xy Zy = 0, что и приводит к такой формуле. ∧ А теперь полученный результат используем с третьей скобкой конъ- юнкции: (Сс ∧ Рм) ∧ (Пи ∨ Рс)= =(Сс ∧ Пи) (Сс ∨ ∧ Рс) (Рм ∨ ∧ Пи) (Рм ∨ ∧ Рс)= =(Сс ∧ Пи) ∨ 0 (Рм ∨ ∧ Пи) 0=(Сс ∨ ∧ Пи) (Рм ∨ ∧ Пи)= =(Сс ∧ Рм) ∧ Пи=Сс ∧ Рм ∧ Пи. Так как по конъюнкции Сс ∧ Рм ∧ Пи = 1, то Сергей учится в СГУ, Роман – в МИЭП, а Павел – в ИМПЭ. Решение полученной задачи есть логическое рассуждение. 6.По подозрению в совершенном преступлении задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий – известным мошенником. В про- цессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задер- жанный в одном случае говорил правду, а в другом – ложь. Вот что они утверждали: Браун: «Я совершил это, Джон не виноват». Джон: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит». Смит: «Я не виноват, виноват Браун». Требуется определить имена старика, мошенника и чиновника, и кто из них виноват, если известно, что преступник один. В этой задаче условие может быть записано в виде формулы, истин- ность которой не очевидна. Следует провести анализ. Обозначим буквами B, D и S высказывания: «виноват Браун», «вино- ват Джон» и «виноват Смит» соответственно. Тогда утверждения, выска- занные задержанными, можно записать в виде конъюнкций: S B S B D B ∧ ∧ ∧ , , , из которых по условию задачи две ложны, а одна истинна и поэтому будет истинна формула: ) ( ) ( ) ( S B S B D B L ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ = Эта формула не тождественно истинна. Действительно, если истинно высказывание D и ложны высказывания B и S, то L = 0. Но эта формула и не тождественно ложна. Например, при истинном высказывании B Информатика и математика 52 и ложных высказываниях D и S имеем L = 1. В связи с этим имеет смысл рассмотреть таблицу истинности формулы L и проанализировать все слу- чаи, при которых формула L истинна. Таблица истинности этой формулы имеет вид: B D S D B ∧ B S ∧ S B ∧ L 1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 1 0 1 3 1 0 1 1 0 0 1 4 1 0 0 1 1 0 1 5 0 1 1 0 0 1 1 6 0 1 0 0 0 0 0 7 0 0 1 0 0 1 1 8 0 0 0 0 0 0 0 Отсюда видно, что формула L истинна в пяти из восьми нумерован- ных случаев. Случай 4 следует исключить из рассмотрения, так как здесь оказываются истинными две конъюнкции, а это противоречит условию задачи. В случаях 2, 3 и 5 оказываются истинными по два высказывания B и D, B и S, D и S соответственно, что также противоречит условию задачи. Сле- довательно, справедлив случай 7, т.е. преступник – Смит. Он известный мошенник, и оба его высказывания ложны 0 = ∧ S B . При этом B = 0 и D = 0, т.е. высказывания B и D ложны. Значит, истинна пара высказываний Джона, а у Брауна первое высказывание ложное, а второе – истинное. Отсюда ясно, что Джон – уважаемый в городе старик, а Браун – малоизвестный чиновник. 7.Пусть заданы предикаты : «x – четное число» и : «x – дели- тся на 3», определенные на множестве N. Найти область истинности пре- диката ) (x P ) (x P B S ∧ Сначала определим области истинности исходных предикатов. На множестве N четные числа имеют вид: } ; 2 ; ; 8 ; 6 ; 4 ; 2 { K K n J P = , а числа, кратные 3: } ; 3 ; ; 9 ; 6 ; 3 { K K n J Q = Пересечение этих областей и явится решением задачи: } ; 6 ; ; 18 ; 12 ; 6 { K K n J J J Q p Q P = ∩ = ∧ 8. Пользуясь равносильностями, найти отрицание формулы ( ) ( ) ( ) x Q x P x ∧ ∀ Возьмем отрицание всей формулы и используем замену кванторов по первой основной равносильности предикатов: ( ) ) ( Q P x Q P x ∧ ∃ = ∧ ∀ А теперь используем равносильность y x y x ∨ = ∧ (вторая группа рав- носильных формул алгебры логики): Q P Q P ∨ = ∧ Следовательно: ( ) ) ( Q P x Q P x ∨ ∃ = ∧ ∀ 1. Практические задания 53 9. Пусть функция f(x) определена на множестве R. На языке логики предикатов записать определение: функция f(x) называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и для каждого x из этой области справедливо равенство ( ) ( x f x f ) = − Здесь задача заключается в переводе текстовой формулировки на язык предикатов. С помощью квантора: Функция f(x) называется четной, если )) ( ) ( )( ( x f x f R x − = ∈ ∀ С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания. Задание 14.1. Определив истинность или ложность высказываний: , 2 1 : p p x ≥ 3 2 : p p y ≤ , , : 3 2 1 p p p z − > решить задачи 14.1.1-14.1.5. 14.1.1. Определить истинность или ложность предложений y x ∧ и z y ∧ 14.1.2. Определить истинность или ложность предложений x y ∨ и z x ∨ 14.1.3. Определить истинность или ложность предложений y x ∧ и y z ∧ 14.1.4. Определить логическое значение формулы ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y z x z y x ∧ ∨ ∧ ≡ ∧ ∨ 14.1.5. Определить логическое значение формулы ( ) ( ) ( ) z y x z x y x ∧ → → → ∧ → Задание 14.2. Для произвольных высказываний p, q и r решить задачи 14.2.6-14.2.9. 14.2.6. Построить таблицу истинности для формулы q p q p ∨ → ∧ . 14.2.7. Построить таблицу истинности для формулы ) ( r q p ∧ → . 14.2.8. Является ли тавтологией или противоречием формула ) ( ) ( q p q p ∧ ≡ ∨ ? 14.2.9. Является ли тавтологией или противоречием формула ( ) p q q p → ∧ → ? Задание 14.3. Даны предикаты : «x – нечетное число» и ) (x P ( ) x Q : «x – делится на 10». Найти область истинности предикатов ( ) ( ) x Q x P ∨ и , если исходные предикаты определены на множестве N. ( ) ( ) x Q x P → Литература: 5, 25. 2. П ЛАН - КОНСПЕКТ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА Авторы-составители: канд. техн. наук, проф. О.Ю. Худякова, канд. техн. наук, доц. В.А. Бужинский В ВЕДЕНИЕ На современном этапе развития юридической науки увеличивается объем нормативно-правовой, криминологической, уголовно-статистичес- кой и иной информации, особую актуальность приобретает анализ матема- тических средств и методов исследования разнообразных правовых явле- ний и процессов. В настоящее время информатика становится одной из важнейших об- ластей человеческой деятельности. Наука и производство, сфера услуг, управление, быт и досуг, человеческое общение – все, что есть в них ново- го и передового, так или иначе связано с информатикой. Рынок продуктов информатики наполнен огромным количеством автоматизированных систем. Современная юриспруденция является благодатной почвой для вне- дрения самых передовых достижений информатики. Образовательный цикл по всем юридическим специальностям немыс- лим без глубокого знания основ современной информатики и прежде всего без приобретения практических навыков обращения с ее основными про- дуктами: компьютерами, компьютерными сетями и системами. В рамках современного образования математическое рассматривает- ся как важнейшая составляющая фундаментальной подготовки студента. Обусловлено это тем, что математика является не только элементом общей культуры и универсальным языком науки, но и мощным средством реше- ния прикладных задач. Развитие математической культуры студента долж- но включать в себя ясное понимание необходимости математической со- ставляющей в общей подготовке, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математические понятия и символы для выражения количе- ственных и качественных отношений. Правовая информатика активно использует математические методы познания. В правовой информатике приходится постоянно иметь дело с количественными параметрами. Последние касаются объема информации, поступающей и обращающейся в изучаемой информационной системе, определения уровней и показателей оптимальности и эффективности ра- боты информационных систем и т.п. Здесь не обойтись без методов мате- 2. План-конспект лекционного курса 55 матики – науки о количественных и пространственных формах действи- тельного мира. Информатика использует методы математики для построения и изу- чения моделей обработки, передачи и использования информации. Можно утверждать, что математика создает тот теоретический фундамент, на ко- тором строится все здание информатики. Особое значение в информатике играет такой раздел математики, как математическая логика. Математическая логика разрабатывает методы, позволяющие использовать достижения логики для анализа различных процессов, в том числе и информационных, с помощью компьютеров. Тео- рия алгоритмов, теория параллельных вычислений, теория сетей и другие науки берут свое начало в математической логике и активно используются в информатике. Используя логические операции, можно провести модели- рование логической структуры правовой нормы. Цель моделирования – выявить логические (включая латентные) связи правовой нормы. По оцен- кам специалистов прогресс информатики в значительной степени будет обусловлен развитием ее математической базы. Целью преподавания курса является ознакомление студентов- юристов с основными понятиями информатики и математики, со специфи- кой их использования в правовых исследованиях; развитие навыков мате- матического мышления; навыков использования математических методов и основ математического моделирования; а также приобретение навыков по освоению компьютерной техники, технологии и программных продук- тов общего и специального назначения. |