Информатика и математика, (для юристов), 2011. Информатика и математика проблемнотематический комплекс

• Название: Информатика и математика проблемнотематический комплекс
• Анкор: Информатика и математика, (для юристов), 2011.pdf
• Дата: 05.11.2017
• Размер: 3.34 Mb.
• Имя файла: Информатика и математика, (для юристов), 2011.pdf
• Тип: Учебное пособие; #10132
• страница: 4 из 23

.
Используем второй замечательный предел в форме:
(
)
e
u
u
u
=
+
→
1 0
1
lim
Заменяем переменную:
, откуда
u
x
=
− 2 2
u
x
−
=
. Из следует
0
→
x
0 2
→
−
u
и
0
→
u
Таким образом:
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2
1 0
0 1
lim
1
lim
2 1
lim
2 1
lim
−
−
∞
→
−
∞
→
→
→
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
=
+
=
−
=
−
e
u
u
x
x
u
u
u
u
x
x
x
x
Следующим фундаментальным понятием математического анализа является понятие производной и дифференциала функции. С другой сто- роны, связанные с этими понятиями приращение, скорость изменения, ускорение – важные характеристики функции, позволяют делать общие выводы об изменяемости и устойчивости различных процессов и моделей.
12. Найти приращение функции у = х
2
+ 1, если аргумент х изменяется от 1 до 1,4.
По определению
).
(
)
(
x
f
x
x
f
y
−
Δ
+
=
Δ
В нашем случае f (x) = 1 2
+ 1 = 2; f (x+
∆
x)=1,4 2
+1=2,96.
Следовательно,
∆
у = 2,96 – 2 = 1,96.
В дальнейших примерах рассмотрим технику дифференцирования.
13.у= х
2
— 5х + 4.
Дифференцируем:
5 2
)
4
(
)
(
5
)
(
2
−
=
′
+
′
−
′
=
′
x
x
x
y
14.
3 2
3 3
1 1
5
x
x
x
x
y
+
−
+
=
Предварительно перепишем это выражение:
3 2
3 1
2 1
3 1
5
−
−
−
+
−
+
=
x
x
x
x
y

Информатика и математика
28
Теперь дифференцируем:
=
′
+
′
−
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
′
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
′
−
−
−
)
(
3 1
)
(
5 3
2 3
1 2
1
x
x
x
x
y
( )
( )
=
−
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
=
−
−
−
−
4 3
3 4
2 1
3 3
1 2
3 1
5 2
1
x
x
x
x
4 3
3 4
1 2
3 5
2 1
x
x
x
x
−
+
−
=
15.
x
x
y
sin
2
=
Используем формулу производной от произведения. Имеем:
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
y
cos sin
2
sin sin
)
(
2 2
2
+
=
′
+
′
=
′
16.
( )
1 2
2
+
=
x
x
x
f
Используем формулу производной от дроби. Имеем:
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
+
=
+
⋅
−
+
=
+
′
+
−
+
′
=
′
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
17.у=(1+5х)
3
Это — сложная функция. Преобразуем ее в систему.
⎩
⎨
⎧
+
=
=
5 1
3
x
u
u
y
, отсюда
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
+
=
=
5 5
1 3
3 2
2
dx
du
x
u
du
dy
и
(
)
2 5
1 15
x
dx
du
du
dy
y
+
=
=
′
18.
x
y
2
cos
=
⎩
⎨
⎧
=
=
x
u
u
y
cos
2
, отсюда
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
=
=
x
dx
du
x
u
du
dy
sin cos
2 2
и
x
x
dx
du
du
dy
y
sin cos
2
−
=
=
′
19.
x
x
y
3 3
⋅
=
( )
( )
(
)
3
ln
3 3
3
ln
3 3
3 3
3 2
3 2
3 3
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
′
+
⋅
′
=
′
20.
. Найти
1 2
4
+
−
=
x
x
y
)
2
(
y ′′
′
Последовательно дифференцируя, получаем:
x
y
x
y
x
y
24
;
12
;
2 4
2 3
=
′′
′
=
′′
−
=
′
. Следовательно,
48 2
24
)
2
(
=
⋅
=
′′
′
y
21. С помощью дифференциала вычислить
, если известно, что
)
1
,
2
ln(
693
,
0 2
ln
=
Приближенная формула имеет вид:
x
x
f
x
f
x
x
f
Δ
′
+
≅
Δ
+
)
(
)
(
)
(
В нашем случае
х=2;
∆
х=0,1;
;
1
=
)
(
;
693
,
0
=
2
ln
=
)
2
(
;
ln
)
(
x
x
f
f
x
x
f
′
=
2 1
)
2
(
=
′
f
. Следовательно,
743
,
0 05
,
0 693
,
0 1
,
0 2
1 2
ln
)
1
,
0 2
ln(
=
+
=
⋅
+
≅
+

1. Практические задания 29
Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и иссле- дование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций.
22. Вычислить
1 2
3
lim
2 3
3 1
+
−
−
+
−
→
x
x
x
x
x
x
Решение:
=
=
−
−
−
=
=
+
−
−
+
−
→
→
0 0
1 2
3 3
3
lim
0 0
1 2
3
lim
2 2
1 2
3 3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
,
1 2
1 6
1 6
2 6
6
lim
1
=
−
⋅
⋅
=
−
→
x
x
x
23. Вычислить
x
x
x
ln lim
4 0
→
∞
⋅
=
→
0
ln lim
4 0
x
x
x
. Для раскрытия неопределенности такого типа следует предварительно преобразовать произведение в дробь.
Возможны два варианта:
∞
∞
=
4 1
ln
x
x
или
0 0
ln
1 4
=
x
x
Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим:
0 4
lim
4 1
lim
1
ln lim
0
ln lim
4 0
5 0
4 0
4 0
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
∞
∞
=
=
∞
⋅
=
⋅
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
24. Вычислить
( )
x
x
x
A
1
ln lim
∞
→
=
Здесь имеет место случай
∞
0
. Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить пра- вило Лопиталя. Имеем:
0 1
ln
1
lim
)
ln(ln lim
)
ln(ln lim ln
1
=
∞
=
=
∞
∞
=
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
Так как ln A = 0, то А = е
0
= 1.
25. Найти экстремумы функции
1 5
2 3
2 3
5
+
−
=
x
x
y
Дифференцируем:
3 1
3 10
x
x
y
−
=
=
′
. Производная, очевидно, не сущест- вует при х=0. Кроме того, она равна 0 при х=1. Следовательно, имеем две стационарные точки х
1
=0 и х
2
=1. Опять используем первое достаточное условие:
+
0
–
1
+
Здесь для определения знаков производной в интервалах вычислялись:
)
8 1
(
),
1
(
y
y
′
−
′
и
)
8
(
y′
x

Информатика и математика
30
Таким образом, заданная функция имеет максимум при х = 0 и мини- мум при х = 1. Соответствующие экстремальные значения: у
max
=f (0)=...=1,
y
min
= f (1)=...= –2.
26. Найти экстремумы функции у=3 – 2х
2
+ х
4
Дифференцируем:
3 4
4
x
x
y
+
−
=
′
Стационарные точки:
, откуда
0 4
4 3
=
+
−
x
x
0 1
=
x
;
;
1 2
=
x
1 3
−
=
x
Используем второе достаточное условие. Вторая производная:
. Таким образом:
,
2 12 4
x
y
+
−
=
′′
0 4
0 12 4
)
0
(
2
<
−
=
⋅
+
−
=
′′
y
т.е. является точкой максимума и
0 1
=
x
( )
3 0
0 2
3 0
4 2
max
=
+
⋅
−
=
= f
y
0 8
1 12 4
)
1
(
2
>
=
⋅
+
−
=
′′
y
, т.е.
1 2
=
x
является точкой минимума и
( )
2 1
1 2
3 1
4 2
min
,
1
=
+
⋅
−
=
= f
y
( )
0 8
1 12 4
)
1
(
2
>
=
−
⋅
+
−
=
−
′′
y
, т.е.
1 3
−
=
x
является второй точкой минимума и
( )
( ) ( )
2 1
1 2
3 1
4 2
min
,
2
=
−
+
−
⋅
−
=
−
= f
y
27. Исследовать выпуклости функции у=3х
4
– 4х
3
Дифференцируем:
;
2 3
12 12
x
x
y
−
=
′
x
x
y
24 36 2
−
=
′′
Стационарные значения для второй производной:
36х
2
– 24х=0, откуда х
1
=0 и х
2
=
3 2
+
3 2
–
0
+
x
Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем при х < 0 и х >
3 2
функция вогнутая, а при 0 < x <
3 2
функция выпук- лая.
Ординаты точек перегиба:
у
1, пер
= f (0)=...=0; у
2, пер
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3 2
f
59
,
0
−
≅
= K
28. Исследовать функцию
x
x
y
ln
=
и построить ее график.
1. ОДЗ этой функции: x>0. Вертикальная асимптота: х=0.
2. Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида.
3. Определим точку пересечения с осью оХ:
0
ln =
x
x
, откуда
0
ln
=
x
и х = 1.
4. Дифференцируем: ln
1 2
x
x
y
−
=
=
′

1. Практические задания 31 5. Определим стационарные точки. Значение х=0 исключаем, как не вошедшее в ОДЗ. Тогда:
0
ln
1
=
− x
, откуда х=е.
6. Выберем второе достаточное условие.
Вторая производная:
3 3
ln
2
x
x
y
−
=
′′
Тогда
0 1
)
(
3
<
−
=
=
′′
e
e
y
, т.е. точка х = е является точкой максимума, и
( )
37
,
0
ln max
≅
=
=
e
e
e
f
y
. Заданная функция возрастает при x < e и убыва- ет при x > e.
7. Определим выпуклости заданной функции. Стационарные значения второй производной
0 3
ln
2 3
=
−
x
x
, откуда х = е
1,5
–
x
+
e
1,5
Таким образом, точка х=е
1,5
является точкой перегиба, причем слева от нее функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината у
пер
=...=
5
,
1 5
,
1
e
8. Проверим горизонтальную асимптоту:
,
0 1
1 1
lim ln lim
=
∞
=
=
∞
∞
=
→∞
→∞
x
x
x
x
x
следовательно, ось оХ является горизон- тальной асимптотой.
Всех полученных данных достаточно для построения графика.
x
1 e
e
1 0
y
Интегрирование функций является обратной операцией по отноше- нию к операции дифференцирования, т.е. восстановление функции по задан- ным ее производной или дифференциалу.
Функция F(x) называется первообразной функцией для заданной функции y = f(x) на отрезке a
≤ x ≤ y, если в каждой точке этого отрезка ее производная равна f(x), т.е.
)
(
)
(
x
f
x
F
=
′

Информатика и математика
32
Каждая непрерывная функция имеет бесконечное множество перво- образных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.
Общее выражение F(x) + C для всех первообразных функций от дан- ной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается
,
∫
dx
x
f )
(
где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.
При вычислении неопределенных интегралов необходимо использо- вать как стандартную таблицу, так и различные приемы упрощения подынтегральных выражений, позволяющих свести задачу к табличным интегралам или привести к такому виду, который позволит воспользовать- ся справочными таблицами.
29.Вычислить
∫
−
dx
x
x
)
4 5
(
В данном случае – приводим к табличному виду
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
+
∫
C
x
n
dx
x
n
n
1 1
1
:
=
−
=
−
∫
∫
∫
xdx
dx
x
dx
x
x
4 5
)
4 5
(
2 1
C
x
x
C
x
x
+
−
=
+
−
+
+
2 5
,
1 2
1 5
,
0 2
3 10 2
4 1
5
,
0 5
30.Вычислить
∫
+
dx
x
x
2 3
sin
1
sin
Здесь для приведения к табличному виду
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
−
=
∫
∫
C
x
dx
x
C
x
xdx
ctg sin
1
;
cos sin
2
преобразуем подынтегральное выражение к сумме двух слагаемых:
C
x
x
dx
x
x
dx
x
x
+
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
∫
∫
ctg cos sin
1
sin sin
1
sin
2 2
3
Во многих случаях для приведения к табличному виду можно использовать замену переменной (подстановку).
31. Вычислить интеграл
∫
−
dx
x 1 2
4
Здесь для применения табличной формулы
∫
+
=
C
a
a
dx
a
x
x
ln необходимо преобразовать показатель степени 2x – 1. Введем подстановку: u = 2x – 1, откуда du = 2dx и
du
dx
2 1
=
Тогда:
=
=
=
⋅
=
=
=
−
=
=
∫
∫
∫
−
4
ln
4 5
,
0 4
5
,
0 5
,
0 4
5
,
0 2
1 2
4 1
2
u
u
u
x
du
du
du
dx
dx
du
x
u
dx
C
x
+
−
4
ln
4 5
,
0 1
2

1. Практические задания 33 32. Вычислить интеграл
∫
−
2 5 x
xdx
∫
∫
∫
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
−
du
u
u
du
du
xdx
xdx
du
x
u
x
xdx
2 1
2 2
3 1
2 1
2 1
2 5
5
C
x
u
+
−
=
−
2 2
1 5
33. Вычислить интеграл
∫
−
2
)
3 8
(
x
dx
∫
∫
∫
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
−
du
u
u
du
du
dx
dx
du
x
u
x
dx
2 2
2 3
1 3
1 3
1 3
3 8
)
3 8
(
C
x
u
+
−
=
)
3 8
(
3 1
3 1
34. Вычислить интеграл
∫
xdx
x cos
Интегралы такого типа вычисляются с помощью формулы интегриро- вания по частям
∫
∫
−
=
vdu
uv
udv
∫
∫
=
−
=
=
→
=
=
→
=
=
xdx
x
x
x
v
xdx
dv
dx
du
x
u
xdx
x
sin sin sin cos cos
C
x
x
x
+
+
=
cos sin
35. Вычислить интеграл
∫
xdx
x ln
2
∫
∫
=
⋅
−
=
=
→
=
→
=
=
dx
x
x
x
x
x
v
dx
x
dv
dx
x
du
x
u
xdx
x
1 3
ln
3 3
1
ln ln
3 3
3 2
2
C
x
x
x
+
−
9 3
ln
3 3
В случае, когда нужно вычислить интеграл от дроби, используется прием деления «углом». Это возможно тогда, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя.
36. Вычислить интеграл
∫
+
−
dx
x
x
1 1
2
.
Разделим: 2x – 1
x+1 , следовательно
2x + 2 2
–3 1
3 2
1 3
2 1
1 2
+
−
=
+
−
+
=
+
−
x
x
x
x
Тогда:
∫
∫
∫
∫
+
+
−
=
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
−
C
x
x
x
dx
dx
dx
x
dx
x
x
)
1
ln(
3 2
1 3
2 1
3 2
1 1
2

Информатика и математика
34 37.Вычислить интеграл
∫
−
+
dx
x
x
x
1 3
Делим:
x3 + 0 × x2 + x +0
–x + 1
x3 + x2 –x2 – x – 2
x2 + x
x2 – x
2x + 0 2x – 2 2
Таким образом:
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
=
−
+
1 2
2 1
2 3
, откуда:
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
−
=
−
+
∫
∫
dx
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 1
2 3
C
x
x
x
x
+
−
−
−
−
−
)
1
ln(
2 2
2 3
2 3
Если знаменатель дроби разлагается на простые множители (x – xi), то для интегрирования таких дробей используется метод неопределенных коэффициентов:
2 1
2 1
)
)(
(
x
x
B
x
x
A
x
x
x
x
n
mx
−
+
−
=
−
−
+
38. Вычислить интеграл
∫
−
+
+
dx
x
x
x
6 5
2 2
Так как
, то
)
6
)(
1
(
6 5
2
+
−
=
−
+
x
x
x
x
6 1
6 5
2 2
+
+
−
=
−
+
+
x
B
x
A
x
x
x
Приведем правую часть к общему знаменателю:
)
6
)(
1
(
)
1
(
)
6
(
6 5
2 2
+
−
−
+
+
=
−
+
+
x
x
x
B
x
A
x
x
x
Отбрасывая знаменатели и открывая скобки, получим
)
6
(
)
(
2
B
A
x
B
A
x
−
+
+
=
+
Чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, сле- дует обеспечить равенство соответствующих коэффициентов. Получаем систему уравнений:
⎩
⎨
⎧
=
−
=
+
2 6
1
B
A
B
A
Отсюда
7 3
=
A
;
7 4
=
B
и
6 1
7 4
1 1
7 3
6 5
2 2
+
⋅
+
−
⋅
=
−
+
+
x
x
x
x
x
Таким образом,
∫
∫
∫
=
+
+
−
=
−
+
+
6 7
4 1
7 3
6 5
2 2
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
C
x
x
+
+
+
−
)
6
ln(
7 4
)
1
ln(
7 3

1. Практические задания 35 39.Вычислить интеграл
∫
+
−
−
dx
x
x
x
x
)
3
)(
2
(
5 7
Аналогично предыдущему примеру, имеем:
3 2
)
3
)(
2
(
5 7
+
+
−
+
=
+
−
−
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
;
)
2
(
)
3
(
)
3
)(
2
(
5 7
−
+
+
+
+
−
=
−
x
Cx
x
Bx
x
x
A
x
;
A
x
C
B
A
x
C
B
A
x
x
6
)
2 3
(
)
(
5 7
0 2
2
−
−
+
+
+
+
=
−
+
⋅
Соответствующая система уравнений и ее решение:
15 26
;
9
,
0
;
6 5
;
5 6
7 2
3 0
−
=
=
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
−
+
=
+
+
C
B
A
A
C
B
A
C
B
A
Таким образом,
∫
∫
∫
∫
=
+
−
−
+
=
+
−
−
3 15 26 2
9
,
0 6
5
)
3
)(
2
(
5 7
x
dx
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
C
x
x
x
+
+
−
−
+
=
)
3
ln(
15 26
)
2
ln(
9
,
0
ln
6 5
Понятие определенного интеграла имеет самостоятельное значение в математическом анализе. Однако их вычисление основано на использо- вании формулы Ньютона-Лейбница применительно к известным первооб- разным.
Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов.
40. Вычислить интеграл
∫
+
4 2
2
)
3
(
dx
x
x
Первообразная:
2 3
2 2
3 3
)
3
(
x
x
dx
x
x
+
=
+
∫
По формуле Ньютона-Лейбница:
67
,
36 3
110 2
2 3
3 2
4 2
3 3
4 2
3 3
2 3
2 3
2 4
2 3
≈
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
x
x
Вычисление значения интеграла обычно принято записывать цепочкой, без выделения первообразной и формулы Ньютона-Лейбница.
41.Вычислить интеграл
∫
+
1 0
)
(
dx
e
x
x
=
+
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
+
∫
)
0
(
2 1
2
)
(
0 1
2 0
1 2
1 0
e
e
e
x
dx
e
x
x
x
218
,
2 718
,
2 5
,
0 5
,
0 1
5
,
0
=
+
−
≈
+
−
=
−
+
=
e
e
При замене переменной необходимо сразу преобразовать верхний и нижний пределы.

Информатика и математика
36 42.Вычислить интеграл
∫
+
3 0
1
dx
x
x
∫
∫
=
⋅
−
=
=
+
=
=
+
=
⇒
=
−
=
+
=
+
=
=
+
2 1
2 2
2 3
0 2
)
1
(
2 3
1 1
0 1
2 1
1 1
1
udu
u
u
udu
dx
u
x
x
u
x
u
dx
x
x
β
α
15 11 7
3 1
5 1
2 3
2 5
2 2
3 5
2
)
(
2 3
5 3
5 2
1 1
2 3
5 2
4
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
∫
u
u
du
u
u
43. Вычислить интеграл
∫
∞
+
0 2
1 x
dx
Несобственные интегралы первого рода (один или оба предела интег- рирования содержат бесконечность и подынтегральная функция – непре- рывна) вычисляются по той же формуле Ньютона-Лейбница, но с приме- нением теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.
2 0
2 0
arctg arctg arctg
1 0
0 2
π
π
=
−
=
−
∞
=
=
+
∞
∞
∫
x
x
dx
Здесь использована известная формула
∞
=
2
tg
π
или, более строго,
2
arctg lim
π
=
∞
→
x
x
44. Вычислить интеграл
∫
∞
1
x
dx