Информатика и математика, (для юристов), 2011. Информатика и математика проблемнотематический комплекс
 Скачать 3.34 Mb.
|
|
. ∞ = − ∞ = = ∞ ∞ ∫ 1 ln ln ln 1 1 x x dx . Здесь учтено, что 0 1 ln ; ln lim = ∞ = ∞ → x x . Интеграл расходится. 45.Вычислить интеграл ⎮ ⌡ ⌠ + ∞ ∞ − 2 1 x dx Аналогично примеру 59 имеем: π π π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = −∞ − ∞ = = ⎮ ⌡ ⌠ + ∞ − ∞ ∞ ∞ − 2 2 ) arctg( arctg arctg 1 2 x x dx 46.Оценить значение интеграла ∫ + 2 0 2 sin 1 π x dx с помощью теоремы о среднем определенного интервала. В случае сложных подынтегральных выражений или «неберущихся» интегралов для оценки значения интеграла достаточно удобна теорема о среднем: ) ( ) ( ) ( a b c f dx x f b a − ⋅ = ∫ 1. Практические задания 37 Здесь c – точка внутри интервала интегрирования (т.е. a < c < b), выбираемая при выполнении расчета. Для практических целей удобно выбирать середину интервала, т.е. 2 b a c + = Для решения примера выберем 4 2 2 0 2 π π = + = + = b a c Тогда: ∫ ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = + 2 0 2 2 05 , 1 0 2 4 sin 1 1 sin 1 π π π x dx Точное значение интеграла равно 1,12, т.е. погрешность составила 7%. Заметим, что удачный выбор точки с может повысить точность вычислений. Однако середина интервала удобнее для грубой оценки зна- чения интеграла. При необходимости более точных вычислений следует использовать другие методы, из которых рекомендуем формулу трапеций. 47. Вычислить интеграл ∫ + 1 0 2 1 x dx по формуле трапеций. Формула трапеций имеет вид: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∑ ∫ − = 1 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( n i i b a x f b f a f n a b dx x f Здесь – число интервалов разбиения области интегрирования; xi – абсцисса конца интервала, причем x0 = a и xn = b. 0 Z n ∈ Точность формулы зависит от выбираемого значения n. При ответст- венных расчетах рекомендуется вычислить интеграл для двух различных значений n (к примеру, n = 8 и n = 12), после чего сравнить результаты. Если они близки, то расчет закончен. Существует и аналитическая формула для оценки погрешности. Выберем для данного примера n = 5, т.е. разобьем область интегриро- вания на пять интервалов. 1 0 ≤ ≤ x Длина интервала 2 , 0 5 0 1 = − = − = n a b h , следовательно 2 b a с + = : x 5 1 = x 4 0 8 = , x 3 0 6 = , x 2 0 4 = , x 1 0 2 = , x 0 0 = В нашем примере 2 1 1 ) ( x x f + = . Для вычисления удобно оформить расчеты следующей таблицей: ) ( i x f N xi 2 1 1 ) ( i i x x f + = 0 0 1 1 0,2 0,9615 2 0,4 0,8621 3 0,6 0,7353 4 0,8 0,6098 5 1 0,5000 Информатика и математика 38 В соответствии с формулой трапеций: = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + − = + ∫ ) 6098 , 0 7353 , 0 8621 , 0 9615 , 0 ( 2 5000 , 0 1 5 0 1 1 1 0 2 x dx 7837 , 0 Точное значение этого интеграла 0,7854, т.е. погрешность составила 0,2%. Если повторить расчет, приняв n = 10, то приближенное значение интеграла будет 0,7850, что отличается от точного на 0,05%. Таким обра- зом, формула трапеций обеспечивает хорошую практическую точность вычислений и легко реализуется на компьютере. Существуют и другие, достаточно удобные, формулы приближенного интегрирования (квадратурные формулы) – Симпсона, Гаусса и др., кото- рые можно найти в перечисленной в конце темы литературе. 48. Найти площадь полуволны синусоиды. Геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры, образованной линией y = f(x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a и x = b. Отсюда следует, что общая формула площади любой фигуры, с учетом того, что по физическому смыслу площадь S не может быть отри- цательной, имеет вид: ∫ = b a dx x f S ) ( При решении задач на площади рекомендуется предварительно по- строить эскиз вычисляемой площади. В данном случае: y x = sin 0 S y x π 1 Отсюда: ∫ = π 0 sin xdx S = − = ∫ 0 0 cos sin π π x xdx 2 ) 0 cos (cos = − − π Следовательно, = = 2 S 2 квадр. ед. 1. Практические задания 39 49. Вычислить площадь фигуры, образованной осью 0x и линией на интервале 4 2 − = x y 5 0 ≤ ≤ x 2 y x 5 –4 0 Эскиз показывает, что линия пересекает ось 0x. При вычис- лении площади разобьем интеграл на два слагаемых, для того чтобы не допус- тить алгебраического сложения величин различных знаков. Найдем сначала точку пересечения функции с осью 0x: 4 2 − = x y 4 2 − = x y ⇒ 2 1 − = x (отбрасываем, так как это значение не входит в интервал ). 2 1 = x , 5 0 ≤ ≤ x Таким образом, 3 97 3 81 3 16 ) 4 ( ) 4 ( 5 2 2 2 0 2 = + − = = − + − = ∫ ∫ dx x dx x S кв. ед. 50. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями и y x x = − 5 2 y x = 2 2,5 y x x = − 5 2 y x = 2 y x 5 0 Точки пересечения линий определятся из уравнения , т.е. 2 2 5 x x x − = 5 , 2 ; 0 2 1 = = x x Информатика и математика 40 Для решения задач со сложным очертанием области удобно использо- вать графическое разложение на сумму простейших фигур. Так, в нашем случае: 2,5 ⇒ y x x = − 5 2 S 0 0 0 2,5 2,5 S S 2 S 1 y x = 2 Следовательно, чтобы получить искомую площадь S, достаточно определить площадь S 1 для функции и вычесть из нее площадь S 2 для функции , т.е. 2 2 5 x x x − = 2 x y = 21 , 5 21 , 5 42 , 10 ) 5 ( 5 , 2 0 2 5 , 2 0 2 2 1 = − = = − − = − = ∫ ∫ dx x dx x x S S S кв. ед. С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания. Задание 11.1. Вычислить пределы: 11.1.1. 2 2 3 2 1 ) ( lim p x p p x x + + ∞ → . 11.1.2. 2 3 4 2 2 1 2 lim p x p x x p x + + − ∞ → 11.1.3. 3 2 2 1 2 1 2 lim p x p p x x − + − → . 11.1.4. ( ) 2 1 2 1 1 2 3 3 lim 1 p x p x p x p x − + + − → 11.1.5. x p x p x 2 1 0 sin lim → 11.1.6. ( ) x p p x p x 3 1 3 0 sin sin lim + → 11.1.7. x x x p ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ 2 1 lim 11.1.8. ( ) x x x p 1 1 0 1 lim + → Задание 11.2. Найти первые производные от функций: 11.2.1. 3 2 4 , 0 1 p p x x x p y − + − = 11.2.2. 3 ) ( 3 2 1 p x p p y − = 11.2.3. 3 2 2 1 5 p x p x x p y + − + = 11.2.4. 3 1 2 x p p y + = 11.2.5. x p x p y 2 1 1 3 − − = 11.2.6. 2 2 1 x p e p y − = 11.2.7. x p e x y 1 = 11.2.8. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = x p p x y 2 1 cos ln 11.2.9. x p e p x y 1 2 = 11.2.10. 2 3 2 2 3 p y p y x x p = + + 3 2 1 Литература: 3, 4, 25. 1. Практические задания 41 Т ЕМА 12 М АТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМБИНАТОРИКА Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение комбина- торных формул в задачах. 1.Упростить выражение ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ! 7 ! 2 ! 9 ! 6 ! 3 ! 8 ! 10 ! 4 ! 7 B Было бы неправильным просто вычислить все факториалы, после чего перейти к арифметике – слишком большие числа. Используем, где возможно, расчленение факториалов: 30 1 720 24 10 9 8 4 3 2 1 10 9 8 ! 7 ! 4 ! 7 ! 10 ! 4 ! 7 = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ; 84 3 2 1 9 8 7 ! 6 ! 3 9 8 7 ! 6 ! 6 ! 3 ! 8 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ; 36 2 1 9 8 ! 7 ! 2 9 8 ! 7 ! 7 ! 2 ! 9 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Следовательно, ( ) 6 , 1 30 48 36 84 30 1 = = − = B 2. Упростить выражение ( ) ( ) ( ) ! 3 ! 1 ! 1 1 ! 5 ⋅ − + ⋅ + = m m m m A Напомним, что ( ) ( ) 1 ! ! 1 + ⋅ = + m m m ; ( ) m m m ! ! 1 = − и 5 4 ! 3 ! 5 ⋅ ⋅ = , тогда 20 5 4 ! 3 ! ) 1 ( ! ) 1 ( 5 4 ! 3 = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = m m m m m m A 3.При расследовании хищения установлено, что у преступника семи- значный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется. Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он? Известно, что любое число может быть записано с использованием десяти цифр – 0, 1, ..., 9. Так как телефонные номера обычно не начинают- ся с 0, то задача состоит в вычислении числа комбинаций из девяти раз- личных цифр по 7. Очевидно, что это – размещение по семи различным местам семи из девяти различных цифр, т.е. ( ) 440 181 ! 2 9 8 7 6 5 4 3 ! 2 ! 2 ! 9 ! 7 9 ! 9 7 9 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = − = A номеров. Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь – не прав. 4.Сколькими способами семь разных учебников можно поставить на полке в один ряд? Так как порядок учебников по условию – значения не имеет, то имеем задачу о числе перестановок семи разных книг. Следовательно, 5040 7 6 5 4 3 2 1 ! 7 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = P способов. 5.В штате прокуратуры областного центра имеется пять следовате- лей. Сколькими способами можно выбрать двух из них для проверки опе- ративной информации о готовящемся преступлении? Информатика и математика 42 Поскольку не имеет значения, какой сотрудник будет первым, а какой – вторым, т.е. необходим выбор двух разных сотрудников из пяти возмож- ных, то это – задача о сочетаниях из пяти человек по два. Следовательно: ( ) 10 ! 3 ! 2 5 4 ! 3 ! 3 ! 2 ! 5 ! 2 5 ! 2 ! 5 2 5 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = − = C способов. 6.В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает уча- стие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр? Данная задача – о числе выборок из 16 по 2. Таким образом, 120 ! 14 ! 2 16 15 ! 14 ! 14 ! 2 ! 16 )! 2 16 ( ! 2 ! 16 2 16 = ⋅ ⋅ = = − = C игр. 7.Изменим условия примера 3. Пусть стало известно, что в телефон- ном номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5 и 7. Насколько уменьшится перебор всех возможных номеров? Таким образом, в семизначном телефонном номере встречаются только четыре цифры, остальные три, очевидно, повторяют какие-то из имеющихся. Следовательно, имеем задачу о размещениях из четырех цифр по семи, т.е. с повторениями. Решение: A 4 7 (повт.) = 4 7 =16384 номера. Перебрать все эти номера можно примерно за 11 суток, что почти в 10 раз меньше, чем в примере 3. 8.Сколькими способами можно разложить в ряд две зеленые и четыре красные папки? Так как названия папок не указываются, а критерием является цвет, то задача состоит в расположении шести цветных папок двух цветов. Имеем случай перестановок с повторениями. Следовательно, ( ) 15 ! 4 ! 2 6 5 ! 4 ! 4 ! 2 ! 6 4 , 2 6 = ⋅ ⋅ ⋅ = = P способами. 9. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «какао», чтобы получились все возможные различные наборы букв? В заданном слове – 5 букв, причем «к» и «а» повторяются по два раза, а «о» встречается один раз. Таким образом, ( ) 30 ! 1 ! 2 ! 2 ! 5 1 , 2 , 2 5 = = P способов. 10.В кондитерской имеется пять разных видов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных? Ясно, что можно выбрать как различные виды пирожных, так и пов- торяющиеся и даже составить набор из четырех одинаковых пирожных. Так как порядок следования пирожных в наборе не имеет значения, то эта задача относится к классу сочетаний с повторениями. Следовательно, (повт.) 4 5 C 70 ! 4 ! 4 ! 8 4 1 5 4 = = = − + C способами. 1. Практические задания 43 С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания. Задание 12.1. Вычислить ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − + ⋅ − ! 1 2 ! 1 2 ! 1 ! 1 ! 2 ! 2 2 1 1 3 3 p p p p p p Задание 12.2. С помощью правила симметрии вычислить: 3 3 2 2 1 1 2 3 2 3 2 p p p p p p C C C A + − − + + = Задание 12.3. В учебной группе 3 2 p p ⋅ студентов. Сколькими спосо- бами их можно разбить на бригады по p 1 человек? Литература: 1–3, 5, 19, 25. Э ЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ Т ЕМА 13 Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей событий и анализ дискретных случайных величин. 1. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение – четырем. Каждый кубик при бросании дает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как оба кубика бросаются независимо, то по теореме умножения общее число исходов: 6 · 6 = 36. Ясно, что удовлетворить условию задачи возможно только двумя сочетаниями очков: 1, 4 или 4, 1. То есть только два исхода благоприятст- вуют условию задачи. Следовательно, по определению вероятности: ( ) 056 , 0 18 1 36 2 ≈ = = A P 2.В коробке имеется 15 шаров, из которых 10 – окрашены, а 5 – про- зрачные. Извлекаем, не глядя, три шара. Какова вероятность того, что все они будут окрашены? Общее число исходов при извлечении шаров: 455 )! 3 10 ( ! 3 ! 15 3 15 = − = = C n Благоприятных исходов того, что все шары окрашены: ( ) 120 ! 3 10 ! 3 ! 10 3 10 = − = = C m Следовательно, ( ) 264 , 0 91 24 455 120 ≈ = = A P 3. В библиотеке на стеллаже расставлено 15 учебников по математике, причем только 5 из них пригодны для студентов юридического факультета. Студент наудачу выбирает 3 учебника. Какова вероятность того, что хотя бы один из учебников – тот, что нужен? Всего три учебника из 15 можно выбрать: 455 )! 3 10 ( ! 3 ! 15 3 15 = − = = C n способами. Информатика и математика 44 Ненужные учебники при этом (из 10 шт.) могут быть выбраны: ( ) 120 ! 3 10 ! 3 ! 10 3 10 = − = = C m способами. Следовательно, вероятность того, что все учебники непригодны: ( ) 264 , 0 91 24 455 120 ≈ = = = n m A P Поскольку события А – «хотя бы один учебник пригоден» и A – «все три учебника непригодны» противоположны и составляют полную группу, то: ( ) ( ) 1 = + A P A P Следовательно, ( ) ( ) 736 , 0 264 , 0 1 1 = − = − = A P A P 4. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попа- дания для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок. Так как два стрелка стреляют одновременно и независимо друг от друга, то, используя противоположные события «попадание – промах» и правило умножения вероятностей, получим следующие варианты со- бытий: – попадают оба стрелка: 56 , 0 8 , 0 7 , 0 2 1 = ⋅ = ⋅ P P ; – попадает первый стрелок и не попадает второй: 14 , 0 2 , 0 7 , 0 2 1 = ⋅ = ⋅ P P ; – попадает второй и промах у первого: 24 , 0 8 , 0 3 , 0 2 1 = ⋅ = ⋅ P P ; – промах обоих стрелков: 06 , 0 3 , 0 2 , 0 2 1 = ⋅ = ⋅ P P Эти события образуют полную группу, так как 1 06 , 0 24 , 0 14 , 0 56 , 0 = + + + Решением задачи, по правилу сложения, будет: 38 , 0 24 , 0 14 , 0 2 1 2 1 = + = ⋅ + ⋅ P P P P 5.Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает 20. Преподаватель последовательно задает три вопроса. Найти веро- ятность того, что студент сможет ответить на все вопросы А, В, С. Вероятность того, что первый вопрос экзаменатора будет из числа известных студенту, равна ( ) 25 20 = A P Таким образом, остается 24 вопроса, из которых 19 – известны. Следо- вательно, ( ) 24 19 / = A B P Аналогично, вероятность того, что студент ответит и на третий вопрос: ( ) 23 18 / = AB C P Таким образом, вероятность отличной оценки: ( ) ( ) ( ) 496 , 0 23 18 24 19 25 20 / / ≈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ AB C P A B P A P 6. В мешок, содержащий два шара неизвестного цвета, опущен белый шар. После встряхивания извлечен один шар. Найти вероятность того, 1. Практические задания 45 что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые пред- положения о цвете двух шаров, находившихся в мешке. Пусть А – событие извлечения белого шара. Построим предположения о первоначальном составе шаров: В 1 – белых шаров нет; В 2 – один белый шар из двух; В 3 – оба шара белые. Так как гипотезы В 1 , В 2 и В 3 по условию равновероятны, то ( ) ( ) ( ) 3 1 3 2 1 = = = B P B P B P А теперь промоделируем извлечение: – если в мешке первоначально не было белых шаров, то: ( ) 3 1 / 1 = B A P , так как только одно событие из трех благоприятно; – в мешке уже был один белый шар, следовательно: ( ) 3 2 / 2 = B A P , так как уже два события из трех благоприятны; – в мешке оба шара были белые: ( ) 1 3 3 / 3 = = B A P Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, найдем по формуле полной вероятности: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = 3 3 2 2 1 1 / / / B A P B P B A P B P B A P B P A P 3 2 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = 7.Два автомата производят одинаковые детали. Производительность первого автомата в два раза больше производительности второго. Вероят- ность производства отличной детали у первого автомата равна 0,60, а у второго 0,84. Наудачу взятая для проверки деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. Пусть А – событие: деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы: В 1 – деталь произведена первым автоматом. Тогда ( ) 3 2 1 = B P , так как этот автомат производит, по условию, деталей в два раза больше второго. В 2 – деталь изготовлена вторым автоматом, причем ( ) 3 1 2 = B P Условные вероятности того, что деталь произведена первым автома- том, по условию: , а вторым – ( ) 60 , 0 / 1 = B A P ( ) 84 , 0 / 2 = B A P Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности: Информатика и математика 46 ( ) ( ) ( ) ( )( ) = + = 2 2 1 1 / / B A B P B A P B P A P 68 , 0 84 , 0 3 1 60 , 0 3 2 = ⋅ + ⋅ Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым автоматом, по формуле Байеса: ( ) ( ) ( ) 588 , 0 68 , 0 6 , 0 3 2 1 1 1 ≈ ⋅ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ A P B A P B P A B P 8.Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X 1 3 6 8 p 0,2 0,1 0,4 0,3 Построить многоугольник распределения. В прямоугольной системе координат по оси x будем откладывать воз- можные значения x i , а по оси y – вероятности этих значений. Построим точки ; ; и . Соединив эти точки отрез- ками, получим ответ. ) 2 , 0 ; 1 ( 1 M ) 1 , 0 ; 3 ( 2 M ) 4 , 0 ; 6 ( 3 M ) 3 , 0 ; 8 ( 4 M x i M 2 M 4 M 3 M 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 P i 0 9.Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли, составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети. Возможные значения величины X (число отказов): x 0 =0 – ни один из элементов не отказал; x 1 =1 – отказ одного элемента; x 2 =2 – отказ двух элементов; x 3 =3 – отказ всех элементов. Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим ( ) 729 , 0 9 , 0 0 3 3 3 0 0 3 3 = = = = q q p C P , ( ) 243 , 0 9 , 0 1 , 0 3 3 1 2 2 2 1 1 3 3 = ⋅ ⋅ = = = pq q p C P , ( ) 027 , 0 9 , 0 1 , 0 3 3 2 2 2 1 2 2 3 3 = ⋅ ⋅ = = = q p q p C P , 1. Практические задания 47 ( ) 001 , 0 1 , 0 3 3 3 0 3 3 3 3 = = = = p q p C P Контроль: 1 001 , 0 027 , 0 243 , 0 729 , 0 = + + + Следовательно, искомый закон распределения: X 0 1 2 3 p 0,729 0,243 0,027 0,001 10. Произведено 500 выстрелов из винтовки. Вероятность негодного патрона . Найти вероятность того, что в серии было ровно три осечки. 002 , 0 = p Так как n = 500 – велико, а вероятность 002 , 0 = p – мала и все выстрелы независимы, то имеет место формула Пуассона: ( ) ( ) ! k e np k P np k n = Следовательно, ( ) 061 , 0 ! 3 ) 002 , 0 500 ( 3 002 , 0 500 3 500 ≈ ⋅ ⋅ = ⋅ e P 11. Найти числовые характеристики случайной величины X, заданной законом распределения: X -5 2 3 4 p 0,4 0,3 0,1 0,2 Математическое ожидание: ( ) 3 , 0 2 , 0 4 1 , 0 3 3 , 0 2 4 , 0 5 − = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = X M Запишем закон распределения X 2 : X 2 25 4 9 16 p 0,4 0,3 0,1 0,2 Математическое ожидание: 3 , 15 2 , 0 16 1 , 0 9 3 , 0 4 4 , 0 25 ) ( 2 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = X M Находим дисперсию: ( ) 21 , 15 ) 3 , 0 ( 3 , 15 )] ( [ ) ( 2 2 2 = − − = − = X M X M X D Стандарт ( ) ( ) 9 , 3 21 , 15 у ≈ = = X D X 12. Случайная величина X задана законом распределения Х 1 2 4 p 0,1 0,3 0,6 Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков. Найдем сначала начальные моменты ) ( н k k X M = ( ) 1 , 3 6 , 0 4 3 , 0 2 1 , 0 1 н 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = X M ; 9 , 10 6 , 0 16 3 , 0 4 1 , 0 1 ) ( н 2 2 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = X M ; 9 , 40 6 , 0 64 3 , 0 8 1 , 0 1 ) ( н 3 3 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = X M Теперь найдем центральные моменты k k X M X M )] ( [ м − = ( ) [ ] ( ) 0 м 0 1 = = − = x M X M X M ; |