Информатика и математика, (для юристов), 2011. Информатика и математика проблемнотематический комплекс
 Скачать 3.34 Mb.
|
|
Изучение основ математики позволяет специалистам, занимающимся юридической деятельностью, расширить свои профессиональное воз- можности, а будущим юристам – сформировать качественное профес- сиональное мышление. Т ЕМА 10 А КСИОМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА МАТЕМАТИКИ Основные вопросы темы 1. Основные понятия теории множеств. 2. Операции над множествами. 3. Соответствие, отображение и функция. 4. Элементарные функции. Графики. Теория множеств предлагает юристу математический аппарат, кото- рый позволяет описать реальные элементы, участвующие в юридическом событии, в виде множеств. Алгебра множеств позволяет осуществлять формальный анализ юридических событий. Юридический принцип отне- сения элементов юридической проблемной ситуации к тому или иному множеству может быть проиллюстрирован нормами законодательства (на- пример, в процессуальном законодательстве – множество обвиняемых, по- дозреваемых и т.д.). При описании юридической проблемной ситуации требуется осуще- ствлять проверку корректности выполнения операций над множествами. Информатика и математика 154 Например, важнейший для юриста аспект связан с соотношением мно- жеств (выделить метод наказания из предусмотренных статьями дейст- вующих кодексов, соответствующий установленной судом модели реаль- ной ситуации). При этом, поскольку отображения в юридической практике многократны, последовательно исследуются отношения между множест- вами. Функциональный анализ обеспечивает юриста возможностью выде- лить независимые переменные и функции, зависимые от конкретных зна- чений. Так, например, нормативные документы можно рассматривать как отображение в существенной мере тех или иных функций. 1. Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне разли- чаемых объектов, называемых элементами множества, обладающих об- щими для всех них и только их свойствами и рассматриваемых как единое целое. Каждое множество состоит из того или иного набора объектов, кото- рые называются элементами множества. Факт, что элемент а принадлежит множеству Х будем обозначать: а ∈Х. Порядок элементов в множестве несуществен. Множества {а, в, с} и {а, с, в} одинаковы. Множество может задаваться: 1. Путем перечисления его элементов. Обычно перечислением задают конечные множества. 2. Путем описания свойств, общих для всех элементов этого множе- ства, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Если мы задаем множество ка- ким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет. Данный факт мо- жет быть совсем не очевиден. Если характеристическим свойством, задающим множество А не об- ладает ни один объект, то говорят, что множество А пустое. Обозначается это так: ∅. Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов множества конечно, множество называется конечным. Пустое множество считается конечным множеством. Количество элементов, составляющих множество, называется мощно- стью множества. Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимооднозначное соответствие с элементами множества положительных целых чисел, то говорят, что множество счетно. 2. План-конспект лекционного курса 155 Например: • множество действительных чисел, множество частных решений дифференциального уравнения – бесконечные множества; • множество чисел, делящихся без остатка на 3, – счетное множество; • множество букв русского алфавита, множество отличников вашей группы – конечно. Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. любой элемент множества Х является элементом множе- ства Y, и любой элемент множества Y является элементом множества Х. Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент мно- жества Х принадлежит множеству Y. Этот случай носит название «нестро- гое включение». Некоторые свойства подмножества: 1. Х ⊆ Х – рефлективность. 2. X ⊆ Y & Y ⊆ Z → X ⊆ Z – транзитивность. 3. ∅ ⊆ X, т.е. пустое множество является подмножеством любого множества. Например: Пусть Х – множество студентов некоторой группы; Е – множество от- личников этой же группы. E ⊆ X, так как группа может состоять только из отличников. Когда хотят подчеркнуть, что в множестве У есть обязательно элемен- ты, отличные от элементов множества Х, то пишут Х ⊂ У. Это называется строгим включением. Например: Пусть Х – множество всех студентов МИЭП; Е – множество студентов юридического факультета. E ⊂ X, так как во множестве всех студентов МИЭП обязательно есть элементы E. Универсальное множество – это такое множество, которое состоит из всех элементов, а также подмножеств множества объектов исследуемой области, т.е. 1. Если М ∈ I , то М ⊆ I. 2. Если М ∈ I , тоΏ(М) ⊆ I , где под Ώ(М) – понимаются все возможные подмножества М, или Булеан М. Универсальное множество обычно обозначается I. Универсальное множество может выбираться самостоятельно, в зави- симости от рассматриваемого множества и решаемых задач. Информатика и математика 156 2. Операции над множествами: 1. Пересечение множеств: пересечением множеств Х и У называ- ется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, кото- рые принадлежат и множеству Х, и множеству У. Например: Х={1,2,3,4}, У={2,4,6}, пересечение – {2,4} (см. рис. 1), Рис. 1. Пересечение множеств Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству. Например: непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих. Данную операцию можно распространить и на большее, чем два, чис- ло множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежа- щих одновременно всем множествам. Свойства пересечения: 1. X∩Y = Y∩X – свойство коммутативности. 2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z – свойство ассоциативности. 3. X∩ ∅ = ∅. 4. X∩I = Х. 2. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У. Например: Х={1,2,3,4}, У={2,4,6}, объединение – {1,2,3,4,6} (см. рис. 2). Рис. 2. Объединение множеств Данную операцию можно распространить и на большее, чем два, чис- ло множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежа- щих хотя бы одному из этих множеств. Свойства объединения: 1. XUY= YUY – свойство коммутативности. 2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ – свойство ассоциативности. 3. XU ∅ = X. 4. XUI = I. Из свойств операций пересечения и объединения видно, что пустое множество аналогично нулю в алгебре чисел. 2. План-конспект лекционного курса 157 3. Разность множеств. Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения, определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У. Например: Х={1,2,3,4}, У={2,4,6}, разность – {1,3} (см. рис. 3). Рис. 3. Разность множеств Роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Определим множество, которое будет играть роль единицы в алгебре множеств. 4. Дополнением множества Х называется разность I и Х (см. рис. 4). Рис. 4. Дополнение множества Свойства дополнения: 1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов: ∅ = X X I 2. Любой элемент I принадлежит или множеству Х, или его дополнению. I X X = U Из формулы 2 вытекает еще одно важное свойство: X X = Законы и тождества алгебры множеств: X ∩ Y = Y ∩ X – коммутативность пересечения. (X∩ Y) ∩Z =X∩ (Y∩ Z) =X∩ Y∩Z – ассоциативность пересечения. X U Y = Y U Y – коммутативность объединения. (X U Y) U Z =X U (Y U Z =X U Y U Z – ассоциативность объединения. XU ∅ = X. X∩ ∅ = ∅. X ∩ I = Х. XUI = I. Транзитивность ) I I U = ) ( ) ( ( Z Y Z X Z Y X U I Информатика и математика 158 5. Декартовым произведением двух непустых множеств Х и У называется множество ХхУ, состоящее из всех упорядоченных пар: Х×У = {(x,y) / x ∈ X; y ∈ Y). Если одно из множеств пустое, то и ХхУ пустое. Например: X = {1, 2}, Y = {1, 2, 4}, тогда: X×Y = {(1,1); (1,2);(1,4);(2,1);(2,2);(2,4)}; Y×X = {(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(4,1);(4,2)}. Обратим внимание, что речь идет об упорядоченных парах, в отличие от множеств (1,2) ≠(2,1). Примером декартова произведения является система координат – пара чисел, обозначающая широту и долготу. Частный случай декартова произ- ведения множества самого на себя называется степенью множества. Так, привычная система координат на плоскости есть не что иное, как декарто- во произведение множества вещественных чисел само на себя или квадрат множества вещественных чисел: R×R=R 2 , и любая точка на плоскости задается (х, у) . Из приведенного примера видно, что Х×У ≠ У×Х. 3. Рассмотрим два множества А и В. Элементы этих множеств могут каким-либо образом сопоставляться один с другим, образуя пары (а, b). Если задан способ такого сопоставления, то говорят, что между множест- вами установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, что- бы в сопоставлении участвовали все элементы множеств А и В. Соответствием между множествами А и В называется любое под- множество R= АхВ – декартова произведения множеств. Например: Рассмотрим два множества: А = {Гагарин, Дунаевский, Носов, Рахманинов} В = {1900,1901,….2000} – годы XX в. Установим соответствие между множествами: человек – год рожде- ния. Г = {(Гагарин, 1934);(Дунаевский, 1900);(Носов,1908)} (Рахманинов, 1873), естественно, не вошел в множество. Множество D R , таково, что D R , = {a ∈ A : ∃ b ∈ B (a,b) ∈ R}, оно называется областью определения соответствия R. Множество B R , такое, что B R , = { b ∈ B: (a,b) ∈ R}, и называется областью значений соответствия R или образом, т.е. соответствие можно задать ООС, ОЗС и законом, определяющим соответствие. Если каждому элементу множества Х ставится в соответствие один или более элемент множества У, то говорят, что задано отображение Х на У. 2. План-конспект лекционного курса 159 Функцией называется однозначное отображение Х на У, т.е. такое ото- бражение f, что если (х 1 ,y 1 ) ∈ f и (х 2 ,y 2 ) ∈ f, то из х 1 = х 2 следует y 1 = y 2 При этом множества Х и У могут совпадать. Если область определения отображения и область значения отображе- ния совпадают, то отображение называется отношением. Типы отношений: 1) отношение эквивалентности. Некоторые элементы множества можно рассматривать как эквива- лентные, если любой из этих элементов при некотором рассмотрении можно заменить другим. Т.е. отношение эквивалентности удовлетворяет следующим условиям: каждый элемент эквивалентен сам себе, неважен порядок, в котором рас- сматриваются эквивалентные элементы, и если два элемента эквивалентны третьему, то они эквивалентны между собой; 2) отношение строгого порядка. Часто приходится сталкиваться с отношениями, определяющими не- который порядок расположения элементов множества. Примеры отношения строгого порядка: «быть больше», «быть мень- ше» – на множестве действительных чисел; «быть предком» – на множестве людей; 3) отношение нестрогого порядка. Примеры отношения строгого порядка: отношение ≤ на множестве действительных чисел; отношение ⊆ на множестве подмножеств данного множества. 4. Переменная величина y называется функцией переменной величи- ны x, если каждому значению x соответствует определенное значение y. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоско- сти, координаты которых – (x,f(x)). К простейшим элементарным функциям относятся: b kx y + = – линейная, график – прямая; x k y = – обратная пропорциональность, график – гипербола; n x y = – степенная; n x y = ; c bx ax y + + = 2 – квадратичная, график – парабола; y = x 3 , график – кубическая парабола; x y x y x y x y ctg , tg , cos , sin = = = = – тригонометрические; x y a log = – логарифмическая, график – логарифмика; x a y = – показательная. Информатика и математика 160 Однако современный уровень развития математики требует от сту- дентов умения строить графики более сложных функций, таких как: x x y − − = 1 2 3 ; 2 3 2 + − = x x y ; ( ) 2 3 2 − + = x y и т.д. Графики некоторых из перечисленных функций можно построить, проведя исследование по заданной формуле, но этот процесс довольно трудоемкий и требует знаний дифференциального исчисления. Основные методы построения графиков функций: 1) линейные преобразования графиков функций; 2) арифметические операции с графиками; 3) преобразования симметрии. Во многих случаях графики элементарных функций можно построить по графику заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (сжатия), преобразования симметрии. С помощью параллельного переноса вдоль оси Ох (см. рис. 5) или оси Оу (см. рис. 6) по заданному графику функции ( ) x f y = можно построить графики функций и ( ) m x f y − = ( ) n x f y + = . В этом случае любая точка A ( x ; y ) графика переходит в точку A ` ( x+m ; f(x)+n ). Рис. 5. Сдвиг вдоль оси ОХ. Рис. 6. Сдвиг вдоль оси OY С помощью растяжения или сжатия по оси Ох или оси Оу можно по- строить график функции ( ) x af y = (см. рис. 7) или ( kx f y ) = (см. рис. 8). Для построения графика функции ( ) n m kx af y + − = последовательно при- меняют вышеуказанные преобразования. Если функция – периодическая с периодом Т, то достаточно построить часть ее графика для ( ) x f y = T x ≤ ≤ 0 , и тогда весь график получается переносом построенной части вдоль оси абсцисс на отрезки N k kT ∈ , (см. рис. 9). 2. План-конспект лекционного курса 161 График функции ( ) x f y 1 = получается из графика функции ( ) x f y = заменой каждой ординаты y величиной, ей обратной, y 1 (см. рис. 10). График функции ( ) ( ) x g x f y + = получается из графиков функций и ( ) x f y = 1 ( ) x g y = 2 заменой каждой ординаты y 1 величиной y 1 +y 2 , анало- гично ( ) ( ) x g x f y ⋅ = Рис. 7. Растяжение по оси Oy Рис. 8. Растяжение по оси Ox Рис. 9. Периодичная функция Рис. 10. Построение функции ( ) x f y 1 = Информатика и математика 162 Построение графика функции ( ) ( ) x g x f y − = производится сложени- ем графиков функций и ( ) x f y = ( ) x g y − = , графика функции ( ) ( ) x g x f y = – умножением графиков функций ( ) x f y = и ( ) x g y 1 = Для построения графика функции ( ) x f y − = необходимо построить график функции и отразить его относительно оси ординат. Полу- ченный график является графиком функции ( ) x f y = ( ) x f y − = (см. рис. 11). Для построения графика функции ( ) x f y − = необходимо построить график функции и отразить его относительно оси абсцисс (см. рис. 12). ( ) x f y = Рис. 11. Отражение относительно Oy. Рис. 12. Отражение относительно Ox. Построение графиков четных и нечетных функций изучается в школьном курсе. Напомним, что для построения графиков этих функций следует строить ветвь графика только в области неотрицательных значе- ний аргумента 0 ≥ x . График функции ( ) x f y = в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ор- динат для графика четной функции и получается отражением ее относи- тельно оси ординат. Для нечетной функции необходимо дополнить по- строенную ветвь симметричной ей относительно начала координат. Для построения графика функции ( ) x f y = , обратной функции , следует построить график функции ( ) x g y = ( ) x g y = и отразить его отно- сительно прямой y = x (см. рис. 13). Для построения графика функции ( ) x f y = следует учесть, что функ- ция является четной, поэтому строим график функции ( ) x f y = при 0 ≥ x и отражаем полученный график относительно оси ординат. 2. План-конспект лекционного курса 163 Рис. 13. Построение обратной функции Для построения графика функции ( ) x f y = нужно сначала построить график функции , а затем ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отразить относительно оси абсцисс. Полученная в верхней полуплоскости линия и будет графиком функции ( ) x f y = ( ) x f y = Для построения графика сложной функции ( ) ( ) x f g y = надо постро- ить график функции , а затем по точкам строить график сложной функции, проводя операцию взятия функции от функции. ( ) x f y = Подробнее см.: 1. |