Информатика и математика, (для юристов), 2011. Информатика и математика проблемнотематический комплекс
 Скачать 3.34 Mb.
|
|
Э ЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Т ЕМА 11 Основные вопросы темы 1. Понятие предела функции. 2. Понятие производной. 3. Понятие интеграла. Знание юристом интегрального исчисления позволяет анализировать накопленные параметры юридических событий, оценивать потенциальный и нанесенный ущерб и другие юридические категории. Дифференциальное исчисление позволяет описывать изменяющиеся во времени взаимосвязан- ные события. 1. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а – ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х – а|< ε. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки. Число b называется пределом функции f(х) при х, стремящемся к а, ес- ли для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует та- кое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) – b|<ε. Информатика и математика 164 В компактном виде это определение можно записать так: a x → lim f(x) = b. (lim – сокращение от limit – предел). При отыскании предела не учитываем значение функции в самой точ- ке а, оно может быть любым. Предел может существовать, при этом значение функции в точке а совпадает с предельным f(a) = b или не совпадает. Предел у функции в точке а может и не существовать. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или f(x) = f(a). a x → lim Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они оп- ределены. Основные теоремы о пределах функций 1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов: (f(x) + φ(x)) = f(x) + lim φ(x). a x → lim a x → lim a x → a x → lim a x → lim a x → lim a x → lim a x → a x → lim a x → lim a x → 2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов: [f(x)×φ(x)] = f(x)× φ(x). 3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции: С×f(x) = С× lim f(x). Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела. 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремится к нулю.) f(x) / φ(x) = f(x) / lim φ(x), (х)≠0. a x → lim Если знаменательстремится к нулю, а числитель нет, то говорят, что отношение стремится к бесконечности. Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству веще- ственных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую. Раз мы добавили новый элемент к множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞. Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда: а + ∞ = ∞; – ∞ + а = -∞; ∞×( – а) = – ∞, а › 0; ∞ – а = ∞; – ∞ – а = – ∞; ∞×∞ = ∞; А × ∞ = ∞; а ≠ 0 ∞ + ∞ = ∞; а/∞ = 0, ∞/а = ∞; – ∞ – ∞ = – ∞. 2. План-конспект лекционного курса 165 Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи носят название «неопределенности». Выделяют неопределенности двух типов: • арифметические неопределенности – (0/0); (∞/∞); (∞ – ∞); (0×∞); • степенно-показательные неопределенности – (1 ∞ ); (∞ 0 ); 0 0 Эти записи не являются операциями над числами и ∞, они представ- ляют собой только деловые обозначения. В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечно- му числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно. Пример 1.Найти lim [(х 2 – 4) / (x 2 +x – 2)]. 2 − → x Решение: 1. Подставим точку х=–2 в функцию, получим [(х 2 – 4) / (x 2 + x – 2)] = (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0). 2 lim − → x 2. Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда [(х 2 – 4) / (x 2 +x – 2)] [(х – 2) × (x+2)] / [(x – 1) × (x + 2)] = ( – 2 – 2)/( – 2 – 1)= = – 4/ – 3= 4/3. 2 lim − → x 2 lim − → x Пример 2. [(х 2 – 4) / (x 2 +x – 2)]. ∞ → x lim Решение: [(х 2 – 4) / (x 2 +x – 2)] = (∞/∞). Чтобы раскрыть эту неопределен- ность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей сте- пени, т.е. х 2 , получим: ∞ → x lim → x lim 0 → x ∞ → x lim [(х 2 – 4) / (x 2 +x – 2)] = [(х 2 × (1 – 4/х 2 ) / (x 2 (1+1/x – 2/x 2 )] = = 1/1=1, так как 4/х 2 = 4 / ∞ = 0. ∞ → x lim ∞ → x lim 1/х = 1/∞=0 и 2/х 2 = 2/∞=0. ∞ → x lim ∞ Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы. Первый замечательный предел sinx/х = 1, он раскрывает неоп- ределенность (0/0). 0 lim → x Второй замечательный предел lim (1+1/х) х = ℮, где ℮=2, 7 … иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основа- ние логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log ℮ x = lnx и назы- вается натуральным логарифмом. Пример. 3. Найти (sin3x)/х = (0/0). 0 lim → x 0 lim → x Решение: (3sin3x) / (3х) = 3 (sin3x) / (3х) = 3×1 = 3. 0 lim → x Информатика и математика 166 2.Пусть функция у= f(х) определена в точке х 0 и некоторой ее окрест- ности, придадим точке х 0 приращение Δх и получим точку х 0 +Δх, значение функции в этой точке – f(х 0 +Δх). Разность значений f (х 0 +Δх) – f(х 0 ) назы- вается приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х 0 +Δх) – f(х 0 ). Производная функция у = f(х) в точке х 0 определяется как предел от- ношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стрем- лении Δх к нулю. f `(x 0 ) = (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремится к нулю (приращение функ- ции Δf→0). 0 lim х x → Производная имеет смысл скорости изменения какого-либо показате- ля. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f´(x)dx, где f´(x) – производная функция f(x), а dx – число, равное приращению не- зависимой переменной (аргумента) ∆х. Для вычисления производной выведены правила нахождения произ- водной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имею- щая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она назы- вается дифференцируемой в интервале. Правила дифференцирования функций Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х. 1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x). 2. (U(x)×V(x))` = U`(x)×V`(x) + V`(x)×U`(x). 3. (C×U(x))` = CU`(x), C – const. 4. (U(x) / V(x))` = [U`(x)×V(x) – V`(x)×U(x)]/ V 2 (x). Таблица производных: 1. C` = 0, C – const. 2. x` = 1. 3. (x α )` = α x α – 1 , α Є R. 4. (a x )` = a x lnа, a>0 , a≠1. 5. (ln x)` = 1/x. 6. (sin x)` = cos x. 7. (cos x)` = – sin x. 8. (tg x)` = 1/(cos x) 2 9. (ctg x)` = – 1/(sin x) 2 . 10. (arcsin x)` = 1/ x − 1 2 . 11. (arccos x)` = – 1/ x − 1 2 . 12. (arctg x)` = 1/(1 + x 2 ). 13. (arcctg x)` = – 1/(1 + x 2 ). 2. План-конспект лекционного курса 167 Правила для нахождения дифференциала можно написать самим, ум- ножив соответствующее правило взятия производной на dx. Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx. Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x 2 , если х = 1, ∆х = 0,1. Решение: f(х) = х 2 , f(х+∆х) = (х+∆х) 2 . Найдем приращение функции: ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x) 2 – x 2 = x 2 +2x×∆x+∆x 2 – x 2 = 2x×∆x + ∆x 2 . Подставив значения х=1 и ∆х= 0,1, получим: ∆f = 2×1×0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21. Пример 2. Найти производную функции f(x) = x 2 , в произвольной точ- ке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных. Решение: (х 2 )` = ∆f / ∆х. lim 0 → Δx Из первого примера ∆f = 2x×∆x+∆x 2 , подставив, получим: (x 2 )`= ∆f / ∆х= (2x × ∆x+∆x 2 )/∆x= [∆x (2х + ∆х)]/ ∆x=2x. 0 lim → Δx 0 lim → Δx 0 lim → Δx Пример 3. Найти производную от функции у=3х 4 – 2х 2 + 1. Решение: у` = 3×4х 3 – 2×2х + 0 = 12х 3 – 4х. Пример 4. Найти производную от функции у = x 2 ×℮ х Решение: у` = (x 2 )`×℮ х + x 2 ×(℮ х )` = 2x ℮ х + x 2 ×℮ х ln℮. ln ℮ = log ℮ ℮ = 1. y` = 2x℮ x + x 2 ×℮ x . Пример 5. У = х/(х 2 +1). Найти у`. Решение: у` = [1×(х 2 +1) – х×2х] / (х 2 +1) 2 = [х 2 +1 – 2х 2 ] / (x 2 +1) 2 = (1 – x 2 ) / (x 2 +1) 2 . Производные от сложных функций Формула для нахождения производной от сложной функции такова: [f (φ(х))]` = f φ `(φ(x)) ×φ`(x). Например: у = (1-х 2 ) 3 ; у`= 3(1 –х 2 ) 2 × ( – 2х) или у = sin 2 х; у` = 2sinx × cosx. Пример 6. Найти dy, если у = sin 3х. Решение: dy = у`×dx = (sin3x)` dx = (cos3x) ×3dx = 3 cos3x dx. Пример 7. Найти dy, если у = 2 х^2 . Решение: dy = y`×dx = (2 x^2 )` ×dx = 2 x^2 ln2×2xdx. 3.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интер- вале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие F ` (x)=f(x). Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х 2 для любых х Є ( – ∞, ∞). Действительно, F`(x) = 2x = f(x). F 1 (x) = x 2 + 2 также является первообразной для f(x) = 2x, F 2 (x) = x 2 – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x. Информатика и математика 168 Теорема. Если F 1 (x) и F 2 (x) первообразные для функции f(x) на неко- тором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство: F 2 (x) = F 1 (x) + C. Или можно сказать так: две первообразные для одной и той же функ- ции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где – знак интеграла; f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение. Таким образом: ∫ ∫ ∫ f(x)dx = F(x) + C, где F(x) – некоторая первообразная для f(x); С – произвольная посто- янная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции на- зывается интегрированием этой функции. Основные свойства неопределенного интеграла: 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтеграль- ной функции: ∫ f(x)dx)` = f(x). 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграль- ному выражению: d( ∫ f(x)dx) = f(x)dx. 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: ∫ d(F(x)) = F(x) + C. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫ ∫ = dx x f k dx x kf ) ( ) ( , где k – число. 5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций: ∫ (f(x) +φ(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ φ(x)dx. Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводится ниже: 1. ∫ х α dx = [x α+1 / (α +1)] +C, α ≠ – 1, α Є R. 2. ∫ dx/x = ln│x│+C. 3. ∫ a x = (a x /ln a)+C, ∫ e x dx = e x +C. 4. ∫ sinx dx = – cosx + C. 5. ∫ cosx dx = sinx + C. 6. ∫ dx/(cosx) 2 = tgx + C. 2. План-конспект лекционного курса 169 7. ∫ dx/(sinx) 2 = – ctgx + C. 8. ∫ dx / 2 2 х а − = (arcsin x/a) + C. 9. ∫ dx / 2 2 х а − = ( – arccos x/a) + C. 10. ∫ dx / (a 2 +x 2 )= 1/a arctg x/a + C. 11. ∫ dx / (a 2 +x 2 )= – 1/a arcctg x/a + C. 12. ∫ dx /( a 2 – x 2 )= 1/2a ln │(x+a)/(x – a)│ + C. 13. ∫ dx / 2 2 х а + = ln │x+ 2 2 х а + │ + C. Пример 1. Вычислить (2х 2 -3 ∫ x -1)dx. Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегра- лов и первой табличной формулой: ∫ (2х 2 – 3 x – 1)dx = 2 ∫ х 2 dx – 3 ∫ х 1/2 dx – ∫ dx=2(x 2 /2) – 3[(х 3/2 ×2)/3] – x + C = x 2 – 2 x 3 – x +C. Пример 2. (2/ ∫ x – 1/х + 4sinx)dx = ∫ 2х –1/2 dx – ln │х│ – 4cosx + C = = 2[(x 1/2 ×2)/1] – ln │x│ – 4 cosx +C = 4 x – -ln│x│ – 4cosx + C. Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки (метод замены переменной), метод интегрирования по частям. |