Информатика и математика, (для юристов), 2011. Информатика и математика проблемнотематический комплекс
 Скачать 3.34 Mb.
|
|
Некоторые виды распределения дискретных случайных величин. Распределения Бернулли, Пуассона и геометрическое распределение 1. Биномиальное распределение (распределение Бернулли). Рассмотрим схему, состоящую из независимых повторных испыта- ний Бернулли. Некоторое событие n A появляется в каждом отдельном опы- те с вероятностью и не появляется с вероятностью p p q − = 1 . Случайная величина X – число появлений события A в серии опытов. Тогда X рас- пределена по биномиальному закону и подчиняется формуле Бернулли: k n k k n q p C k X P − = = ) ( Для биномиального закона npq X npq X D np X M = = = ) ( , ) ( , ) ( σ Пример.Игральная кость брошена два раза. Составить закон распре- деления числа выпадений цифры 5. Показать, что Найти ) ( np X M = ) 5 , 0 ( > X P Решение. Рассмотрим серию из двух одинаковых независимых опытов: выбрасывание игральной кости. При каждом броске событие A – появление цифры 5 – встречается с вероятностью 6 1 . Обозначим случайную величину X – число выпадений цифры 5 в серии опытов. Тогда случайная величина X распределена по биномиальному закону, ее возможные значения – 0,1,2. , 36 25 6 5 ) 0 ( 2 2 0 0 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = q p C p X P , 36 10 6 5 6 1 ! 1 ! 1 ! 2 ) 1 ( 1 1 1 2 2 = × × × = = = = q p C p X P 36 1 6 1 ) 2 ( 2 0 2 2 2 3 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = q p C p X P Получим закон распределения случайной величины X : X 0 1 2 P 36 25 36 10 36 1 Найдем числовые характеристики случайной величины X : 3 1 36 12 36 1 2 36 10 1 36 25 0 ) ( 3 1 = = × + × + × = = ∑ = i i i p x X M С другой стороны, , 3 1 6 1 2 = × = np что и подтверждает формулу ) ( np X M = Определим вероятность 36 11 36 1 36 10 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 5 , 0 ( = + = = + = = = = = > X P X P X или X P X P Информатика и математика 186 2. Распределение Пуассона. Если в схеме повторных испытаний Бернулли велико ( ), а малó̀ ( ) (обычно ), то имеет место асимптотическая формула Пуассона n ∞ → n p 0 → p 10 ≤ np ! ) ( m a e m P m a n − ≈ , где np a = – параметр распределения Пуассона. Иногда в задачах сообщается заранее, что дискретная случайная вели- чина X распределена по закону Пуассона. Это означает, что дискретная случайная величина принимает только целые значения 0, 1, 2,… и подчи- няется закону Пуассона: a k e k a k X P − = = ! ) ( (3) Для дискретной случайной величины подчиняющейся закону Пуассо- на, a X a X D a X M = = = ) ( , ) ( , ) ( σ Пример. Завод изготавливает 5000 доброкачественных изделий и от- правляет их потребителю. Вероятность порчи изделий в пути 0,002. Найти дисперсию числа испорченных изделий у потребителя. Какова вероятность того, что испорченных изделий будет меньше трех? Решение. Обозначим X – число испорченных изделий, полученных от завода-изготовителя в партии из 5000 изделий ( 5000 = n ). Тогда случайная величина X дискретна и (теоретически) может принять любое целое зна- чение от 0, 1, 2,… до 5000. Проверка на качество каждого изделия приводит нас к схеме Бернул- ли. Для каждого отдельного изделия вероятность быть испорченным в пу- ти и остаться качественным 002 , 0 = p 998 , 0 1 = − = p q . В силу того, что ве- лико, а мало̀, получаем, что случайная величина n p X подчиняется закону Пуассона (3) с параметром 10 002 , 0 5000 = × = = np a , тогда ее закон распреде- ления имеет вид 10 ! 10 ) ( − = = e k k X P k , а ряд распределения имеет вид: X 0 1 2 … k … 5000 P 10 − e 10 10 − e 10 50 − e … 10 ! 10 − e k k … 10 5000 ! 5000 10 − e Дисперсия числа испорченных изделий 10 ) ( = = a X D , и количество ис- порченных изделий вероятнее всего принадлежит интервалу ( ) 20 ; 0 Вероятность того, что испорченных изделий будет больше двух, нахо- дим с помощью противоположного события по формуле: = = + = + = = = = = = < ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 1 0 ( ) 3 ( X P X P X P X или X или X P X P 00244 , 0 00004 , 0 61 61 50 10 10 10 10 10 = × = = + + = − − − − e e e e 3. Геометрическое распределение. Рассмотрим неограниченные испытания Бернулли. Обозначим X – порядковый номер испытания, в котором событие А впервые наступило. Вероятность наступления и ненаступления события А в каждом отдельном 2. План-конспект лекционного курса 187 опыте равна соответственно и . Тогда закон распределения дискретной случайной величины называется геометрическим распределением и имеет вид: p q ,...) 3 , 2 , 1 ( ) ( 1 = = = − k p q k X P k Числовые характеристики геометрического распределения: p q X p q X D p X M = = = ) ( , ) ( , 1 ) ( 2 σ Пример. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероят- ность попадания при одном выстреле равна 0,7. Построить ряд распреде- ления для числа выстрелов. Найти основные числовые характеристики. Определить вероятность того, что прозвучит не менее трех выстрелов. Решение. Рассмотрим серию выстрелов (их число теоретически неог- раниченно), при каждом отдельном выстреле событие А – поражение ми- шени происходит с вероятностью 7 , 0 = p и не происходит с вероятностью . Обозначим 3 , 0 1 = − = p q X –число прозвучавших выстрелов. Очевидно, что X принимает значения 1, 2 и т.д., случайная величина X распределена по геометрическому закону: Тогда ,...) 3 , 2 , 1 ( 7 , 0 ) 3 , 0 ( ) ( 1 1 = × = = = − − k p q k X P k k , 21 , 0 7 , 0 ) 3 , 0 ( ) 2 ( , 7 , 0 7 , 0 ) 3 , 0 ( ) 1 ( 1 0 = × = = = × = = X P X P ,... 7 , 0 ) 3 , 0 ( ) ( ,... 063 , 0 7 , 0 ) 3 , 0 ( ) 3 ( 1 2 × = = = × = = − k k X P X P , а ряд распределения имеет вид: X 1 2 3 … k … P 7 , 0 21 , 0 063 , 0 … 7 , 0 ) 3 , 0 ( 1 ⋅ − k … Основные числовые характеристики будут равны 7 30 49 30 ) ( , 49 30 ) 7 , 0 ( 3 , 0 ) ( , 7 3 7 , 0 3 , 0 ) ( 2 = = = = = = X X D X M σ Вероятность того, что прозвучит не менее трех выстрелов: 09 , 0 ) 21 , 0 7 , 0 ( 1 )) 2 ( ) 1 ( ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 ( = + − = = + = − = < − = ≥ X P X P X P X P Нормальное распределение непрерывной случайной величины (распределение Гаусса) Распределение непрерывной случайной величины X называется нор- мальным, если плотность вероятности имеет вид: 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( σ π σ а х е x f − − × = , где σ , а – параметры нормального распределения, ) ( ) ( ), ( X D Х Х М а = = = σ σ График плотности нормального распределения называют нормальной кривой(или кривой Гаусса). Свойства кривой : ) ( x f • функция определена и положительна на всей числовой прямой; Информатика и математика 188 • ось ОХ является асимптотой графика и 0 ) ( lim = ±∞ → x f x ; • функция возрастает при a x < , убывает при a x > , точка a x = яв- ляется точкой максимума функции; • график функции симметричен относительно прямой a x = ; • точки σ ± = a x являются точками перегиба функции. Функция распределения для нормального закона имеет вид: ∫ ∞ − − − = x a t dt e x F 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( σ π σ Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал ( ) β α ; , находится по формуле: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = < < σ α σ β β α a a X P ) ( , где значения функции Лапласа ∫ − = Φ х t dt e x 0 2 2 2 1 ) ( π Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной нормально распределенной величины X от своего математического ожи- дания меньше положительного числа a X M = ) ( δ , равна: ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ = < − σ δ δ 2 a X P , и, в частности, при справедливо равенство: 0 = a ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ = < σ δ δ 2 X P Числовые характеристики нормального распределения: математиче- ское ожидание , дисперсия , среднее квадратическое отклонение a X M = ) ( 2 ) ( σ = X D σ σ = ) (X , мода a Mo = , медиана a Me = Для нормального распределения выполняется «Правило трех сигм»: Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная ве- личина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е.: ( 1 3 ≈ < − σ a X P ) или ( ) 0 3 ≈ ≥ − σ a X P Пример.Аппарат штампует корпус для настенных часов. Контролиру- ется случайная величина X – диаметр корпуса, которая распределена нор- мально с математическим ожиданием (проектный диаметр), равным 50 см, и средним квадратическим отклонением 2 см. Записать функцию плотно- сти вероятности распределения, построить ее график и определить вероят- ность того, что случайная величина X примет значение из интервала ( ) 54 ; 47 Решение. Итак, для нормально распределенной случайной величины X – диаметр корпуса часов, 50 ) ( = = a X M , 2 ) ( = = σ σ X , тогда плотность 2. План-конспект лекционного курса 189 нормального распределения с параметрами 2 , 50 = = σ a примет вид: 8 ) 50 ( 2 2 2 1 ) ( − − = x e x f π Вероятность попадания случайной величины X в интервал : ( ) 54 ; 47 ) 5 , 1 ( ) 2 ( 2 50 47 2 50 54 ) 54 47 ( − Φ − Φ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = < < X P По таблице значений функции Лапласа находим , учитывая, что функция Лапласа является не- четной, т.е. , получаем 4332 , 0 ) 5 , 1 ( , 4772 , 0 ) 2 ( = Φ = Φ 4332 , 0 ) 5 , 1 ( ) 5 , 1 ( − = Φ − = − Φ 9104 , 0 ) 4332 , 0 ( 4772 , 0 ) 54 47 ( = − − = < < X P Подробнее см.: 1. Т ЕМА 14 Э ЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные вопросы темы 1. Генеральная совокупность. 2. Выборочное исследование. 3. Статистические гипотезы. 1. В юридической практике важную роль играет математическая ста- тистика, умение правильно обрабатывать информацию, сделать достовер- ный вывод или прогноз на основании имеющегося статистического мате- риала. Ценность специалиста юриспруденции существенно возрастет, если он умеет делать это. Генеральная совокупность– все множество имеющихся объектов. Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной со- вокупности. Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объек- тов в рассматриваемой совокупности. Виды выборки: повторная – каждый отобранный объект перед выбо- ром следующего возвращается в генеральную совокупность; бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Замечание. Для того чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведении интересующего нас признака генеральной со- вокупности, нужно, чтобы выборка правильно представляла пропорции ге- неральной совокупности, т.е. была репрезентативной(представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие вы- полняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объ- екта вероятность попасть в выборку одинакова. Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х 1 п 1 раз, х 2 – п 2 раз, …, х k – п k раз, причем где п – объем ∑ = = k i k n n 1 , Информатика и математика 190 выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х 1 , х 2 ,…, х k называют вариантами, а п 1 , п 2 ,…, п k – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты n n w i i = Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационнымрядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом: x i x 1 x 2 … x k n i n 1 n 2 … n k w i w 1 w 2 … w k Пример. При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1. Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5. Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид: x i 0 1 2 3 4 5 n i 3 6 5 3 2 1 w i 0,15 0,3 0,25 0,15 0,1 0,05 Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку. Для ее получения интер- вал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, а затем находят для каждого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Составленная по этим результатам таблица называется группи- рованным статистическим рядом: Номера интервалов 1 2 … k Границы интервалов (a, a + h) (a + h, a + 2h) … (b – h, b) Сумма частот вариант, попавших в интервал n 1 n 2 … n k |