Информатика и математика, (для юристов), 2011. Информатика и математика проблемнотематический комплекс

• Название: Информатика и математика проблемнотематический комплекс
• Анкор: Информатика и математика, (для юристов), 2011.pdf
• Дата: 05.11.2017
• Размер: 3.34 Mb.
• Имя файла: Информатика и математика, (для юристов), 2011.pdf
• Тип: Учебное пособие; #10132
• страница: 17 из 23

. Опыт – бросание игральной кости. События:
A = «выпадение 6 очков»;
B= «выпадение 3 очков»;
C= «выпадение четного числа очков»;
D= «выпадение числа очков не меньше 1»;
E= «выпадение 8 очков».
A, B, C – случайные события; D – достоверное; E – невозможное события.
Поскольку в теории вероятностей рассматриваются только случайные события, то слово «случайное» опускают и говорят просто «событие».
События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например, появление того или иного числа очков при брошенной игральной кости яв- ляется равновозможным.
Каждое событие, которое может наступить в испытании, называется элементарным исходом (в предыдущем примере A, B – элементарные собы- тия; C, D – составные события, состоящие из нескольких элементарных).
2. Вероятностьюсобытия A (обозначается P(A)) называется количе- ственная характеристика возможности наступления этого события. В каче- стве единицы измерения вероятности естественно принять вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события – нулевой
(например, в предыдущем примере P(E)=0, P(D)=1). Для произвольного случайного события и вычисляется обычно по формуле непо- средственного подсчета вероятности:
[
1
;
0
)
(
∈
A
P
]

Информатика и математика
176
n
m
A
P
=
)
(
, где n – общее число равновозможных элементарных исходов опыта;
m – число элементарных равновозможных исходов опыта, благоприятных наступлению события A.
Пример. Монету бросают два раза. Определить вероятность событий:
A = «ровно два раза выпал орел», B = «хотя бы раз выпал орел», C = «ни разу не выпал орел».
Решение: Рассмотрим множество всех возможных исходов опыта
. Значит, общее число возможных исходов n=4. Опреде- лим события, благоприятные наступлению A, B, C:
}
,
,
,
{
PP
PO
OP
OO
=
Ω
}
{
},
,
,
{
},
{
PP
C
PO
OP
OO
B
OO
A
=
=
=
.
Тогда по формуле непосредственного подсчета вероятности:
4 1
)
(
,
4 3
)
(
,
4 1
)
(
=
=
=
C
P
B
P
A
P
События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.
Теорема 1(сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несо- вместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P
+
=
+
, если A и B – несовместные события.
Теорема 2 (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух произ- вольных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е.:
)
(
)
(
)
(
)
(
AB
P
B
P
A
P
B
A
P
−
+
=
+
Говорят, что события образуют полную группу, если они не- совместны, а их сумма – достоверное событие, т.е.
n
А
А
А
,...,
,
2 1
1
)
(
2 1
=
+
+
+
n
A
A
A
P
Противоположныминазываются два события, образующие полную груп- пу. Вероятность противоположного события (обозначается
А
) находится по формуле:
)
(
1
)
(
A
P
A
P
−
=
Условная вероятность. Полная вероятность. Формула Байеса
Событие A называется независимым от события B,если вероятность события A не зависит от того, произошло или не произошло событие B.
Вероятность события A, вычисленная при условии, что произошло событие
B, причем
, называется условной вероятностьюсобытия A, обозна- чается
, находится в изменившихся условиях опыта и равна
0
)
(
≠
B
P
)
/
(
B
A
P
)
(
)
(
)
/
(
B
P
AB
P
B
A
P
=
Теорема 3(произведения вероятностей). Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
AB
P
×
=
, если A и B – независимые события.

2. План-конспект лекционного курса
177
Теорема 4(произведения вероятностей). Вероятность произведения произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло, т.е.:
)
/
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
AB
P
×
=
или
)
/
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
AB
P
×
=
Используя теоремы 3, 4, можно рассмотреть другие определения
независимости событий, которые являются эквивалентными: событие
А называется независимым от события B, если:
1)
;
)
/
(
)
(
B
A
P
A
P
=
2)
;
)
/
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
AB
P
×
=
3)
)
/
(
)
/
(
B
A
P
B
A
P
=
Событие A называется зависимымот события B, если
)
/
(
)
(
B
A
P
A
P
≠
Пример. В урне находятся пять белых и семь черных шаров. Произ- вольным образом извлекаются два шара. Определить вероятность того, что
1) оба шара – белые, 2) хотя бы один шар – белый.
Решение.Обозначим событие A= «оба шара – белые»,разобьем его на элементарные события:
B= «первый вынимаемый шар – белый», C= «второй вынимаемый шар – белый».Событие A наступит только в том случае, если произойдут одно за другим события B и C, значит, оно является их произведением: и
. События C и B являются зависимыми, поэтому применима теорема 4:
С
В
А
×
=
)
(
)
(
C
B
P
A
P
×
=
)
/
(
)
(
)
(
B
C
P
B
P
C
B
P
×
=
×
До извлечения первого шара в урне находится всего 12 шаров, среди которых пять белых, поэтому
12 5
)
(
=
B
P
, после наступления события B ус- ловия изменятся, в урне будет находиться 11 шаров, среди которых четыре белых, поэтому
11 4
)
/
(
=
B
C
P
. Следовательно, вероятность того, что в ре- зультате опыта будут извлечены из урны два белых шара, равна
33 5
11 4
12 5
)
/
(
)
(
)
(
=
×
=
×
=
B
C
P
B
P
A
P
Обозначим событие D= «хотя бы один шар – белый»и разобьем его на более мелкие, несовместные события: A= «оба вынимаемых шара – бе- лые», F= «первый вынимаемый шар – белый, а второй – черный», G=
«первый вынимаемый шар – черный, а второй – белый». Тогда:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
G
P
F
P
A
P
G
F
A
P
D
P
G
F
A
D
+
+
=
+
+
=
+
+
=
по теореме 1. Ис- пользуем обозначения для событий B и C, тогда
В
= «первый вынимаемый шар – черный»,
С
= «второй вынимаемый шар – черный». Очевидно, что события F и G представимы в виде
C
B
G
C
B
F
×
=
×
=
,
. При этом
132 35 11 7
12 5
)
/
(
)
(
)
(
)
(
=
×
=
×
=
×
=
B
C
P
B
P
C
B
P
F
P
,

Информатика и математика
178 132 35 11 5
12 7
)
/
(
)
(
)
(
)
(
=
×
=
×
=
×
=
B
C
P
B
P
C
B
P
G
P
. Следовательно, вероятность то- го, что в результате опыта будет извлечен хотя бы один белый шар, равна
22 15 132 35 132 35 33 5
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
+
=
+
+
=
G
P
F
P
A
P
D
P
Теорема 5 (формула полной вероятности). Если событие
A
может произойти вместе с одним из событий
– образующих полную группу событий, называемых гипотезами, то вероятность события
n
H
H
H
,...,
,
2 1
A
вы- числяется по формуле полной вероятности
.
∑
=
×
=
n
i
i
i
H
A
P
H
P
A
P
1
)
/
(
)
(
)
(
Пример.Продукция трех фабрик ювелирных изделий поступает на продажу в магазин. Вероятность брака на первой фабрике равна 0,2, на второй и третьей фабриках – 0,1. Какова вероятность покупки одного не- бракованного изделия в магазине, если 30%всей продукции в магазине изготовлено на первой фабрике,50% – на второй,20% – на третьей?
Решение. Обозначим событие А = «купленное изделие не имеет бра- ка». Рассмотрим гипотезы:
= «купленное изделие изготовлено на пер- вой фабрике»,
= «купленное изделие изготовлено на второй фабрике»,
= «купленное изделие изготовлено на третьей фабрике».
1
H
2
H
3
H
Гипотезы являются несовместными событиями, а их сумма – достоверное событие, следовательно, они образуют полную группу собы- тий, их вероятности равны
3 2
1
,
,
H
H
H
2
,
0
)
(
;
5
,
0
)
(
;
3
,
0
%
100
%
30
)
(
3 2
1
=
=
=
=
H
P
H
P
H
P
Проверка:
1
)
(
)
(
)
(
3 2
1
=
+
+
H
P
H
P
H
P
.
После наступления каждого из событий определяем вероят- ность наступления события
3 2
1
,
,
H
H
H
А
, т.е.
. Событие «изделие не имеет брака, если оно изготовлено на первой фабрике» является противополож- ным событию «изделие первой фабрики с браком», вероятность которого известна по условию задачи и равна 0,2, значит,
)
/
(
i
H
A
P
8
,
0 2
,
0 1
)
/
(
1
=
−
=
H
A
P
. Ана- логично
9
,
0
)
/
(
;
9
,
0 1
,
0 1
)
/
(
3 2
=
=
−
=
H
A
P
H
A
P
. Тогда по теореме 5 вероятность покупки в магазине одного небракованного изделия равна
87
,
0 9
,
0 2
,
0 9
,
0 5
,
0 8
,
0 3
,
0
)
(
=
×
+
×
+
×
=
A
P
.
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности яв- ляется так называемая теорема гипотез или формула Байеса.
Теорема 6(формула Байеса). Пусть имеется полная группа несовмест- ных событий
. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно
. Произведен опыт, в результате которого наблюдалось появление некоторого события
n
H
H
H
,...,
,
2 1
)
(
),...,
(
),
(
2 1
n
H
P
H
P
H
P
А
. Тогда условная вероятность гипотезы при условии, что
i
H
А
наступило, находится по формуле:

2. План-конспект лекционного курса
179
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
A
P
H
A
P
H
P
A
H
P
i
i
i
×
=
, где
– полная вероятность события
)
(A
P
A
Пример. Из 18 стрелков пятеро попадают в мишень в 80% случаев, семеро – промахиваются в 30% случаев, четверо попадают с вероятностью
0,6, двое – промахиваются с вероятностью 0,5. Произвольно взятый стре- лок промахнулся. К какой из четырех групп он принадлежит вероятнее всего?
Решение.Рассматриваемый опыт – выстрел произвольно взятого стрелка. Гипотезы:
1
H
– стрелок взят из первой группы;
– стрелок взят из второй группы;
– стрелок взят из третьей группы;
– стрелок взят из четвер- той группы. Тогда вероятность принадлежности произвольного стрелка какой-либо группе равна:
2
H
3
H
4
H
111
,
0 18 2
)
(
;
222
,
0 18 4
)
(
;
389
,
0 18 7
)
(
;
278
,
0 18 5
)
(
4 3
2 1
=
=
=
=
=
=
=
=
H
P
H
P
H
P
H
P
Проверка правильности выдвижения гипотез:
1
)
(
)
(
)
(
)
(
4 3
2 1
=
+
+
+
H
P
H
P
H
P
H
P
Обозначим событие
A
– промах стрелка. Тогда, по условию, вероят- ность попадания произвольного спортсмена, принадлежащего конкретной группе стрелков, равна:
;
3
,
0
%
100
%
30
)
/
(
;
2
,
0
%
100
%
80
%
100
)
/
(
2 1
=
=
=
−
=
H
A
P
H
A
P
5
,
0
)
/
(
;
4
,
0 6
,
0 1
)
/
(
4 3
=
=
−
=
H
A
P
H
A
P
По формуле полной вероятности:
3166
,
0 5
,
0 111
,
0 4
,
0 222
,
0 3
,
0 389
,
0 2
,
0 278
,
0
)
(
=
×
+
×
+
×
+
×
=
A
P
А вероятность того, что произвольно взятый стрелок промахнулся, для каждой группы спортсменов равна по формуле Байеса:
;
369
,
0 3166
,
0 3
,
0 389
,
0
)
/
(
;
176
,
0 3166
,
0 2
,
0 278
,
0
)
/
(
2 1
=
×
=
=
×
=
A
H
P
A
H
P
175
,
0 3166
,
0 5
,
0 111
,
0
)
/
(
;
280
,
0 3166
,
0 4
,
0 222
,
0
)
/
(
4 3
=
×
=
=
×
=
A
H
P
A
H
P
Судя по (наибольшей) величине полученной вероятности, промах- нувшийся стрелок принадлежит второй группе спортсменов.
3. Величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, называется случайной величиной. Случайные величины обычно обозначают
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
,...
,
,
,
U
Z
Y
X
Дискретной случайной величинойназывается величина, множество значений которой конечно или счетно. Законом распределениядискретной случайной величины
X
называется соответствие между возможными зна-

Информатика и математика
180
чениями случайной величины и вероятностями
i
х
)
(
i
i
x
X
P
p
=
=
, с которы- ми она принимает эти значения. Закон распределения дискретной случай- ной величины может быть представлен в виде ряда распределения:
X
1
x
2
x
…
n
x
p
1
p
2
p
…
n
p
При этом выполняется равенство:
∑
=
=
n
i
i
p
1 1
Функцией распределенияслучайной величины
X
называется:
)
(
)
(
x
X
P
x
F
<
=
Если дискретные значения случайной величины расположены в по- рядке возрастания
, то F(x) можно задать в виде:
n
х
х
х
,...,
,
2 1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤
<
+
+
+
≤
<
+
≤
<
≤
=
−
−
,
1
,
,
,
,
,
,
,
,
0
)
(
1 1
2 1
3 2
2 1
2 1
1 1
n
n
n
n
x
x
если
x
x
x
если
p
p
p
x
x
x
если
p
p
x
x
x
если
p
x
x
если
x
F
(2)
Свойства функции распределения дискретной случайной величины:
•
функция F(x) определена на всей числовой оси, кусочно-постоянна
(ступенчатая) и имеет конечное число точек разрыва первого рода;
•
функция F(x) является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. при
)
(
;
)
(
2 1
2 1
x
F
x
F
x
x
≤
<
•
1
)
(
lim
,
0
)
(
lim
=
=
∞
→
−∞
→
x
F
x
F
x
x
Математическим ожиданиемслучайной величины
X
называют ее среднее значение и обозначают
. Для дискретной случайной величи- ны математическое ожидание находится по формуле:
)
(X
M
∑
=
=
n
i
i
i
p
x
X
M
1
)
(
)
(X
M
характеризует центр распределения случайной величины. К ха- рактеристикам рассеяния отдельных значений случайной величины отно- сительно центра относятся дисперсия и среднее квадратическое отклоне- ние.

2. План-конспект лекционного курса
181
Модойслучайной величины
X
называется наиболее вероятное ее зна- чение.
Дисперсиейслучайной величины
X
называется математическое ожи- дание квадрата отклонения случайной величины
X
от своего математиче- ского ожидания, т.е.:
(
)
2
)
(
)
(
X
M
X
M
X
D
−
=
Для дискретной случайной величины наиболее удобная формула вы- числения следующая:
(
)
2 1
2
)
(
)
(
X
M
p
x
X
D
n
i
i
i
−
=
∑
=
Средним квадратическим отклонениемслучайной величины
X
назы- вается величина:
)
(
)
(
X
D
X
=
σ
Пример.Дискретная случайная величина
X
задана в виде таблицы значений:
Х
–3 –1 7 12
p
0,2 0,3 0,4
Найти значение вероятности и записать закон распределения слу- чайной величины. Составить функцию распределения случайной величины
4
p
X
, построить ее график, найти основные числовые характеристики. Вы- числить вероятность того, что случайная величина
X
примет значение меньше, чем 3.
Решение. В таблице значений случайной величины отсутствует веро- ятность принятия случайной величиной
X
значения 12. Найдем неизвест- ную вероятность
, используя свойство вероятности (1):
)
12
(
4
=
=
X
P
p
⇒
=
+
+
+
⇒
=
∑
=
1 1
4 3
2 1
4 1
p
p
p
p
p
i
i
1
,
0 9
,
0 1
)
4
,
0 3
,
0 2
,
0
(
1
)
(
1 3
2 1
4
=
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
⇒
p
p
p
p
Теперь можно составить закон распределения случайной величины
X
в виде ряда распределения:
X
–3 –1 7 12
P
0,2 0,3 0,4 0,1
По формуле (2) составим функцию распределения
X
:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤
<
≤
<
−
−
≤
<
−
−
≤
=
12
,
1
;
12 7
,
9
,
0
;
7 1
,
5
,
0
;
1 3
,
2
,
0
;
3
,
0
)
(
x
если
x
если
x
если
x
если
х
если
x
F

Информатика и математика
182
К основным числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода. Найдем эти числовые характеристики:
=
+
+
+
=
×
=
∑
=
4 4
3 3
2 2
1 1
4 1
)
(
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
i
i
i
1
,
3 2
,
1 8
,
2 3
,
0 6
,
0 1
,
0 12 4
,
0 7
3
,
0
)
1
(
2
,
0
)
3
(
=
+
+
−
−
=
×
+
×
+
×
−
+
×
−
=
7
)
(
=
X
Mo
, так как именно для этого значения случайной величины наибольшая вероятность.
(
)
=
−
×
+
×
+
×
−
+
×
−
=
−
=
∑
=
2 2
2 2
2 2
4 2
)
1
,
3
(
1
,
0 12 4
,
0 7
3
,
0
)
1
(
2
,
0
)
3
,
0
(
)
(
)
(
X
M
p
x
X
D
i
i
i
708
,
24 61
,
9 4
,
14 6
,
19 3
,
0 018
,
0
=
−
+
+
+
=
,
971
,
4 708
,
24
)
(
)
(
=
=
=
X
D
X
σ
Определим вероятность того, что случайная величина
X
примет зна- чение меньше, чем 3, т.е.
)
3
(
<
X
P
. Так как случайная величина
X
дискрет- на, принимает только значения {-3;1;7;12}, а среди них только
{–3;1} меньше, чем 3, то
5
,
0 3
,
0 2
,
0
)
1
(
)
3
(
)
1 3
(
)
3
(
=
+
=
=
+
−
=
=
=
−
=
=
<
X
P
X
P
X
или
X
P
X
P
Случайная величина называется непрерывной, если существует неот- рицательная функция такая, что при любых
)
(x
f
х
функцию распределе- ния случайной величины
Х
можно представить в виде:
,
,
)
(
)
(
)
(
R
t
x
dt
t
f
x
X
P
x
F
x
∈
=
<
=
∫
∞
−
Свойства функции распределения непрерывной случайной вели- чины (н.с.в.):
)
(x
F
•
функция
)
(
x
F
определена, непрерывна и кусочно- дифференцируема на всей числовой прямой;
•
функция
)
(
x
F
является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. при
2 1
x
x
<
выполняется
)
(
)
(
2 1
x
F
x
F
≤
;
•
значения функции принадлежат отрезку
[ ]
1
,
0 1
)
(
0
≤
≤
x
F
и
1
)
(
lim
,
0
)
(
lim
=
=
+∞
→
−∞
→
x
F
x
F
x
x
Плотностью распределениянепрерывной случайной величины
Х
на- зывается первая производная функции распределения:
)
(
)
(
x
F
x
f
′
=
Свойства плотности распределения:
•
плотность распределения неотрицательна, т.е.
0
)
(
≥
x
f
;

2. План-конспект лекционного курса
183
•
несобственный интеграл от плотности распределения по всей чи- словой прямой равен единице:
∫
+∞
∞
−
= 1
)
( dx
x
f
(геометрически это свойство означает, что площадь бесконечной фигуры, ограниченной плотностью распределения и осью ОХ, конечна и равна единице).
Непрерывная случайная величина считается заданной, если задана ее функция распределения или плотность распределения вероятностей. При этом функция распределения называется интегральным законом рас-
пределения, а плотность распределения
– дифференциальным законом
распределения.
)
(x
F
)
(
x
f
Вероятность того, что случайная величина Х примет значения из ин- тервала
(
)
β
α
,
, равна площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью ОХ, прямыми
, и находится по формуле
β
α
=
=
х
х
,
)
(
)
(
)
(
α
β
β
α
F
F
X
P
−
=
<
<
или
∫
=
<
<
β
α
β
α
dx
x
f
X
P
)
(
)
(
Так как вероятность принять конкретное значение для непрерывной слу- чайной величины равна нулю –
0
)
(
0
=
= x
X
P
, то интервал для возможных зна- чений непрерывной случайной величины Х может быть и замкнутым, т.е.
)
(
)
(
)
(
)
(
β
α
β
α
β
α
β
α
≤
≤
=
≤
<
=
<
≤
=
<
<
X
P
X
P
X
P
X
P
4. Средним значением или математическим ожиданиемнепрерыв- ной случайной величины
Х
называется значение интеграла:
∫
+∞
∞
−
=
dx
x
xf
x
M
)
(
)
(
Дисперсиейнепрерывной случайной величины
Х
называется значение интеграла:
2 2
2 2
))
(
(
)
(
)
(
))
(
(
))
(
(
)
(
X
M
dx
x
f
x
dx
x
f
X
M
x
X
M
X
M
X
D
−
=
−
=
−
=
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
Средним квадратическим отклонениемнепрерывной случайной вели- чины
Х
называется величина:
)
(
)
(
X
D
Х
=
σ
Модойнепрерывной случайной величины называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
)
(
0
Х
М
Медианойнепрерывной случайной величины называется такое ее значение, при котором выполняется равенство
)
(
X
Me
2 1
)
(
)
(
=
>
=
<
Me
X
P
Me
X
P

Информатика и математика
184
Пример. Непрерывная случайная величина
Х
задана функцией рас- пределения:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≤
≤
−
+
×
≤
=
4
,
1
,
4 1
),
2
(
18 1
,
1
,
0
)
(
2
х
если
х
если
х
х
х
если
x
F
Необходимо найти плотность распределения
, математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, оп- ределить вероятности попадания в интервалы:
)
(x
f
)
(Х
М
)
(X
D
)
0
(
),
3
(
),
12 2
(
≥
<
≤
<
X
P
X
P
X
P
Решение.Плотность распределения равна производной функции рас- пределения, т.е.:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
<
+
×
<
=
′
=
4
,
0
,
4 1
),
1 2
(
18 1
,
1
,
0
)
(
)
(
х
если
x
если
x
х
если
x
F
x
f
Математическое ожидание и дисперсию вычислим, разбивая интервал интегрирования в соответствии с интервалами задания плотности распре- деления:
+
=
×
+
+
×
×
+
×
=
×
=
∫
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
0 0
)
1 2
(
18 1
0
)
(
)
(
4 4
1 1
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
f
x
X
M
4 11 2
1 3
2 18 1
2 16 3
64 2
18 1
2 3
2 18 1
0
)
2
(
18 1
4 1
4 1
2 3
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
×
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
×
×
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
×
×
=
+
+
+
∫
x
x
dx
x
x
(
)
−
×
+
+
×
×
+
×
=
−
×
=
∫
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
4 2
4 1
2 1
2 2
2 0
)
1 2
(
18 1
0
)
(
)
(
)
(
dx
x
dx
x
x
dx
x
X
M
dx
x
f
x
X
D
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
×
×
=
−
+
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∫
16 121 3
4 2
18 1
16 121 0
)
2
(
18 1
0 4
11 4
1 3
4 4
1 2
3 2
x
x
dx
x
x
16 11 16 121 4
33 16 121 3
1 4
2 18 1
3 64 4
256 2
18 1
=
−
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
×
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
×
×
=
Тогда среднее квадратическое отклонение
4 11 16 11
)
(
)
(
=
=
=
X
D
X
σ
Определим вероятности попадания случайной величины
Х
в интервал, до- страивая при необходимости интервал до стандартного вида с двумя границами:
9 7
9 2
1
)
2 2
2
(
18 1
1
)
2
(
)
12
(
)
12 2
(
)
12 2
(
2
=
−
=
−
+
×
−
=
−
=
<
<
=
≤
<
F
F
X
P
X
P
,
9 5
18 10 0
)
2 3
3
(
18 1
)
(
)
3
(
)
3
(
)
3
(
2
=
=
−
−
+
×
=
−∞
−
=
<
<
−∞
=
<
F
F
X
P
X
P
,

2. План-конспект лекционного курса
185
+
×
×
−
=
−
+∞
=
+∞
<
<
=
+∞
<
≤
=
≥
2 0
2
(
18 1
1
)
0
(
)
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
F
F
X
P
X
P
X
P
9 10 18 2
1
)
2 0
=
+
=
−
+