Информатика и математика, (для юристов), 2011. Информатика и математика проблемнотематический комплекс
 Скачать 3.34 Mb.
|
|
Определенный интеграл, формула Ньютона–Лейбница Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х 0 , х 1 , х 2 , …, х п = в. На каждом элементарном отрезке [x i-1 , x i ] выберем произвольную точку С i и положим ∆х i = x i – x i-1 , где i = 1,2,…,п, в каждой точке С i найдем значение функции f(C i ), составим произведения f(C 1 )∆x 1 , f(C 2 )∆x 2 , …, f(C i )∆x i , …, f(C n )∆x n , рассмотрим сумму этих произведений: f(C 1 )∆x 1 + f(C 2 )∆x 2 + … + f(C i )∆x i + … + f(C n )∆x n = ∑ f(C i )∆x i . = n i 1 Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей, так и от выбора точек С 1 , С 2 , …, С п на каждом элементарном отрезке разбиения. Геометрический смысл интегральной суммы. Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Пусть п=3, тогда а = х 0 , х 1 , х 2 , х 3 =в. С 1 ,С 2 ,С 3 – точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке. S 1 = f 1 (C 1 ) ∆x 1 – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х 1 = х 1 – х 0 ; Информатика и математика 170 S 2 = f 2 (C 2 ) ∆x 2 – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения, ∆х 2 = х 2 – х 1 ; S 3 = f 3 (C 3 ) ∆x 3 – площадь прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения, ∆х 3 = х 3 – х 2 ; S = S 1 + S 2 +S 3 = f 1 (C 1 )∆x 1 + f 2 (C 2 )∆x 2 + f 3 (C 3 )∆x 3 = f(C i )∆x i . ∑ = 3 1 i Геометрический смысл интегральной суммы – это площадь ступенча- той фигуры, составленной из прямоугольников. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ∆х i , где i=1,2,…, п. n ( Пусть предел интегральной суммы Σ f(C i )∆x i при стремлении max ∆х i к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С 1 , С 2 , …, С п . Тогда этот предел называется оп- ределенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и обозначается , т.е = lim ∑ f(С i )∆x i при max ∆x i →0. ∫ b dx x f a ) ( ∫ b a dx x f ) ∫ = n i 1 Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением. Некоторые свойства определенного интеграла 1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения пе- ременной интегрирования, т.е.: ∫ b a dx x f ) ( = = и т.д. ∫ b a dt t f ) ( ∫ b a dz z f ) ( 2. есть число. ∫ b a dx x f ) ( 3. = – , а ∫ a b dx x f ) ( ∫ b a dx x f ) ( 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫ b a dx x mf ) ( = m , ∫ b a dx x f ) ( где m – const. 5. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: ∫ ∫ + = + b a b a b a dx x dx x f dx x x f ) ( ) ( )) ( ) ( ( ϕ ϕ 6. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то инте- грал на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей: ∫ b a dx x f ) ( = ∫ ∫ + c a b c dx x f x f ) ( ) ( 2. План-конспект лекционного курса 171 Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, кото- рые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбницадля f(x) непрерывной на [ а; b ] : ∫ b a dx x f ) ( = F(b) – F(a), где F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). Например: – вычислить. ∫ 1 0 2 dx x Находим первообразную для функции х 2 , она равна x 3 /3 + С, произ- вольную постоянную С приравняем к нулю. Подставим в первообразную х 3 /3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х. ∫ 1 0 2 dx x = 1/3 – 0/3 = 1/3. Подробнее см.: 1. Т ЕМА 12 М АТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМБИНАТОРИКА Основные вопросы темы 1. Метод математической индукции. 2. Размещения, перестановки, сочетания. Математика строит модели целых классов. При построении модели идут в ход понятия, аксиомы, процессы идеализации, обобщения и абст- ракции, а также интуиция. Доказательство цементирует элементы воедино. 1. Метод математической индукции является одним из наиболее универсальных методов математических доказательств. Суть его заключа- ется в следующем. Допустим, мы хотим доказать, что некоторое утвер- ждение справедливо при любых значениях натурального числа п, содер- жащегося в формулировке этого утверждения. Например, что для любого натурального п справедливо следующее равенство: 2 ) 1 ( 3 2 1 + = + + + + n n n (1) Легко проверить, что эта формула дает правильный результат при n = 1, 2, 3, 4. Но невозможно ее проверить для всех значений п, так как множе- ство натуральных чисел бесконечно! Как же доказать, что утверждение верно для любых п, не проверяя этого непосредственно? Оказывается, что достаточно: а) проверить данное утверждение при п = 1; б) предположив, что оно верно при п = k, доказать, что оно верно при n = k + 1. В этом и заключается метод математической индукции. Информатика и математика 172 В рассматриваемом примере формула (1) при n = 1 дает 2 ) 1 1 ( 1 1 + = , т.е. что сумма из одного слагаемого 1 равна единице. Таким образом, при п = 1 формула верна. Теперь предположим, что она верна при n = k, тогда спра- ведливо равенство: 2 ) 1 ( 3 2 1 + = + + + + k k k Докажем, что формула (1) верна при п = k + 1, т.е.: 2 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 3 2 1 + + = + + + + + + k k k k Действительно, используя допущение, получаем 2 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 3 2 1 + + = + + + = + + + + + + k k k k k k k , что и требовалось доказать. Правила произведения и суммы Правило сложения. Пусть из пункта А в пункт В можно добраться са- молетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существу- ют 2 авиамаршрута, 1 – железнодорожный и 3 – автобусных. Следователь- но, общее число маршрутов между пунктами А и В равно 2 + 1 + 3 = 6. Обобщая этот пример, можно сформулировать правило сложения. Если выбор каждого из объектов a, (i = 1,2,…, k) можно выполнить n i , способа- ми, то выбор «или а 1 или а 2 ,… или а k » можно произвести n=∑n i способами. Правило умножения. Сколькими различными способами можно рас- пределить четыре шара по двум лункам, в которые помещается ровно один шар. Очевидно, первую лунку можно заполнить четырьмя способами, так как при выборе первой лунки имеется четыре шара. Вторую лунку можно заполнить тремя шарами, так как после заполнения первой лунки осталось три шара. Заметим, что с каждым из четырех способов заполнения первой лунки может совпасть любой из трех способов заполнения второй. Поэто- му общее число способов распределения двух лунок равно 4x3 = 12. Запишем теперь правило умножения в общем виде. Если выбор каж- дого из k объектов a i (i= 1,2,… , k) можно осуществить n i способами, то вы- бор «и а 1 и а 2 ,… , и а к »можно произвести n=n 1 ×n 2 ×…×n k способами. 2. Исследуя множества, относящиеся к юридическим проблемным си- туациям, юристу исключительно важно знать свойства пространства вари- антов, определяющих ситуацию, т.е. с помощью методов комбинаторики оценивать число размещений, сочетаний и перестановок. Пусть имеется множество, состоящее из n различных элементов. Пе- рестановкаминазываются различные всех элементов исходного множест- ва, отличающиеся один от другого порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов равно: ! n P n = 2. План-конспект лекционного курса 173 Пример 1. Сколькими способами можно составить расписание вызова подозреваемых на один день из четырех человек: Э(Эдуард), М(Максим), И(Игорь), Ф(Федор) ? Решение.Исходное множество состоит из четырех различных элемен- тов: Э, М, И, Ф, 4 = n . Различного вида составленное расписание – комби- нация из всех четырех имен, например – ЭМИФ, ЭФИМ,…, отличаются комбинации одна от другой только порядком следования элементов. Сле- довательно, их число – число перестановок из 4: Р 4 =4!=1×2×3×4=24. Сочетаниямииз n элементов исходного множества по m элементов, называются комбинации, содержащие m элементов исходного множества, отличающиеся одна от другой составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m элементов равно: )! ( ! ! m n m n С m n − × = Пример 2.Сколькими способами можно отправить трех оперативни- ков на выезд из группы, состоящей из семи человек: Афанасьев (А), Бори- сова (Б), Воронов (В), Демина (Д), Исаев (И), Котова (К), Синицын (С)? Решение. Исходное множество состоит из семи различных элементов: А, Б, В, Д, И, К, С. Группа на выезд – комбинация, состоящая из трех элементов исходного множества, например – АБД, ВДК, …, отличаются комбинации одна от другой составляющими их элементами. Следовательно, их число – число сочетаний из 7 по 3: 35 4 3 2 1 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 ! 4 ! 3 ! 7 )! 3 7 ( ! 3 ! 7 3 7 = × × × × × × × × × × × × = × = − × = С Размещениямииз n элементов исходного множества по m элементов называются комбинации, содержащие m элементов исходного множества, отличающиеся одна от другой порядком следования элементов и их соста- вом. Число размещений из n элементов по m элементов равно: )! ( ! m n n A m n − = Пример 2.Сколькими способами можно составить трехзначное число из нечетных цифр, если все цифры разные? Решение. Исходное множество состоит из пяти различных элементов: 1, 3, 5, 7, 9. Трехзначные числа из этих цифр – комбинации, состоящие из трех элементов исходного множества, например – 135, 153, 137,…, отли- чаются комбинации одна от другой и порядком следования элементов, и составом. Следовательно, их число – число размещений из 5 по 3: 60 5 4 3 ! 2 ! 5 )! 3 5 ( ! 5 3 5 = × × = = − = А Указанные комбинации называются выборками без повторения, так как составляются из различных элементов. Встречаются выборки с повто- рениями. Информатика и математика 174 Число размещений с повторениямииз n элементов по m элементов равно n m Пример 3.Сколько возможных исходов при выбрасывании трех монет? Решение. Исходное множество (результат выпадения одной монеты) состоит из двух различных элементов: О (орел) и Р (решка), . Так как выбрасываются три монеты, то выборочные комбинации содержат три элемента и число повторений одного элемента в выборке может быть до трех раз, . Число различных исходов при бросании трех монет равно : 2 = n 3 = m 8 2 3 = } , , , , , , , { PPP PPO POP POO OPP OPO OOP OOO = Ω Если объект А может быть выбран способами, объект A m B – спо- собами, то пара может быть выбрана B m ) , ( B A B A m m × способами. Пример 4. В группе 10 юношей и 8 девушек. Для участия в КВН необ- ходимо выбрать трех юношей и двух девушек. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Трех из десяти юношей можно выбрать способами. Двух из восьми девушек можно выбрать способами. Следовательно, команду КВН можно создать 3 10 C 2 8 C 3360 ! 6 ! 2 ! 8 ! 7 ! 3 ! 10 2 8 3 10 = ⋅ × ⋅ = ×C C способами. Подробнее см.: 1. Т ЕМА 13 Э ЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ Основные вопросы темы 1. События и операции над ними. 2. Определение вероятности, операции с вероятностями. 3. Случайные величины и закон распределения вероятности. 4. Числовые характеристики случайной величины. 1. Методы теории вероятностей и математической статистики позво- ляют конструировать данные и производить описание моделей юридиче- ских ситуаций. Например, в процессе следствия юридическая проблемная ситуация может быть представлена в виде группы случайных событий, где выделяется событие с максимальной вероятностью и предпринимаются дополнительные следственные действия для принятия или отказа от вы- двинутой гипотезы (модели). Формула Байеса позволяет уточнить вероят- ности гипотез по результатам следственного эксперимента. Под опытомв теории вероятностей понимается набор определенных условий, который можно воспроизвести сколь угодно много раз. Любой факт, который наступает в результате опыта, называется событием. Собы- тия обозначаются буквами латинского алфавита A, B, C, D, E, F,… 2. План-конспект лекционного курса 175 Пространством элементарных событий называется непустое множе- ство } { ω = Ω , элементами которого служат все возможные взаимоисклю- чающие один другой неразложимые исходы опыта, которые называются элементарнымисобытиями и обозначаются ω . Любое случайное событие А , связанное с опытом, является подмножеством Ω , Ω ⊂ А . Событие назы- вается: • случайным, если оно может наступить или не наступить в резуль- тате данного опыта; • невозможным,если в результате данного опыта оно произойти не может, ∅ = А ; • достоверным,если оно обязательно наступит в результате данного опыта, Ω = А Суммой двух событий A и B называется событие C, заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий A и B, и обозначается C=A+B. Произведениемдвух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном появлении (одновременно или последовательно одно за другим) событий A и B, и обозначается C=AB. Пример |