книга. Интенсивный курс Матрица, определитель и зачёт!
 Скачать 1.17 Mb.
|
|
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц «два на два», «три на три» и т.д. Начнём с простейшего случая: Пример 9 Дана матрица 4 3 2 1 A . Найти 1 A В рамках данного курса я разберу самый распространённый способ нахождения обратной матрицы – по формуле: T A A A * 1 1 , где A – определитель матрицы A , T A * – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A . Не пугаемся :) Если 0 A , то матрица A называется вырожденной, и обратной для неё матрицы не существует. И это тоже может быть ответом задачи! Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам. 1) Сначала находим определитель матрицы: 2 6 4 2 3 4 1 4 3 2 1 A 0 2 A , значит, обратная матрица СУЩЕСТВУЕТ. Иногда говорят, что матрица A не вырождена или обратима. 2) Находим матрицу миноров M соответствующих элементов матрицы A Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица A , в данном случае: * * * * M Как добывать миноры, мы только что разобрали, и поэтому секретов тут нет: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 20 Сначала рассмотрим левый верхний элемент матрицы A : Как найти его минор? МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента. Записываем его в нашу матрицу миноров: Рассматриваем следующий элемент матрицы A : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу миноров: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: Таким образом: 1 2 3 4 M – матрица миноров соответствующих элементов матрицы A © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 21 3) Находим матрицу алгебраических дополнений * A Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок! 1 2 3 4 * A – это и есть матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений T A * То есть, строки матрицы * A нужно последовательно (сверху вниз) переписать в столбцы транспонированной матрицы: 1 3 2 4 * T A – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A 5) Ответ, собственно, готов. По формуле: 1 3 2 4 2 1 1 * 1 T A A A Обратную матрицу лучше оставить в таком виде. Делить каждый элемент матрицы на 2 не надо – по той причине, что получатся дробные числа. А оно зачем? Как проверить решение? Нужно выполнить матричное умножение 1 AA либо A A 1 , и это ещё одно исключение из правила, когда произведение матриц всё же перестановочно: E A A AA 1 1 Проверка: 1 4 ) 2 ( 3 ) 3 ( 4 4 3 1 2 ) 2 ( 1 ) 3 ( 2 4 1 2 1 1 3 2 4 2 1 4 3 2 1 1 AA E 1 0 0 1 2 0 0 2 2 1 , значит, обратная матрица найдена правильно. Ну, или наоборот, без разницы: E A A 1 0 0 1 2 0 0 2 2 1 4 1 2 3 3 1 1 3 4 2 2 4 3 2 1 4 2 1 4 3 2 1 1 3 2 4 2 1 1 © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 22 Теперь переходим к более распространенному на практике случаю – «три на три»: Пример 10 Найти обратную матрицу для матрицы 3 2 5 4 3 6 7 5 2 B Алгоритм точно такой же, как и для матрицы «два на два». Решение:обратную матрицу найдем по формуле: T B B B * 1 1 , где T B * – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B 1) Вычислим определитель матрицы.Разложу его по первой строке : 2 5 3 6 7 3 5 4 6 5 3 2 4 3 2 3 2 5 4 3 6 7 5 2 B 0 1 189 190 2 ) 15 12 ( 7 ) 20 18 ( 5 ) 8 9 ( 2 , значит, обратная матрица существует. 2) Находим матрицу миноров M соответствующих элементов матрицы B Матрица миноров имеет размерность «три на три» * * * * * * * * * M , и нам нужно найти девять чисел. Подробно распишу парочку миноров: Рассмотрим левый верхний элемент матрицы: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два» © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 23 Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента (двойки). Его нужно вычислить: Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров: Как вы, наверное, догадались, здесь нужно вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже. И для закрепления алгоритма – нахождение ещё одного минора в картинках: Задание: вычислить (НА БУМАГЕ) остальные миноры. При чистовом оформлении примера лучше использовать «цивилизованные» обозначения: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 M M M M M M M M M M 32 11 , M M найдены, осталось 7 штук. Справка : смысл двойных подстрочных индексов состоит в следующем. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент: То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент 13 M находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент 32 M – в 3-й строке, 2-м столбце. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 24 Итак, в результате вычислений у нас образовалась следующая матрица миноров: 24 34 1 29 41 1 27 38 1 M То, что все они получились отрицательными – чистая случайность. И да, добрый совет: если у вас под рукой нет матричного калькулятора – никаких устных вычислений! Обязательно расписываем каждый минор. 3) Находим матрицу алгебраических дополнений * B В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: В данном случае: 24 34 1 29 41 1 27 38 1 * B – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений T B * 24 29 27 34 41 38 1 1 1 * T B – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B 5) Ответ: 24 29 27 34 41 38 1 1 1 24 29 27 34 41 38 1 1 1 1 1 1 * 1 T B B B Тот редкий случай, когда обратная матрица получилась «красивой». Теперь выполним проверку. Для этого нужно вычислить 1 BB или B B 1 . Иногда, кстати, требуют и то, и другое. Проверка является неотъемлемой частью многих задач, и поэтому отнесёмся к ней со всей серьёзностью: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 25 Повторим заодно неформальное правило матричного умножения : последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы. 24 3 ) 34 ( 2 1 5 ) 29 ( 3 41 2 ) 1 ( 5 27 3 ) 38 ( 2 1 5 24 4 ) 34 ( 3 1 6 ) 29 ( 4 41 3 ) 1 ( 6 27 4 ) 38 ( 3 1 6 24 7 ) 34 ( 5 1 2 ) 29 ( 7 41 5 ) 1 ( 2 27 7 ) 38 ( 5 1 2 24 29 27 34 41 38 1 1 1 3 2 5 4 3 6 7 5 2 1 BB E 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , значит, обратная матрица найдена верно. Задание: выполнить матричное умножение B B 1 НЕ ЛЕНИМСЯ! И эта проверка ещё показывает важность того, чтобы под руками был обычный микрокалькулятор. Хотя, желающие могут потренироваться в устном счёте. Образец решения в конце книжки (Пример 10). Как найти обратную матрицу для матрицы «четыре на четыре»? Там придётся вычислить 1 определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три». …Но то я, конечно, пошутил :) В тяжелых случаях целесообразно использовать метод элементарных преобразований , и всех нуждающихся / желающих я отсылаю к соответствующему уроку на сайте. Однако, как известно, в любой шутке есть доля правды, и в моей практике был случай, когда студента заставили находить обратную матрицу «четыре на четыре» «каторжным» способом. Ну, что ж поделать, если вы окажетесь «счастливчиком» – минут так 40-50 это займёт. Ну а теперь переходим в «старшие классы» и продолжаем «набивать руку» на матрицах и определителях: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 26 6. И снова о матричном умножении В этом параграфе мы продолжим разбирать типовые задачи, а также познакомимся с некоторыми полезными свойствами матричных операций. Следует отметить, что этих свойств довольно много (штудируйте учебники), однако для реальной практики важнЫ лишь некоторые из них. Впрочем, начнём мы со старого-доброго действия: 6.1. Как возвести матрицу в квадрат? Данная операция определена только для квадратных матриц: «два на два», «три на три» и т.д. И новизны тут и в самом деле нет, ведь возведение в квадрат – это всего лишь компактная запись произведения. Возвести квадратную матрицу A в квадрат – это значит, умножить её саму на себя: A A A 2 Пример 11 Возвести в квадрат матрицу 2 1 0 1 4 3 5 2 1 A И чтобы вы не заскучали от этого рутинного примера, я раскрашу его яркими красками и в красках приведу образную ассоциацию: Представьте, что строки первой матрицы – это столы в ресторане, а цветные столбцы второй матрицы – официанты. Сначала столы обслуживает красный официант, затем зелёный официант, и под конец застолья – синий официант. …Тааак, хватит прикалываться, он не голубой =) Ну, теперь-то точно должны усвоить)) Как возвести матрицу в куб и более высокие степени? Узнаем очень скоро. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 27 6.2. Коммутативность числового множителя Напоминаю, термин: коммутативность – перестановочность. И на самом деле этим свойством мы уже пользовались, когда проверяли обратную матрицу Для матриц B A, и действительного числа справедливо следующее свойство: ) ( AB B A То есть числовой множитель можно (и во многих случаях нужно) вынести вперёд, чтобы он не «мешался под ногами». Следует отметить, что все эти свойства, даже очевидные, строго доказываются в теории, ибо «очевидное» может запросто оказаться ошибочным (припомним хотя бы «неочевидное» A B B A ). Пример 12 Вычислить произведение 3 2 7 8 10 1 9 6 11 4 В лучших своих традициях закомментирую каждый шаг решения: 3 6 1 2 2 1 15 30 5 10 5 1 2 1 15 30 5 10 10 1 3 9 ) 7 ( 6 ) 2 ( 9 8 6 3 11 ) 7 ( 4 ) 2 ( 11 8 4 10 1 3 2 7 8 9 6 11 4 10 1 3 2 7 8 10 1 9 6 11 4 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( (1) Согласно свойству ) ( AB B A перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя! (2) – (3) Выполняем матричное умножение. (4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на 5 1 Окончательный ответ лучше оставить в виде 3 6 1 2 2 1 , хотя, в принципе, годится и внесение дроби: 2 3 3 2 1 1 Ответ: 3 6 1 2 2 1 3 2 7 8 10 1 9 6 11 4 © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 28 Маленькая шарада для самостоятельного решения: Пример 13 Вычислить ) ( D C , если 0 1 1 1 , 1 0 1 1 D C Тот редкий случай, когда число (–1) вполне уместно внести во 2-ю матрицу, но в своей версии решения я всё же этого не сделал, чтобы не плодить минусы в матрице D Свойство коммутативности числового множителя, справедливо для любого количества умножаемых матриц, причём его можно поставить в любое место, да хоть в самый конец. Или умножить на любую матрицу, если это выгодно. Прицепим к паровозику ещё один вагончик: 6.3. Как перемножить три матрицы? Произведение трёх матриц C B A (если оно осуществимо) можно вычислить двумя способами: 1) найти B A , а затем домножить на матрицу «цэ»: C B A ) ( ; 2) либо сначала найти C B , потом выполнить умножение ) ( C B A Результаты обязательно совпадут, и в математике данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения: ) ( ) ( C B A C B A |