книга. Интенсивный курс Матрица, определитель и зачёт!

• Название: Интенсивный курс Матрица, определитель и зачёт!
• Анкор: книга
• Дата: 01.03.2022
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: intensiv_matricy_opredeliteli.pdf
• Тип: Документы; #379215
• страница: 7 из 7

Ответ:




18 16 1
1 1
0 2
1 3
4 3
0 2
1 3























Пример 16. Решение: возведём матрицу в четвёртую степень двумя способами:





















































11 12 4
3 2
4
)
1
(
3 3
4 0
3 2
1
)
1
(
6 3
1 0
6 2
3 1
0 4
3 1
6 3
4
B
B
B























































11 12 4
3 1
1
)
2
(
6 6
1
)
3
(
6 1
2
)
2
(
3 6
2
)
3
(
3 1
6 2
3 1
6 2
3 2
2 4
B
B
B
Ответ:










11 12 4
3 4
B

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
53
Пример 18. Решение:

























































17 3
17 33 2
26 2
2 7
3 3
2 1
3 1
2
)
5
(
3 2
1 7
5 3
1 1
5 1
1
)
5
(
5 2
3 1
7 1
5 2
3 1
5
BD
Так как матрица
D
не квадратная, то возвести её в квадрат нельзя.




















































































































2 13 3
6 1
24 4
6 2
14 2
10 6
7 5
8 1
14 4
6 2
14 2
10
)
1
(
2 3
3
)
1
(
1
)
3
(
2 0
3
)
1
(
1
)
2
(
2 2
3 3
1
)
1
(
)
1
(
3 3
)
1
(
2
)
3
(
)
1
(
0 3
)
1
(
2
)
2
(
)
1
(
2 3
3 2
2 3
1 7
1 5
2 1
3 2
3 0
2 1
1 3
2 3
1 1
3 2
2D
C
A
T
Ответ:











17 3
17 33 2
26
BD
, действие
2
D
выполнить невозможно,











2 13 3
6 1
24 2D
C
A
T
Пример 19. Решение: вычислим первое слагаемое:
1)






















































7 2
4 1
)
3
(
3 2
1
)
1
(
3 1
1
)
3
(
2 2
1
)
1
(
2 1
1 3
1 2
1 3
1 2
1 2
A
A
A
2)



















14 4
8 2
7 2
4 1
2 2
2
A
Во втором слагаемом
)
4
(
3 1
E
B 

наивысший приоритет имеет нахождение
обратной матрицы:
3) Обратную матрицу
найдём по формуле
:
T
B
B
B
*
1 1 


, где
T
B
*
– транспонированная матрица алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы
B
.
Вычислим:
0 0
0 0
2 0
4 0
2 0
4








B
, значит, обратной матрицы не существует.
Ответ: решения нет, т.к. матрица
B
не обратима.
Пример 22. Решение: определитель несколько выгоднее вычислить по третьей
строке:
57 52 5
)
6 20
(
2
)
3 8
(
5 3
2 4
2 2
3 1
4 2
1 0
2 5
3 1
2 4















© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
54
Пример 23. Решение, затем комментарии:
910
)
1
(
910
)
7 3
5
(
910
))
6 1
(
)
4 1
(
)
2 3
((
910 1
3 2
1 1
2 2
1 1
2 1
3 910 1
2 1
1 3
1 2
1 1
)
7
(
130 1
14 1
1 21 1
2 7
1 5
2 13 5
70 5
2 42 2
26 91 13
)
3
(
)
2
(
)
1
(



















































(1) Из первой строки выносим 13, из второй строки выносим 2, из третьей строки
выносим 5.
(2) Из второго столбца выносим –7.
(3) Раскладываем определитель по первому столбцу.
Пример 25. Решение: Понизим порядок определителя, получив нули во второй
строке:
5
)
4 1
(
1 2
2 1
1 1
2 2
0 1
0 2
2 1
3 2
2 1
1 2
4 2
5

















К первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на 2. К третьему
столбцу прибавим второй столбец. Определитель раскроем по второй строке.
Понизим порядок определителя, получив нули во втором столбце:
5
)
4 1
(
1 2
2 1
1 1
0 2
1 1
2 2
0 1
3 2
2 1
1 2
4 2
5
















К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на –2. К третьей строке
прибавим вторую строку, умноженную на 2. Определитель раскроем по второму
столбцу.
Пример 26. Решение: все элементы первого столбца делятся на 3, и поэтому
любой из них можно сразу выбрать в качестве числа-«мишени». Несколько выгоднее
выбрать «минус три».
К первой строке прибавим третью строку, и ко второй строке тоже прибавим
третью строку:
252 84 3
)
60 144
(
3 12 15 4
12 3
9 8
3 12 15 0
4 12 0
9 8
3 3
7 3
5 4
3

















© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
55
Пример 27. Решение: а) получим нули в третьей строке:
0 1
2 1
2 17 14 17 34 14 28
)
1
(
3 9
1 17 34 0
14 28 0
3 9
1 2
11 5
2 8
4 3
3 9
1 1
0 0
0 0
2 11 5
1 2
8 4
3 6
9 2
1 1
0 1
0 2
11 5
1 1
8 3
)
6
(
)
5
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(



























(1) К первому и третьему столбцу прибавим четвёртый столбец.
(2) Разложим определитель по третьей строке. Порядок определителя понижен
до трёх.
(3) Ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на 5. К первой
строке прибавим третью строку, умноженную на 4.
(4) Разложим определитель по первому столбцу.
(5) Из первой строки вынесем 14, из второй строки вынесем 17.
(6) Строки определителя одинаковы, значит, он равен нулю.
б) получим нули в первой строке:
0 23 23 2
2 23 23 16 2
2 2
0 0
1 9
57 16 2
8 2
2 5
1 9
6 57 16 2
1 8
2 2
2 5
1 0
1 0
0 3
6 9
2 1
1 0
1 0
2 11 5
1 1
8 3
)
5
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(





























(1) К первому столбцу прибавим третий столбец, умноженный на –3. Ко второму
столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 8. К четвёртому столбцу прибавим
третий столбец, умноженный на –1 (именно так! – не вычитаем).
(2) Раскрываем определитель по первой строке.
(3) Ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный на 5. К третьему
столбцу прибавим первый столбец, умноженный на –2.
(4) Раскрываем определитель по первой строке. Порядок определителя понижен
до двух.
(5) Столбцы определителя пропорциональны, значит, он равен нулю.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
56
Пример 28. Решение: получим нули в третьем столбце:
64 4
16
)
2 2
(
16 2
2 1
1
)
1
(
16 2
2 1
1 16 2
2 1
1
)
8
(
)
1
(
2 7
8 12 2
0 2
1 0
1 2
7 8
12 2
0 2
1 0
1
)
1
(
)
1
(
2 0
7 8
12 0
2 0
2 0
1 0
1 1
3 3
5 2
3 2
1 3
1 5
3 3
1 2
3 4
1 3
3 5
2 6
2 1
3 2
5 3
3 2
2 3
4 2
3 3
5 6
2 1
3 2
5 3
3 2
2 3
4 2
3 3
5
)
1
(
6 2
0 1
3 2
5 0
3 3
2 2
0 3
4 1
1 1
2 1
2 3
0 3
5 5
1 1
1 2
1 4
1 1
2 1
1 1
1 3
1 1
1 2
1 1
2 1
1 4
)
7
(
)
6
(
)
5
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(


















































































(1) К первой, третьей, четвертой и пятой строкам прибавим вторую строку.
(2) Раскрываем определитель по третьему столбцу. Не забываем поставить
«минус» из «матрицы знаков» Порядок определителя понизился до четырёх.
(3) Из четвертого столбца выносим 2. Первую строку умножаем на –1, и чтобы
определитель не изменился, ставим перед ним «минус». Последнее преобразование
выполнено в целях упростить следующее действие.
(4) Ко второй и третьей строкам прибавим первую строку. К четвертой строке
прибавим первую строку, умноженную на 3.
(5) Раскрываем определитель по четвёртому столбцу. Порядок понижен до трёх.
(6) Раскрываем определитель по второму столбцу. Порядок понижен до двух.
(7) Выносим «минус» из первого столбца.