книга. Интенсивный курс Матрица, определитель и зачёт!

• Название: Интенсивный курс Матрица, определитель и зачёт!
• Анкор: книга
• Дата: 01.03.2022
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: intensiv_matricy_opredeliteli.pdf
• Тип: Документы; #379215
• страница: 5 из 7

Задание:
для матриц Примера 18 выполнить действия
2
,
,
2
D
C
A
D
BD
T


© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
34
И ещё один пример – тренировки много не бывает:
Пример 19
Вычислить значение матричного многочлена
)
4
(
3 2
1 2
E
B
A



, если
















0 2
0 4
,
3 1
2 1
B
A
Здесь решение удобно оформить по пунктам. Образец в конце методички.
И в заключение курса «разгромим» определители
:
8. Некоторые полезные свойства определителей
Как и в случае с матричными операциями, у определителей насчитывается добрый десяток свойств, однако реальное прикладное значение имеют только некоторые из них.
Но начать хочется с более насущного вопроса:
8.1. Золотое правило вычислений
Поручить вычисления товарищу или компьютеру =)
В данном пункте речь пойдёт о технике эффективного вычисления определителей, которая позволит вам находить их максимально быстро. Возможно, некоторые скажут:
«ерунда, какая разница – потратим мы 2 минуты или 3?». Но это всё хорошо, если определитель не очень большой. А если «четыре на четыре»? А если «пять на пять»?
Который, кстати, тоже встречается.
Сидеть 10-20 минут, а то и дольше (в случае ошибки) что-то совсем неохота. Да и зачем сидеть 2-3 минуты? Не редкость, когда процесс решения вполне реально сократить до считанных секунд, а иногда и сразу увидеть результат!
Чему и будет посвящён наш дальнейший разговор. Мотив рационального вычисления определителя встретился в первом же примере
9 8
7 6
0 4
3 2
1


Да, разложить, определитель по 1-й строке или 1-му столбцу – это привычно и академично, но 2-я строка или 2-й столбец (где есть ноль) приводят к результату заметно быстрее, и Пример 7 – тому пример :)
Давайте вспомним мою «любительскую» матрицу знаков



















, весь алгоритм, и разложим определитель теперь уже по 2-й строке:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
35 204 36 168
)
14 8
(
6 0
)
24 18
(
4 8
7 2
1 6
9 7
3 1
0 9
8 3
2 4
9 8
7 6
0 4
3 2
1


























Это быстрее чем, по 1-й строке? Конечно. Тем более, на практике нулевое слагаемое принято опускать:
204 36 168
)
14 8
(
6
)
24 18
(
4 8
7 2
1 6
9 8
3 2
4 9
8 7
6 0
4 3
2 1





















А если в строке или столбце два нуля, то это вообще настоящий подарок:
Пример 20
Вычислить определитель матрицы












0 2
0 4
1 3
3 2
5
Здесь два нуля в третьей строке, по ней и раскрываем:
58
)
9 20
(
2 4
3 3
5 2
0 2
0 4
1 3
3 2
5












Вот и всё решение!
Особый случай, когда определитель имеет так называемый ступенчатый или
треугольный вид, например:
3 0
0 3
1 0
5 1
2


– в таком определителе все числа, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
Разложим его по первому столбцу:
6
)
0 3
(
2
)
3 0
)
3
(
1
(
2 3
0 3
1 2
3 0
0 3
1 0
5 1
2

















В практических заданиях удобно руководствоваться следующим правилом –
ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали:
6
)
3
(
)
1
(
2 3
0 0
3 1
0 5
1 2









© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
36
Аналогичный принцип справедлив и для ступенчатых определителей других порядков, например:
60 3
)
4
(
1 5
3 0
0 0
0 4
0 0
1 10 1
0 4
0 8
5









Треугольные определители иногда встречаются, и их решение можно оформлять именно так!
А если в строке (столбце) определителя находятся одни нули? Ответ, думаю, понятен. Впрочем, о нулевых определителях позже. Сейчас о другом:
Пример 21
1 5
3 1
4 7
1 2
6



Здесь вообще нет нулей, но всё равно существует способ облегчить себе жизнь!
Данный определитель выгоднее разложить по третьему столбцу, поскольку там самые маленькие числа. И запись принимает очень приятный вид:
109 38 24 47
)
14 24
(
)
6 30
(
)
12 35
(
4 7
2 6
5 3
2 6
5 3
4 7
1 5
3 1
4 7
1 2
6





















И, резюмируя параграф, сформулируем
золотое правило вычислений:
Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (или столбцу), где:
1) нулей побольше;
2) числа поменьше.
И чем больше порядок определителя, тем больше вес золота. Самостоятельно:
Пример 22
Вычислить определитель, используя наиболее рациональный способ
2 1
0 2
5 3
1 2
4


И ещё один важный совет:
не комплексуйте!
Не надо бояться показаться
«слишком умным» и «зацикливаться» на традиционном разложении по первой строке либо первому столбцу. Как короче – так и решайте!
Этой же цели служат некоторые правила, о которых я расскажу ниже:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
37
8.2. Определитель транспонированной матрицы
Рассмотрим старых знакомых: матрицу













9 8
7 6
0 4
3 2
1
Z
и её определитель
204 9
8 7
6 0
4 3
2 1




Z
На всякий случай повторю элементарное различие между понятиями:
матрица
–
это таблица элементов, а
определитель
– суть число (упорядоченный набор чисел, с
которыми нужно выполнить определённые действия и получить это самое число).
При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется
Транспонируем матрицу:













9 6
3 8
0 2
7 4
1
T
Z
Согласно свойству, определитель транспонированной матрицы равен тому же значению:
204 9
6 3
8 0
2 7
4 1




T
Z
. Желающие могут убедиться в этом самостоятельно.
В ходу и более простецкая формулировка данного свойства: если транспонировать определитель, то его величина не изменится.
Запишем оба определителя рядышком и проанализируем один важный момент:
204 9
6 3
8 0
2 7
4 1
204 9
8 7
6 0
4 3
2 1








T
Z
Z
В результате транспонирования первая строка стала первым столбцом, вторая строка – вторым столбцом, третья строка – третьим столбцом. Строки стали столбцами, а результат не изменился. Призрак этого факта давно бродит по страницам, и настал момент его озвучить:
строки и столбцы определителя равноправны
Иными словами, если какое-нибудь свойство справедливо для строк, то аналогичное свойство справедливо и для столбцов! И в действительности мы с этим уже сталкивались – ведь определитель можно раскрыть как по строке, так и равноправно по столбцу.
Не нравятся числа в строках? Транспонируйте определитель! Подчёркиваю, что определитель. САМУ МАТРИЦУ просто так транспонировать нельзя!

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
38
8.3. Парная перестановка строк (столбцов)
Собственно,
правило:
если две строки (или два столбца) определителя
поменять местами, то определитель сменит знак.
! Помните
, речь идёт об определителе! В матрице ничего переставлять нельзя!
Сыграем в кубик-рубик с определителем
204 9
8 7
6 0
4 3
2 1



Поменяем первую и третью строку местами:
204 3
2 1
6 0
4 9
8 7




Определитель сменил знак.
Теперь в полученном определителе переставим вторую и третью строки:
204 6
0 4
3 2
1 9
8 7



Определитель ещё раз изменил знак.
Переставим второй и третий столбец:
204 0
6 4
2 3
1 8
9 7




То есть, любая парная перестановка строк (или столбцов) влечёт изменение
знака определителя на противоположный.
Игры играми, но на практике такие действия лучше не использовать. Толку от них особого нет, а вот запутаться и допустить ошибку несложно. Однако приведу одну из немногих ситуаций, когда в этом действительно есть смысл. Предположим, что в ходе решения некоторого примера у вас нарисовался определитель со знаком «минус»:
8 1
9 6
4 3
7 5
2

Раскроем его, скажем, по первой строке:
1 9
4 3
7 8
9 6
3 5
8 1
6 4
2 1
9 4
3 7
8 9
6 3
5 8
1 6
4 2
8 1
9 6
4 3
7 5
2






















Очевидное неудобство состоит в том, что пришлось выполнять лишнее действие – ставить большие скобки, а затем их раскрывать (никогда не делайте этого устно!).

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
39
И, чтобы избавиться от «минуса», рациональнее поменять местами любые две строки или любые два столбца. Переставим, например, первую и вторую строки:
8 1
9 7
5 2
6 4
3 8
1 9
6 4
3 7
5 2



Теперь впереди помех нет, можно ехать дальше. Выглядит стильно, но в большинстве случаев с отрицательным знаком рациональнее разбираться другим способом. Читаем дальше:
8.4. Вынесение из строки (столбца) множителя
Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель
!!! Внимание!
В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце
определителя. Пожалуйста, не путайте с
матрицами
, в матрице
множитель
выносится/вносится
у ВСЕХ чисел сразу.
Начнём с частного случая – вынесения «минус единицы» или просто «минуса».
Встречаем очередного пациента:
3 8
2 7
4 5
6 4
1





В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество. Вынесем –1 из первой строки:
3 8
2 7
4 5
6 4
1 3
8 2
7 4
5 6
4 1
1 3
8 2
7 4
5 6
1 4
1 1
1

















Или короче:
3 8
2 7
4 5
6 4
1 3
8 2
7 4
5 6
4 1









Минус перед определителем, как уже демонстрировалось – не есть удобно.
Смотрим на вторую строку определителя и замечаем, что минусов там тоже многовато.
Вынесем «минус» из второй строки:
3 8
2 7
4 5
6 4
1 3
8 2
7 4
5 6
4 1
)
(
3 8
2 7
4 5
6 4
1 3
8 2
7 4
5 6
4 1















Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
40
Вынесем 4 из второго столбца:
3 2
2 7
1 5
6 1
1 4
3 8
2 7
4 5
6 4
1




Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и
внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя.
Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя:
12 8
8 7
1 5
6 1
1 3
2 2
7 1
5 6
1 1
4




Дотошные умы могут убедиться в равенстве исходного
3 8
2 7
4 5
6 4
1





и полученного
12 8
8 7
1 5
6 1
1

определителей.
На практике часто выполняют внесение минуса. Рассмотрим определитель
3 1
2 8
3 2
1 2
6




. Отрицательный знак перед определителем можно внести в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец. Самым лучшим кандидатом является третий столбец, в него и вносим:
3 1
2 8
3 2
1 2
6 3
1 2
8 3
2 1
2 6







Также замечаем, что все числа первого столбца делятся на 2 без остатка, но стОит ли выносить «двойку»? Если вы собираетесь понижать порядок определителя (о чём пойдет речь в следующем параграфе), то, безусловно, стОит. Но если раскрывать определитель по строке (столбцу), то «двойка» впереди только усложнит решение.
Однако если множитель велик, например, 13, 17 и т.п., то его, конечно, лучше вынести. Познакомимся с маленьким монстром:
21 14 55 33




. Из первой строки вынесем –
11, из второй строки вынесем –7:
77
)
10 9
(
77 3
2 5
3
)
7
(
11 21 14 55 33














Вы скажете, вычисления и так быстро щёлкаются на калькуляторе? Это правда. Но, во-первых, его может не оказаться под рукой, а во-вторых, если дан определитель 3-го или
4-го порядка с большими числами, то и стучать по кнопкам уже не сильно захочется.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
41
Пример 23
Вычислить определитель, используя вынесение множителей из строк и столбцов
5 70 5
2 42 2
26 91 13



Это пример для самостоятельного решения.
8.5. Когда определитель равен нулю?
Начнём с самого очевидного признака. Если в определителе есть нулевая строка
или нулевой столбец, то он равен нулю. Например:
0 5
4 0
4 3
0 1
2 0


«Любительская» проверка элементарна, раскроем определитель по 1-му столбцу:
0 0
0 0
4 3
1 2
0 5
4 1
2 0
5 4
4 3
0 5
4 0
4 3
0 1
2 0













К слову, проверку легко осуществить и по любой другой строке или столбцу
Признак второй. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (в
частности, одинаковы), то данный определитель равен нулю.
В следующем примере пропорциональны соответствующие числа 1-й и 2-й строк, грубо говоря, первая строка в два раза больше второй:
0 3
7 5
1 1
2 2
2 4



В следующем примере пропорциональны все три столбца (и строки, кстати, тоже):
0 2
2 6
1 1
3 1
1 3




причём, второй и третий столбец одинаковы, это частный случай – когда коэффициент пропорциональности равен единице.
Использовать ли это свойство на практике? С осторожностью. Вот здесь повышенный уровень знаний бывает наказуем ;-) Поэтому, возможно, лучше раскрывать такие определители обычным способом (зная наперёд, что получится ноль).

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
42
Следует отметить, что это были лишь очевидные признаки. Если в определителе
нет нулевых и нет пропорциональных строк и столбцов, то он всё равно может
оказаться нулевым!
Если определитель равен нулю, то говорят, что его строки (а значит и столбцы)
линейно зависимы. И эта зависимость может быть спрятана от наших глаз.
Вообще, у данного понятия есть хороший геометрический смысл, и всех интересующихся я отсылаю к статье о линейной зависимости и линейной независимости векторов
. С удовольствием бы рассказал и сейчас, но цель данного курса совсем другая.
Пришло время выжать стакан апельсинового сока:
Какие свойства определителей полезно знать?
1) Величина определителя не меняется при транспонировании. Свойство малополезно для практики, но запомнить его нужно обязательно.
2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на
противоположный. Свойство тоже запоминаем и стараемся не использовать во избежание путаницы.
3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (или внести
его). Используем там, где это выгодно.
4) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю. Если строки
(столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Пользуемся с осторожностью.
На протяжении всего курса неоднократно наблюдалась простая и логичная закономерность – чем больше в строке (или столбце) нулей, тем легче вычислить определитель. И возникает логичный вопрос, а нельзя ли нули организовать
специально – с помощью какого-нибудь преобразования?
Можно! Встречайте убойный гвоздь программы:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
43
9. Понижение порядка определителя
Объяснять сразу буду на конкретном примере:
Пример 24
Вычислить определитель, понизив его порядок
3 2
2 1
1 2
4 2
5




Суть задания состоит в том, искусственно получить два нуля в какой-нибудь строке (или столбце) и свести решение к вычислению определителя «два на два».
Нули получают с помощью так называемых элементарных преобразований, и тому, кто успел ознакомиться с методом Гаусса
, сейчас будет чуть легче. Чуть-чуть. Потому что всё и так просто.