книга. Интенсивный курс Матрица, определитель и зачёт!
 Скачать 1.17 Mb.
|
|
Вопрос второй: как перемножить две матрицы? Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение и общая формула введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей. Начнём с самого простого: Пример: Умножить матрицу 4 5 1 2 K на матрицу 1 3 L Умножение осуществляется по формуле: 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 c b c a c b c a c c b a b a 11 7 ) 1 ( 4 3 5 ) 1 ( 1 3 2 1 3 4 5 1 2 KL Пример сложнее: Умножить матрицу 6 4 3 2 M на матрицу 4 6 6 9 N Здесь формула такова: 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 d b d a c b c a d b d a c b c a d c d c b a b a – попытайтесь сразу уловить закономерность: сначала мы берём столбец «цэ», «поворачиваем его на левый бок» и «пристраиваем» к каждой строке 1-й матрицы. Затем берём столбец «дэ» и аналогично «пристраиваем» его к каждой строке 1-й матрицы. Считаем: 0 0 0 0 ) 4 ( 6 ) 6 ( 4 6 6 9 4 ) 4 ( 3 ) 6 ( 2 6 3 9 2 4 6 6 9 6 4 3 2 MN – в том, что получилась нулевая матрица – нет ничего особенного, могла получиться и ненулевая :) Поздравляю! – начальная школа пройдена, и я начинаю нумерацию примеров: Пример 1 Выполнить матричное умножение NM Это задание для самостоятельного решения. НЕ ЛЕНИМСЯ и обязательно решаем от руки! Предварительно матрицы лучше «загнать» в Матричный калькулятор (приложен к курсу) – чтобы контролировать каждое действие. Решение и ответ в конце методички Ну и, наверное, вы обратили внимание, что NM MN . Это не случайность. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 12 В общем случае матрицы переставлять нельзя! Это свойство называют некоммутативностью матричного умножения. Обычные числа в произведении переставлять можно (например, 2 3 3 2 ), а вот произведение матриц в общем случае не перестановочно. Таким образом, если в задании предложено умножить матрицу M на матрицу N , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот. Однако существуют исключения из правила, и с одним из них я познакомлю вас прямо сейчас: EA AE , где A – квадратная матрица произвольного размера, а E – соответствующая единичная матрица. Ларчик открывается просто, дело в том, что A AE и произведение EA тоже равно A . Самостоятельно проверьте этот факт для случая «два на два» и убедитесь, что: 6 4 3 2 6 4 3 2 1 0 0 1 6 4 3 2 1 0 0 1 6 4 3 2 Едем дальше. У начинающих часто возникает путаница с размерностью итоговой матрицы. Пожалуйста, перепишите к себе в тетрадь общую схему: строк столбцов строк столбцов столбцов строк n k m k m n Пример 2 Выполнить матричное умножение 6 4 5 3 2 1 Во-первых, проверим, можно ли вообще умножать. Число столбцов 1-й матрицы равно двум и число строк 2-й матрицы тоже равно двум, следовательно, всё ОК. Согласно схеме, в результате умножения должна получиться матрица «один на два», то есть строка из 2 чисел. Вспоминаем наш мнемонический приём: сначала берём 1- й столбец правой матрицы, «поворачиваем его на левый бок» и «пристраиваем» к единственной строке левой матрицы. Затем то же самое проделываем со 2-м столбцом: 7 5 ) 6 ( 2 5 1 4 2 ) 3 ( 1 6 4 5 3 2 1 Готово. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 13 Самостоятельно: Пример 3 3 0 2 1 4 0 1 2 6 3 0 1 Краткое решение и ответ в конце методички. Продолжаем набивать руку на типовых примерах: Пример 4 Умножить матрицу 3 7 4 5 9 6 4 8 5 P на матрицу 1 3 2 R Формула очень похожа на аналогичный «двумерный» случай: 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 d c d b d a d c d b d a d c d b d a d d d c b a c b a c b a 16 20 18 1 3 ) 3 ( 7 2 4 1 5 ) 3 ( 9 2 6 1 4 ) 3 ( 8 2 5 1 3 2 3 7 4 5 9 6 4 8 5 PR И всего то. А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в такой задачке: Пример 5 Умножьте матрицу 3 7 4 5 9 6 4 8 5 P на матрицу 5 6 9 3 1 4 5 2 3 S Это очень распространённое произведение. Классика жанра Что делаем? Последовательно «перебираем» столбцы матрицы S , поворачиваем их на левый бок и «пристраиваем» к каждой строке матрицы P . Решение в конце книжки На данный момент, пожалуй, достаточно. К матричным операциям мы ещё вернёмся – после изучения важнейшей числовой характеристики матрицы: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 14 4. Как вычислить определитель матрицы? Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы. Для других матриц такого понятия не существует. Обозначения: определитель квадратной матрицы A обозначают через A . Так, например, определитель матрицы 2 15 3 11 A запишется следующим образом: ? 2 15 3 11 A Иногда определитель обозначают буквой D или греческой («дельта»): ? 9 8 7 6 0 4 3 2 1 – определитель матрицы 9 8 7 6 0 4 3 2 1 а зачастую просто рисуют две палки и всё: ? 3 6 1 2 1 1 1 1 0 2 1 5 1 1 2 3 1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса ? в вышеприведённых примерах – это совершенно обыкновенные числа. 2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь. Начнём с определителя «два» на «два»: bc ad d b c a ЭТУ ФОРМУЛУ НУЖНО ЗАПОМНИТЬ. Впрочем, можно не запоминать – сама запомнится …но на всякий случай в тетрадь-то запишите ;) Пример 6 67 45 22 ) 3 ( ) 15 ( ) 2 ( 11 2 15 3 11 A Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ. Если таки остались вопросы, обратитесь к Приложению Памятка по арифметике. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 15 Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них – прямые и 6 – «традиционные». Начнем с двух прямых способов Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно вычислить с помощью формулы: 3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a Пример 7 204 72 48 0 96 84 0 9 ) 2 ( 4 6 8 1 3 0 ) 7 ( 3 8 4 6 ) 2 ( ) 7 ( 9 0 1 9 8 7 6 0 4 3 2 1 Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Иногда его называют методом «параллельных полосок» или методом Саррюса. И он прост, как три копейки: справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии: Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус. В нашем случае: 204 72 48 0 96 84 0 9 4 ) 2 ( 8 6 1 ) 7 ( 0 3 8 4 3 ) 7 ( 6 ) 2 ( 9 0 1 9 8 7 6 0 4 3 2 1 8 7 0 4 2 1 9 8 7 6 0 4 3 2 1 Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 16 Теперь рассмотрим шесть «традиционных» способов вычисления Почему традиционных? Потому что в большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так. Как вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки. И решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу. Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм. Его суть состоит в том, чтобы свести решение к трём маленьким определителям «два на два», которые называют минорами. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – младший. Для объяснений мне будет удобно использовать матрицу знаков Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, и его не нужно использовать или упоминать в чистовом оформлении заданий. В качестве примера я раскрою определитель по первой строке, и коль скоро так, то, очевидно, всё вращается вокруг неё: Сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей: 1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 2) Затем записываем сам элемент и ставим знак умножения: 3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент: Оставшиеся четыре числа образуют определитель «два на два», который и является минором данного элемента (единицы). © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 17 Переходим ко второму элементу первой строки: 4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 5) Затем записываем второй элемент: 6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент: и оставшиеся четыре числа заносим в маленький определитель. Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности: 7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 8) Записываем третий элемент: 9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент: и оставшиеся четыре числа записываем в минор. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 18 Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем: 204 96 156 48 ) 0 32 ( 3 ) 42 36 ( 2 48 0 ) 0 ) 7 ( 8 4 ( 3 ) 6 ) 7 ( 9 4 ( 2 ) 6 8 9 0 ( 8 7 0 4 3 9 7 6 4 ) 2 ( 9 8 6 0 1 9 8 7 6 0 4 3 2 1 Готово. Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым. Задание: вычислить данный определитель, разложив его по второму столбцу. Решение и ответ в конце методички (Пример 7). И, как говорится, почувствуйте разницу ;) Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя аналогичный алгоритм. При этом матрица знаков у нас увеличится: Ну, и как вы правильно догадываетесь, решение сводится к вычислению четырёх миноров (младших определителей) «три на три». А если повезёт, то вычислений будет поменьше: Пример 8 Здесь я раскрыл определитель по четвертому столбцу: 1 1 1 2 1 5 1 2 3 ) 3 ( 6 1 2 2 1 5 1 2 3 1 6 1 2 1 1 1 1 2 3 0 6 1 2 1 1 1 2 1 5 1 3 6 1 2 1 1 1 1 0 2 1 5 1 1 2 3 А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Кстати, почему именно по 4-му? Это один из наиболее рациональных способов: так как в этом столбце есть ноль, то второй минор вычислять не нужно. Из этих же соображений определитель можно было разложить и по 2-й строке. Задание: довести решение до конца, разложив: минор №1 по 1-му столбцу, минор №3 по 2-й строке и последний минор – по 3-й строке. Чтобы не запутаться, решение удобно оформить по пунктам. Свериться можно в конце методички. И не забывайте о Матричном калькуляторе! © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 19 5. Как найти обратную матрицу? Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число 1 5 5 1 Произведение данных чисел равно единице: 1 5 5 1 С матрицами всё похоже! Произведение матрицы A на обратную ей матрицу 1 A равно E A A 1 – единичной матрице. По сути, E – это матричный аналог числовой единицы. |