книга. Интенсивный курс Матрица, определитель и зачёт!
 Скачать 1.17 Mb.
|
|
Пример 14 Перемножить матрицы двумя способами 1 2 3 7 126 38 93 28 5 7 3 4 Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц. 1) Используем формулу C B A C B A ) ( Действие первое: 21 6 6 2 ) 126 ( 5 93 7 38 5 ) 28 ( 7 ) 126 ( 3 93 4 38 3 ) 28 ( 4 126 38 93 28 5 7 3 4 B A Действие второе: 3 0 0 2 1 21 3 6 2 21 7 6 1 6 3 2 2 6 7 2 1 2 3 7 21 6 6 2 ) ( C B A C B A © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 29 2) Используем формулу ) ( C B A C B A Действие первое: 12 14 9 10 1 126 3 38 2 126 7 38 1 93 3 28 2 93 7 28 1 2 3 7 126 38 93 28 C B Действие второе: 3 0 0 2 ) 12 ( 5 9 7 14 5 ) 10 ( 7 ) 12 ( 3 9 4 14 3 ) 10 ( 4 12 14 9 10 5 7 3 4 ) ( C B A C B A Ответ: 3 0 0 2 1 2 3 7 126 38 93 28 5 7 3 4 Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ. Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение ) ( C B A , но ни в коем случае не A C B ) ( Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались: Пример 15 Найти произведение трёх матриц 1 1 1 0 2 1 3 4 3 0 2 1 3 Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче. Свойство ассоциативности матричного умножения справедливо и для бОльшего количества множителей, и живой тому пример встретится в следующем пункте. 6.4. Как возвести матрицу в куб и более высокие степени? Данные операции тоже определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу B в куб, нужно вычислить произведение: B B B B 3 Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: B B B B B B B ) ( 3 А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы: 2 ) ( B B B Таким образом, получаем рабочую формулу: B B B 2 3 , то есть, сначала матрицу нужно возвести в квадрат, а затем полученную матрицу 2 B умножить на матрицу B © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 30 Пример 16 Возвести матрицу 2 3 1 0 B в куб. Легко: сначала найдём квадрат: 1 6 2 3 2 2 ) 1 ( 3 3 2 0 3 2 1 ) 1 ( 0 3 1 0 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 B B B затем куб: 4 3 1 6 2 1 ) 1 ( 6 3 1 0 6 2 2 ) 1 ( 3 3 2 0 3 2 3 1 0 1 6 2 3 2 3 B B B Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом: B B B B B 4 Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых, B B B B B B B B B B B B 2 4 ) ( – это произведение 3 матриц. И далее есть два пути: 1) B B B B B B B B B 3 2 2 4 ) ( . То есть, сначала находим 2 B , затем домножаем его на B – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет 4-я степень. 2) Но существует решение на шаг короче: 2 2 2 2 4 ) ( B B B B B B B B B . То есть, на первом шаге находим квадрат 2 B и, минуя куб, выполняем умножение 2 2 4 B B B Задание: Возвести матрицу 2 3 1 0 B в четвёртую степень двумя способами Решение и ответ в конце методички. Кстати, заметьте, что если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень, то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой 2 2 4 B B B Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм: 1) находим 2 B ; 2) находим 2 2 4 B B B ; 3) возводим матрицу в пятую степень: B B B 4 5 Сдаём «выпускной экзамен» по матрицам: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 31 7. Матричные выражения Сначала повторим обычные школьные выражения с числами. Числовое выражение состоит из чисел, знаков математических действий и скобок, например: 5 10 4 4 ) 5 3 ( 2 4 . При расчётах справедлив знакомый алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки, затем выполняется возведение в степень / извлечение корней, потом умножение / деление и, наконец, в последнюю очередь – сложение /вычитание. Результат вычисления числового выражения является числом, например: 122 2 8 128 2 2 4 8 16 5 10 4 4 ) 5 3 ( 2 4 Матричные выражения устроены практически так же! С тем отличием, что главными действующими лицами выступают матрицы. Плюс некоторые специфические матричные операции, такие, как транспонирование и нахождение обратной матрицы Рассмотрим матричное выражение 3 1 5 ) ( 2 F CD AB T , где F D C B A , , , , – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь. В первом слагаемом T AB 2 сначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: T B , потом выполнить умножение T AB и внести «двойку» в полученную матрицу. Обратите внимание, что операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение. Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: T AB) ( 2 – тут сначала выполняется умножение AB , потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2. Во втором слагаемом 1 ) ( CD в первую очередь выполняется матричное умножение CD , и обратная матрица находится уже от результата произведения. Если скобки убрать: 1 CD , то сначала необходимо найти обратную матрицу 1 D , а затем перемножить матрицы: 1 D C . Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением. С третьим слагаемым 3 5F всё понятно: возводим матрицу в куб и вносим –5 в полученную матрицу. Что должно получиться в результате вычисления матричного выражения? Может ничего не получиться.Поскольку не все действия осуществимы. Но если результат вычисления существует, то он тоже является матрицей. Как говорится, кошки не родят мышку. Следующие задания, как и все предыдущие, взяты из реальных практических работ, и мы начнём с самого простого: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 32 Пример 17 Даны матрицы 2 1 1 1 2 2 , 4 2 0 1 1 3 , 1 1 2 1 2 1 C B A Вычислить B A 2 и C B 2 Решение:порядок действий очевиден, сначала выполняется умножение на число , затем сложение : 8 4 0 2 2 6 1 1 2 1 2 1 4 2 0 1 1 3 2 1 1 2 1 2 1 2B A Сложение выполнить невозможно, так как матрицы разных размеров. Не удивляйтесь. Как я уже отмечал, заведомо невозможные действия часто предлагаются в заданиях данного типа. Пробуем вычислить второе выражение: 8 4 2 1 5 1 4 4 2 2 ) 2 ( 0 2 1 4 1 4 3 4 2 2 2 4 4 4 2 0 1 1 3 2 1 1 1 2 2 2 4 2 0 1 1 3 2C B Тут всё нормально. Ответ: действие B A 2 выполнить невозможно, 8 4 2 1 5 1 2C B Чуть повысим сложность: Пример 18 Даны матрицы 2 3 1 7 1 5 , 1 3 2 3 0 2 1 1 3 , 2 3 1 5 , 2 1 3 3 1 2 D C B A Найти значения следующих выражений: 4 ), ( , T T D AB D A C D Решение: разбираемся с произведением C D T . Более высокий приоритет имеет транспонирование : 2 7 3 1 1 5 T D и далее умножение : 1 3 1 3 0 1 2 2 3 2 7 3 1 1 5 C D T которое выполнить нельзя, так как число столбцов матрицы T D не равно числу строк матрицы C . © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 33 А вот с произведением ) ( D A никаких проблем: 3 5 7 27 12 12 16 5 9 3 5 7 27 12 12 16 5 9 2 2 7 1 3 2 1 1 1 2 5 1 2 3 7 3 3 3 1 3 1 3 5 3 2 1 7 2 3 1 1 2 1 1 5 2 2 3 1 7 1 5 2 1 3 3 1 2 ) ( AD D A Здесь на первом же шаге множитель (–1) выносится вперёд, и руки до него доходят в самую последнюю очередь. Но вот если бы в матрице A или D было много отрицательных чисел, то минус было бы выгодно сразу внести (туда или туда). С более сложными выражениями вроде T D AB 4 «чайникам» рекомендую разбираться поэтапно, чтобы не запутаться: Сначала находим произведение: 5 11 3 6 0 7 ) 2 ( 2 1 1 3 2 ) 5 ( 1 ) 2 ( 3 1 3 3 3 ) 5 ( 3 ) 2 ( 1 1 2 3 1 ) 5 ( 2 2 3 1 5 2 1 3 3 1 2 AB затем считаем второе слагаемое: 8 28 12 4 4 20 2 7 3 1 1 5 4 4 T D и, наконец, всё выражение: 13 17 15 10 4 13 8 5 28 11 12 3 4 6 4 0 ) 20 ( 7 8 28 12 4 4 20 5 11 3 6 0 7 4 T D AB Более подготовленные читатели могут оформить решение «одной строкой»: 13 17 15 10 4 13 8 28 12 4 4 20 5 11 3 6 0 7 8 28 12 4 4 20 ) 2 ( 2 1 1 3 2 ) 5 ( 1 ) 2 ( 3 1 3 3 3 ) 5 ( 3 ) 2 ( 1 1 2 3 1 ) 5 ( 2 2 7 3 1 1 5 4 2 3 1 5 2 1 3 3 1 2 4 T D AB Ответ: действие C D T выполнить невозможно, 3 5 7 27 12 12 16 5 9 ) ( D A , 13 17 15 10 4 13 4 T D AB |