книга. Интенсивный курс Матрица, определитель и зачёт!
 Скачать 1.17 Mb.
|
|
С чего начать? Сначала в определителе нужно выбрать число-«мишень». В качестве «мишени» почти всегда выступает единица либо «минус единица». Смотрим на определитель и замечаем, что здесь даже выбор есть. Пусть числом-«мишенью» будет элемент 1 23 a : Напоминаю смысл двойных подстрочных индексов: индексы элемента 23 a говорят нам о том, что он расположен во 2-й строке, 3-м столбце. Теперь нам нужно получить два нуля в третьем столбце: либо получить два нуля во второй строке: Что вам больше нравится? Второй способ выглядит более привлекательным, т.к. во 2-й строке числа поменьше (вспоминаем золотое правило ). Но для науки я прорешаю и так, и так: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 44 1) Путь первый. Организуем нули в третьем столбце: Правило (элементарное преобразование): к строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится. «Другая строка», которую прибавляЮТ, остаётся неизменной – и это в точности строка с числом-«мишенью»: * * * 1 1 2 * * * 3 2 2 1 1 2 4 2 5 Чтобы получить ноль справа вверху, нужно МЫСЛЕННО или НА ЧЕРНОВИКЕ умножить вторую строку на –4: (–8, 4, –4) и к первой строке прибавить вторую строку, умноженную на –4 (прочитайте и осмыслите эту фразу несколько раз!): 0 2 3 || || || 4 4 8 4 2 5 Результат записываем в первую строку: * * * 1 1 2 0 2 3 3 2 2 1 1 2 4 2 5 Далее. Чтобы получить ноль справа внизу, МЫСЛЕННО или НА ЧЕРНОВИКЕ умножаем вторую строку на 3: (6, –3, 3) и к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на 3 (смотрим и вычисляем снизу вверх): 3 2 2 3 3 6 || || || 0 1 4 Результат записываем в третью строку и раскрываем определитель по третьему столбцу , понижая тем самым его порядок: 5 ) 8 3 ( 1 4 2 3 1 0 1 4 1 1 2 0 2 3 3 2 2 1 1 2 4 2 5 © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 45 2) Путь второй. Организуем два нуля во второй строке: «Зеркальное» правило: к столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится. Столбец, который прибавляЮТ, остаётся неизменным, и это столбец с числом- «мишенью»: 3 * * 1 * * 4 * * 3 2 2 1 1 2 4 2 5 Чтобы получить ноль посерединке, ко второму столбцу прибавим третий столбец. Тут третий столбец и домножать ни на что не пришлось: 1 ) 3 ( 2 0 1 1 2 4 2 Результат записываем во второй столбец: 3 1 * 1 0 * 4 2 * 3 2 2 1 1 2 4 2 5 Теперь получим ещё один ноль. Для этого нужно к первому столбцу прибавить третий столбец, умноженный (мысленно или на черновике) на –2: 4 6 2 0 ) 2 ( 2 3 ) 8 ( 5 Результат записываем в первый столбец, после чего раскладываем определитель по второй строке, сводя всё дело к определителю «два на два»: 5 ) 8 3 ( 1 4 2 3 1 3 1 4 1 0 0 4 2 3 3 2 2 1 1 2 4 2 5 Результат, естественно, получился тот же самый. А сейчас ВНИМАТЕЛЬНО и со всей ответственностью (!) прорешиваем аналогичную задачу: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 46 Пример 25 Вычислить тот же определитель 3 2 2 1 1 2 4 2 5 , выбрав в качестве числа-«мишени» элемент 22 a . Понизить его порядок двумя способами: получив нули во второй строке и получив нули во втором столбце. Полное решение и краткие комментарии в конце урока. Кстати, решение удобно контролировать с помощью Матричного калькулятора: получили новую строку или столбец и сразу занесли её в Эксель. Если определитель изменил значение, значит, допущена ошибка. И заметьте, что нет никакой необходимости переставлять строки или столбцы Элементарные преобразования прекрасно работают как слева направо, так и справа налево. Как сверху вниз, так и снизу вверх. Иногда в определителе отсутствует единица либо –1, например: 9 8 3 3 7 2 5 4 3 В этом случае «мишень» следует организовать с помощью дополнительного элементарного преобразования. Сделать это можно чаще всего несколькими способами. Например: к первой строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на –1: 8 3 1 || || || 3 7 2 5 4 3 Результат записываем в первую строку: 9 8 3 3 7 2 8 3 1 9 8 3 3 7 2 5 4 3 ! Внимание : НЕ НУЖНО из первой строки вычитать вторую строку, это значительно увеличивает вероятность ошибки. Только складываем! К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную –1. Именно так! Единица получена, чего и требовалось достичь. Но в некоторых случаях удаётся обойтись вообще без единиц, догадайтесь сами: Пример 26 Вычислить определитель, понизив его порядок 9 8 3 3 7 3 5 4 3 © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 47 Метод понижения порядка становится особенно актуальным, а порой и просто спасительным, для определителей «четыре на четыре», «пять на пять» и выше. Вспомним Пример 8: 3 6 1 2 1 1 1 1 0 2 1 5 1 1 2 3 – сколько времени мы потратили на вычисления?! И поэтому здесь можно (и нужно) свести решение к вычислению одного определителя «три на три». Единиц-«мишеней» тут много, и наша задача выбрать лучший вариант. Снова вспоминаем золотое правило : в строке (столбце) нулей должно быть побольше, а числа – поменьше. По этой причине нам подходит вторая строка либо четвёртый столбец. Четвёртый столбец выглядит привлекательнее, причём, там даже две единицы. В качестве «мишени» несколько удобнее выбрать элемент 1 14 a , чтобы все нули оказались ниже: Первая строка не изменится. И вторая тоже – там уже есть нужный ноль: * * * * * * * * 0 2 1 5 1 1 2 3 3 6 1 2 1 1 1 1 0 2 1 5 1 1 2 3 К третьей строке прибавим первую строку, умноженную (мысленно или на черновике) на –1 (смотрим и считаем снизу вверх): 1 1 1 1 1 1 2 3 || || || || 0 2 3 4 ! Внимание ещё раз : не нужно из третьей строки ВЫЧИТАТЬ первую строку. Только складываем! Результат записываем в третью строку: * * * * 0 2 3 4 0 2 1 5 1 1 2 3 3 6 1 2 1 1 1 1 0 2 1 5 1 1 2 3 © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 48 К четвёртой строке прибавим первую строку, умноженную (мысленно или на черновике) на 3 (смотрим и считаем снизу вверх): 3 6 1 2 3 3 6 9 || || || || 0 9 7 11 Результат записываем в четвёртую строку: 69 ) 368 437 ( 23 46 8 19 1 23 0 46 8 0 19 2 1 5 9 7 11 2 3 4 2 1 5 9 7 11 2 3 4 2 1 5 0 9 7 11 0 2 3 4 0 2 1 5 1 1 2 3 3 6 1 2 1 1 1 1 0 2 1 5 1 1 2 3 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( Дальнейшие действия: (1) Раскрываем определитель по четвёртому столбцу. Не забываем, что к элементу 1 14 a нужно добавить «минус» из «матрицы знаков» (см. Пример 8). Таким образом, порядок определителя понижен до трёх. (2) В принципе, его можно разложить по строке (или столбцу), но мы отработаем свойства определителя. Вносим минус во вторую строку. (3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 7. (4) Раскрываем определитель по второму столбцу, тем самым ещё раз понижая его порядок до двух. Заметьте, как сократилось решение! Главное, немного «набить руку» на элементарных преобразованиях, и такая возможность вам представится прямо сейчас: Пример 27 Вычислить определитель двумя способами: 3 6 9 2 1 1 0 1 0 2 11 5 1 1 8 3 а) получив нули в 3-й строке относительно элемента 34 a (пожалуй, наиболее выгодный вариант); б) получив нули в 1-й строке относительно элемента 13 a . © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 49 И Годзилла на закуску – тоже из реальной работы: Пример 28 Вычислить определитель пятого порядка: 5 1 1 1 2 1 4 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 2 1 1 4 Здесь наиболее удобный вариант – выбор третьего столбца и «белой вороны», то бишь, «минус единицы». Впрочем, неутомимые читатели могут попробовать решить определитель пятого порядка каким-нибудь другим способом, благо, единиц в нём тьма. Матрица знаков определяется в шахматном порядке с «плюсом» в левом верхнем углу. Само собой, вы вряд ли «один в один» повторите моё решение, но этого и не требуется – важно, чтобы совпали ответы. Следует отметить, что выбор строки или столбца для преобразований нередко обусловлен не только числами, но и удобством решения с субъективной точки зрения. Кому-то удобнее решать по строкам, а кому-то по столбцам. У «чайников» особенно популярен выбор «мишени» в 1-й строке, чтобы процесс напоминал метод Гаусса Решения с комментариями в конце курса, который подошел к концу :) Поздравляю! Теперь вы сможете совладать практически с любым заданием по теме! Что дальше? Дальше я рекомендую как можно скорее ознакомиться с важнейшими приложениями матричного исчисления: – Правило Крамера и матричный метод решения системы линейный уравнений (особенно актуально); – Матричные уравнения Более подробную информацию и дополнительные примеры можно найти в соответствующем разделе портала mathprofi.ru (ссылка на карту сайта). Спасибо за внимание, и успехов! © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 50 Решения и ответы Пример 1. Решение: 6 4 9 6 24 18 16 12 36 27 24 18 ) 6 ( 4 ) 3 ( 6 4 4 2 6 ) 6 ( 6 ) 3 ( 9 4 6 2 9 6 4 3 2 4 6 6 9 NM Пример 3. Решение: 12 19 3 4 0 0 2 1 ) 1 ( 2 3 6 0 3 2 0 ) 1 ( 1 3 0 2 1 4 0 1 2 6 3 0 1 Пример 5. Решение: 26 17 13 32 27 9 29 22 11 5 3 3 7 5 4 6 3 ) 1 ( 7 2 4 9 3 4 7 3 4 5 5 3 9 5 6 6 5 ) 1 ( 9 2 6 9 5 4 9 3 6 5 4 3 8 5 5 6 4 ) 1 ( 8 2 5 9 4 4 8 3 5 5 6 9 3 1 4 5 2 3 3 7 4 5 9 6 4 8 5 PS Пример 7. Решение: разложим определитель по второму столбцу: 204 48 156 ) 12 6 ( 8 0 ) 42 36 ( 2 ) 3 4 6 1 ( 8 0 ) 6 ) 7 ( 9 4 ( 2 6 4 3 1 8 9 7 3 1 0 9 7 6 4 ) 2 ( 9 8 7 6 0 4 3 2 1 Пример 8. Решение: разложим определитель по 1-му столбцу: 27 6 8 25 ) 2 1 ( 2 ) 2 6 ( ) 1 6 ( 5 1 1 2 1 2 6 1 2 1 ) 1 ( 6 1 1 1 5 6 1 2 1 1 1 2 1 5 Разложим определитель по 2-й строке: 69 2 16 55 ) 4 3 ( 2 ) 2 18 ( ) 1 12 ( 5 1 2 2 3 2 6 2 1 3 1 6 1 1 2 5 6 1 2 2 1 5 1 2 3 © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 51 Разложим определитель по 3-й строке: 9 13 1 5 ) 10 3 ( ) 5 6 ( ) 1 4 ( 1 5 2 3 1 2 5 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 5 1 2 3 Таким образом: 69 27 69 27 ) 9 ( ) 3 ( 69 1 0 27 1 D Пример 10. Решение: 24 30 6 5 6 3 2 3 6 5 2 1 21 20 7 3 4 5 4 3 7 5 29 25 4 5 5 ) 2 ( 2 2 5 5 2 41 35 6 7 5 ) 3 ( 2 3 5 7 2 1 14 15 7 ) 2 ( ) 3 ( 5 3 2 7 5 27 15 12 3 5 ) 2 ( 6 2 5 3 6 38 20 18 4 5 ) 3 ( 6 3 5 4 6 33 31 23 22 21 13 12 M M M M M M M Проверка: ) 3 ( 24 4 29 7 27 ) 2 ( 24 3 29 5 27 5 24 6 29 2 27 ) 3 ( 34 4 41 7 38 ) 2 ( 34 3 41 5 38 5 34 6 41 2 38 ) 3 ( 1 4 1 7 1 ) 2 ( 1 3 1 5 1 5 1 6 1 2 1 3 2 5 4 3 6 7 5 2 24 29 27 34 41 38 1 1 1 1 B B E 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , что и требовалось проверить. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 52 Пример 13. Решение: 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 ) 1 ( 0 0 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 1 0 1 1 ) ( CD D C Ответ: 0 1 1 2 ) ( D C Пример 15. Решение: 1) Используем формулу C B A C B A ) ( 18 16 ) 1 ( 16 1 2 1 16 0 2 1 1 1 0 16 2 ) ( 16 2 2 2 ) 3 ( 1 3 3 1 2 4 1 0 3 2 1 3 4 3 0 2 1 3 C B A C B A B A 2) Используем формулу ) ( C B A C B A 18 16 ) 1 ( 2 7 1 ) 3 ( 3 2 2 ) 3 ( 1 3 3 1 2 7 3 3 3 2 1 3 ) ( 1 2 7 3 3 3 ) 1 ( 2 1 1 1 2 0 1 ) 1 ( 3 1 4 1 3 0 4 ) 1 ( 3 1 0 1 3 0 0 1 1 1 0 2 1 3 4 3 0 C B A C B A C B |