Главная страница
Навигация по странице:

  • Метод итераций

    		•

    математическое моделирование. 71_задания. Используя заданную функцию f(x), которая выбирается из таблицы 1 по числу N


    Скачать 324.07 Kb.
    НазваниеИспользуя заданную функцию f(x), которая выбирается из таблицы 1 по числу N
    Анкорматематическое моделирование
    Дата05.02.2022
    Размер324.07 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла71_задания.docx
    ТипДокументы
    #352422
    страница4 из 5
    1   2   3   4   5

    Задание 5.


    Задана система нелинейных уравнений:

    f1(x1,x2) = 0,

    f2(x1,x2) = 0
    Уравнения системы выбираются изтаблицы № 2 в зави­симости от числа N10. Требуется решить эту систему заданным в соответствии с номером варианта методом. Метод выбрать по числу N2+1 из следующего списка:

    Метод итераций

    N10
    f1(x1,x2)
    f2(x1,x2)

    1
    x1-cosx2 = 3
    sinx1 + 2x2 = 2


    Пусть дана нелинейная система n уравнений с n неизвестными, корни которой необходимо найти с заданной точностью .

     (1)

    Для решения данной системы можно применить метод простой итерации с параметрами, алгоритм которого приведен ниже.

    1. Задаем точность вычисления ɛ (обычно ɛ=10-3 – 10-6.

    2. Переписываем систему виде (1):

    3. Выбираем начальное приближение 

    4. Полагаем переменную k, которая нумерует приближения, равной нулю.

    5. Полагаем Тi=1, i=1,2,…,n.

    6. Вычисляем (k+1)-е приближение по формуле (2).

     (2)

    7. Проверяем условие (3):

     (3)

    Если это условие выполняется, то Х(k+1) – искомое приближение к решению и итеративный процесс закончен. В противном случае пересчитываем значение Тi(i=1,2,…,n), для чего переходим к пунктам 8-9, которые выполняются для всех i.

    8, Проверяем качество нового приближения.

     (4)

    Если условие выполняется, то проверяем пункт 6 при следующем i, в противном случае переходим к пункту 9.

    9. Подбираем новое Тi. Если Тi>0, то заменяем Тi на -Тi, в противном случае на -Тi/2. После корректировки Тi возвращаемся к пункту 6, увеличив k на единицу.

    Построим графики

    x1=3+cos(x2)
    x2=(2-sin(x1))/2

    x1
    x2
    x1
    x2

    2,346356
    -4
    0
    1

    2,103242
    -3,6
    0,2
    0,900665

    2,001705
    -3,2
    0,4
    0,805291

    2,057778
    -2,8
    0,6
    0,717679

    2,262606
    -2,4
    0,8
    0,641322

    2,583853
    -2
    1
    0,579265

    2,9708
    -1,6
    1,2
    0,53398

    3,362358
    -1,2
    1,4
    0,507275

    3,696707
    -0,8
    1,6
    0,500213

    3,921061
    -0,4
    1,8
    0,513076

    4
    -5,6E-16
    2
    0,545351

    3,921061
    0,4
    2,2
    0,595752

    3,696707
    0,8
    2,4
    0,662268

    3,362358
    1,2
    2,6
    0,742249

    2,9708
    1,6
    2,8
    0,832506

    2,583853
    2
    3
    0,92944

    2,262606
    2,4
    3,2
    1,029187

    2,057778
    2,8
    3,4
    1,127771

    2,001705
    3,2
    3,6
    1,22126

    2,103242
    3,6
    3,8
    1,305929

    2,346356
    4
    4
    1,378401




    Задаем начальные приближения x0 = 3, y0 = 1

    Запишем достаточное условие сходимости и определяем M1 и M2





    |1/M1|+|sin(y)/M1| < 1

    |cos(x)/M2|+|2/M2| < 1

    M1 = 2

    M2 = 4

    Переходим к реализации итерационного процесса:

    xk+1 = xk – (xk-cos(yk) – 3)/2

    yk+1 = yk – (sin(xk) + 2yk – 2)/4

    Первая итерация

    x1 = x0 – (x0-cos(y0) – 3)/2 = 3-(3-cos(1)-3)/2 = 3,2702

    y1 = y0 – (sin(x0) + 2y0 – 2)/4 = 1-(sin(3)+2*1)/4 = 0,9647

    остальные расчеты сведем в таблицу

    №
    xk
    yk
    xk+1
    yk+1
    |xk-xk+1|
    |yk-yk+1|

    1
    3,0000
    1,0000
    3,2702
    0,9647
    2,7015E-01
    3,5280E-02

    2
    3,2702
    0,9647
    3,4199
    1,0144
    1,4975E-01
    4,9691E-02

    3
    3,4199
    1,0144
    3,4740
    1,0759
    5,4110E-02
    6,1476E-02

    4
    3,4740
    1,0759
    3,4745
    1,1195
    4,7093E-04
    4,3638E-02

    5
    3,4745
    1,1195
    3,4553
    1,1415
    1,9186E-02
    2,1930E-02

    6
    3,4553
    1,1415
    3,4358
    1,1479
    1,9512E-02
    6,4174E-03

    7
    3,4358
    1,1479
    3,4231
    1,1464
    1,2678E-02
    1,4457E-03

    8
    3,4231
    1,1464
    3,4174
    1,1427
    5,6799E-03
    3,7618E-03

    9
    3,4174
    1,1427
    3,4163
    1,1394
    1,1274E-03
    3,2461E-03

    10
    3,4163
    1,1394
    3,4172
    1,1375
    9,1180E-04
    1,8943E-03

    11
    3,4172
    1,1375
    3,4185
    1,1368
    1,3159E-03
    7,2777E-04

    12
    3,4185
    1,1368
    3,4195
    1,1368
    9,8816E-04
    4,7385E-05

    13
    3,4195
    1,1368
    3,4200
    1,1370
    5,1557E-04
    2,1390E-04

    14
    3,4200
    1,1370
    3,4202
    1,1372
    1,6075E-04
    2,3089E-04

    15
    3,4202
    1,1372
    3,4202
    1,1373
    2,4381E-05
    1,5408E-04

    16
    3,4202
    1,1373
    3,4201
    1,1374
    8,2105E-05
    7,1181E-05

    17
    3,4201
    1,1374
    3,4200
    1,1374
    7,3352E-05
    1,5856E-05

    18
    3,4200
    1,1374
    3,4200
    1,1374
    4,3871E-05
    9,7040E-06

    19
    3,4200
    1,1374
    3,4199
    1,1374
    1,7532E-05
    1,5397E-05


    Корни системы x = 3,4199; y = 1,1374

    Проверим в MathCad



    Функция Minner очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minner возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minner такие же, как и функции Find.

    1   2   3   4   5

    написать администратору сайта