математическое моделирование. 71_задания. Используя заданную функцию f(x), которая выбирается из таблицы 1 по числу N
 Скачать 324.07 Kb.
|
Задание 2.Используя полученные на предыдущем этапе точки построить аппроксимирующие полиномы второго порядка у = d2х2 + d1x + d0 методом наименьших квадратов при всех одинаковых весовых коэффициентах и при весовом коэффициенте в третьей точке в 3 раза большем, чем в остальных (т.е. при  3=3). Получить среднеквадратичную погрешность аппроксимации, величину квадратичного критерия близости и расчётное значение y в третьей точке. Сравнить полученные результаты. Сделать выводы о том, устраивает ли полученное аппроксимирующее уравнение второго порядка по погрешности, сравнивая среднеквадратичную погрешность с заданной в обоих случаях, т.е. и при всех одинаковых весовых коэффициентах и при 3=3. Если результат не утраивает, то, что делать в таком случае дальше. Также проанализировать, как повлияло введение весового коэффициента 3=3 на точность аппроксимации в третьей точке (по величине абсолютной погрешности в этой точке) и на точность аппроксимации в целом, (по величине критерия близости). Примечание: Задача аппроксимации, таким образом, выполняется дважды. В обоих случаях необходимо привести выводы всех расчётных формул и алгоритм расчёта, а не просто результат по готовому пакету программ. При решении разного рода задач, часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек (xi, yi), где i = 0, ..., n. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислять значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице. Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость f(x), при которой  т.е., обращается в минимум. Рассмотрим в качестве функциональной зависимости квадратичную функцию:  Функция R(a, b, c) будет принимать минимальное значение, если частные производные обращаются в нуль:    Собираем коэффициенты при неизвестных a, b, c получаем систему уравнений:  Запишем систему в матричном виде: Запишем систему в матричном виде: AX = B    Тогда, решение можно записать в виде: X = A-1B A-1 – обратная матрица Для наших данных
Построим расчетную таблицу
Тогда:  Аппроксимирующий полином второго порядка при равенстве весовых коэффициентов имеет вид: y = 4,1823x2 + 74,712x + 314,79 Составим таблицу, в которую запишем как расчётные у, так и значения y заданные. Таблица 4 – Значения f(x), yрасч при равных коэффициентах
Квадратичный критерий близости:  Среднеквадратичная погрешность аппроксимации:  δ = (0,008884/5)^0,5 = 0,042 Определение аппроксимирующей функции при помощи метода наименьших квадратов при неравных весовых коэффициентах d1 = d2 = d4 = d5 = 1; d3=3 В этом случае система уравнений, реализующая метод наименьших квадратов запишется в виде:  Построим расчетную таблицу
Тогда:  Аппроксимирующий полином второго порядка при неравенстве весовых коэффициентов имеет вид: y = -0,001*x^2+1,863*x+0,295 Составим таблицу, в которую запишем как расчётные у, так и значения y заданные. Таблица 4 – Значения f(x), yрасч при неравных коэффициентах
Квадратичный критерий близости: Среднеквадратичная погрешность аппроксимации: δ = (32,95/7)^0,5 = 2,17 Построим графики  Рис. 1 - Графики аппроксимирующих полиномов и исходной функции Расчетные значения для равных коэффициентов: f(-9,7) = 4,1823*(-9,7)^2 + 74,712*-9,7 + 314,79 = -16,4 Расчетные значения для неравных коэффициентов: f(-9,7) = -0,001*(-9,7)^2+1,863*-9,7+0,295 = -17,87 Расчетные значения для исходной функции: f(-9,7) = -16,33 Вывод Сравнивая расчетные значения аппроксимирующих функций в третьей точке x = -9,7 и построенных графиков функций (рисунок 1), можно сделать вывод, что аппроксимирующий полином с весовым коэффициентом 3 при х = -9,7 менее точно описывает исходную функцию в окрестности этой точки. Снижение точности в одной точке вызывает увеличение среднеквадратической погрешности, а также величину квадратичного критерия близости, что связано с ухудшением аппроксимации в остальных точках. Парабола на этом отрезке вырождается в прямую. |