Исследование функции у f(Х) и построения ее графика 1) Находим область определения функции у f(X)
 Скачать 1.67 Mb.
|
|
(20)Двойной интеграл – основные понятия и определения Двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.  Пусть в замкнутой области D на плоскости Oxy задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей»  (i=1,n), площади которых обозначим через  (рис.1). В каждой области выберем произвольную точку  , умножим значение функции  в этой точке на  и составим интегральную сумму: .Определение двойного интеграла: Предел при  интегральных сумм  , не зависящий от способа разбиения области D на части и от выбора в них точек  , называется двойным интегралом от функции  по области D. и обозначается  .Таким образом, двойной интеграл определяется равенством  . Если разбиение области D проводить прямыми параллельными координатным осям, то элемент площади ds=dxdy и двойной интеграл в декартовых координатах записывается в виде  .В этом случае функция называется интегрируемой в области D и обозначается  , а область D называется областью интегрирования. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция интегрируема в этой области.Геометрический смысл двойного интеграла:  Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z=f(x,y)>0, снизу –замкнутой областью D плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью с образующей - параллельной оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 2). Такое тело называется цилиндрическим. Составим для функции интегральную сумму  , при этом каждое слагаемое в интегральной сумме определяет объем элементарного параллелепипеда с основанием и высотой , т.е.  . Тогда объем цилиндрического тела  . Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры элементарных областей . Если число площадок неограниченно увеличивается (  ), а каждая площадка стягивается в точку, то за объем цилиндрического тела принимаем величину .Итак, геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции – объем цилиндрического тела. В частности, если считать  , то численно значение двойного интеграла будет равно площади области D  .Физический смысл двойного интеграла: Требуется найти массу плоской пластины, если известна ее поверхностная плотность ρ(x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i=1,n), с площадями . В каждой области выберем произвольную точку и вычислим плотность в ней  . Если области малы, то приближенно можно считать что, плотность в каждой точке  малоотличается от значений и масса площадки  . Тогда масса всей пластины задается приближенным равенством  . Точное значение массы получим при условии . Таким образом, физический смысл двойного интеграла – это масса плоской области D  .Пример:  |