Исследование функции у f(Х) и построения ее графика 1) Находим область определения функции у f(X)

• Название: Исследование функции у f(Х) и построения ее графика 1) Находим область определения функции у f(X)
• Дата: 11.10.2019
• Размер: 1.67 Mb.
• Имя файла: 13-20.docx
• Тип: Исследование; #89604
• страница: 1 из 10

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЮ ИХ ГРАФИКОВ.

Можно предложить следующую схему исследование функции у = f(х) и построения ЕЕ графика:

1) Находим область определения функции у = f(x).

2) Исследуем функцию на четность, нечетность и периодичность (для тригонометрических функций).

3) Находим точки пересечения функции у = f(x) с осями координат (если их можно найти).

4) Находим производную f '(x) и критические точки.

5) Находим промежутки возрастания, убывания, точки экстремума, экстремумы функций.

6) Исследуем поведение функции на концам промежутков области определения (если можно исследовать).

7) Используя полученные результаты, строим график функции или его эскиз.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решения. 1) Область определения: D(f) = R.

функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.

3) Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Оу: (решите уравнение самостоятельно).

Итак, имеем точки пересечения с осями координат: (0;-4), (2;0), (-2;0).

критические точки х₁ = 0; х₂= 1; х₃ = -1.

5) Составляем таблицу, в которой обозначаем промежутки возрастания, промежутки убывания и критические точки:

 

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		-4,5		-4		-4,5
Вывод	Функция спадает	min	Функция возрастает	mах	Функция спадает	mиn	Функция возрастает

 

В таблице приведены также выводы об критические точки (являются ли они точками точками максимума или минимума).

6) Поскольку D(f) = R, то нет концов области определения.

7) Строим график функции используя результаты исследования - рисунок 105.

 



 

Построение графика функций (или его эскиза) помогает при решении некоторых задач, связанных с нахождением корней уравнения (их количества, ближайших значений и т.п.).