К. Т. Тажибаев др техн наук, профессор, засл деятель науки кр
 Скачать 2.19 Mb.
|
|
3.2. Полный тензор естественных напряжений в породном массиве Полный тензор естественных напряжений в породном массиве, в общем случае, может быть записан в виде 40 Т Т Т Т Т Г ГС Т Т , (28) где Т Г – тензор гравитационных напряжений Т ГС – тензор гидростатических напряжений Т Т – тензор тектонических напряжений Т Т – изменение тензора тектонических напряжений во времени. Если тензоры предыдущего равенства записать в матричной форме, то получим Т = х ху х ух у у у + х ху ух у у у + ху с с ух у с у х с у с + х Т ху Т х Т ух Т у Т у Т х Т у Т Т (29) Как правило, оси координат направляют вертикально и горизонтально, в результате чего они совпадают с главными осями гравитационного и гидростатического напряжения. В этом случае выражение для тензора естественных напряжений запишется в виде Т = Г Г Гс с с + х ху ух у у у (30) В общем случае главные оси тектонических напряжений могут не совпадать с главными осями гравитационных и гидростатических напряжений. Главные тектонические напряжения могут быть вычислены решением кубического уравнения 3 1 2 2 3 0 I I I (31) Здесь величины I 1 , I 2 , I 3 , называемые инвариантами тензора напряжений, определяются из формулы I x у z 1 I x у у z z x xу уz zx 2 2 2 2 (32) I x уху у zx x уz у xz z у 2 2 2 2 Необходимые для решения этих уравнений компоненты напряжений х, уху, ух могут быть получены непосредственным измерением величин. В наиболее общем виде напряженное состояние в какой-либо точке массива может быть описано тензором второго ранга, называемом тензором напряжений. Обычно тензор напряжений записывают в виде матрицы его компонентов Т = х ух ху у у у , (33) где х, у, σ z – нормальные, τ ху , τ xz , уху, τ zx , у – касательные напряжения. Тензоры напряжений являются симметричными, те. τ ху = уху у. Поэтому в общем случае тензор напряжений может быть полностью охарактеризован шестью его компонентами. Иначе говоря, чтобы вычислить значения напряжений на площадках, любым произвольным образом ориентированных в пространстве, достаточно знать составляющие нормальные и касательные напряжения, действующие на трех любых взаимно перпендикулярных площадках. Существенно важно, что каким бы ни было поле напряжений массива в целом, и напряженное состояние любой его точки, в каждой из точек существуют три таких взаимно ортогональных направления (ипритом единственных, при которых все касательные компоненты тензора напряжений имеют нулевые значения. Отличными от нуля остаются только три нормальных напряжения, называемые главными значениями тензора напряжений или главными нормальными напряжениями. Матрица тензора напряжений, выраженная главными его значениями, принимает вид Т = 0 0 0 0 0 0 (34) Индексы 1, 2, 3 в матрице тензора обычно присваивают главным напряжениям таким образом, чтобы σ 1 было алгебраически максимальным, σ 2 – промежуточным значениям, σ 3 – алгебраически минимальным. Если напряженное состояние породного массива определяется только действием гравитационных сил, то каждый элементный блок под воздействием вертикального гравитационного напряжения σ, будет испытывать деформации сжатия в вертикальном σ 1 = Ни деформации растяжения в горизонтальных направлениях. Однако последним препятствует реакция окружающих пород, в результате чего возникают горизонтальные сжимающие напряжения σ 2 и σ 3 численно равные σ 2 = σ 3 = Н = γH , (36) где λ – коэффициент бокового распора. Этот коэффициент показывает, какую часть вертикальной нагрузки, действующей в рассматриваемой точке массива, составляют силы при напряжении, действующие в горизонтальной плоскости. Поскольку μ изменяется в пределах 0,08 до 0,5, то возможные пределы изменения составляют от 0,1 до 1. При слоистом строении массива значения горизонтальных напряжений и σ 3 определяются конкретными значениями коэффициентов поперечных деформаций для соответствующего слоя. В связи с этим, если вертикальное напряжение σ 1 будет монотонно возрастать по мере увеличения глубины рассматриваемых слоев, то горизонтальные напряжения σ 2 и σ 3 при общей тенденции возрастания могут как увеличиваться, таки уменьшаться при переходе от слоя к слою. Поля тектонических напряжений гораздо менее однородны, чем поля гравитационных. Их параметры могут значительно изменяться как в пространстве, таки во времени. В частности, изменчивы ориентировка осей главных напряжений и их абсолютные значения. Изменение тектонических напряжений может быть охарактеризовано вертикальным градиентом тектонических сил Т, выражающим зависимость максимального главного горизонтального сжимающего напряжения от глубины. Градиент Т в общем случае является переменной величиной, зависящей от строения массива и рельефа земной поверхности. Рассматривая напряженное состояние какого-либо элементарного объема в массиве, подверженном действию горизонтальных тектонических сил, можно утверждать, что одно из главных нормальных горизонтальных напряжений численно равно δ 1 = Т Н , (37) где Т Н – горизонтальное тектоническое напряжение в рассматриваемом массиве. Для напряжений σ 2 и σ 3 справедливы следующие соотношения 2 S 3 , Н Н Т Т (38) причем, 0 i i (39) Общее выражение тензора напряжений для какого-либо участка массива можно представлять в виде суммы двух тензоров Т = Т + Т Т (40) где Т , Т Т – тензоры напряжений, обусловленные соответственно действием гравитационного и тектонического полей напряжений Т = Н Н Н, (41) Т Т = т ∆ Т Н 0 0 0 т ∆ Т Н 0 0 0 т ∆ Т Н , (42) где Т – значение горизонтальных тектонических напряжений на уровне дневной поверхности. Естественное поле напряжений в платформенных породных массивах. В тех районах, где массив горных пород находится в зонах растяжения или хотя бы не подвержен активному горизонтальному сжатию тектоническими силами, напряженное состояние пород можно оценить по методу АН. Динни- ка (рисунок 17). Рисунок 17. Расчетная схема к оценке напряжений в зонах не подверженных активному горизонтальному сжатию 43 1 Н 2 Н , (43) где 1 – вертикальное главное напряжение 2 и 3 – горизонтальные главные напряжения – коэффициент поперечной деформации. Значения коэффициента бокового распора для различных типов пород различны. Породы с малым коэффициентом бокового распора (менее 0,5) являются, как правило, прочными, с ясно выраженными упругими свойствами. К ним относятся большинство магматических и метаморфических порода также песчаники и известняки. Породы со средним значением коэффициента бокового распора (0,5–0,8) являются более пластичными (сланцы, алевролиты, аргил- литы, мергели). Породы с высоким коэффициентом бокового распора (более 0,8) обладают низкой прочностью, резко выраженными свойствами ползучести и релаксации, способными к газо- и водонасыщению, сильно нарушенными глина, пылеватые породы, песок. Для неоднородного породного массива величина горизонтальных напряжений зависит от изменения свойств пород. При слоистом строении массива, обладающего свойствами анизотропии, в зависимости от угла наклона слоев и параметров анизотропии пород значения коэффициентов бокового распора изменяются. Их величина с учетом анизотропии остается в пределах 0,15 – 0,70. Породы с выраженной способностью к медленному и непрерывному вязкому течению (глины, глинистые сланцы, калийные соли) со временем переходят в пластическое состояние, что приводит к гидростатическому распределению напряжений. Таким образом, коэффициент бокового распора зависит от типа породив предельном случае равен единице. Гипотеза АН. Динника на некоторых месторождениях получила экспериментальное подтверждение. Большинство результатов измерений напряжений в различных районах Земли говорят о том, что распределение напряжений в реальном массиве гораздо сложнее. Особенно это характерно для горных районов (Хибины, горная Шория, Урал, Тянь- Шань) с резко выраженным рельефом и продолжающимися тектоническими процессами. Величина напряжений в этих районах значительно превосходит расчетные по гипотезе АН. Динника, причем преобладающим направлением максимальных напряжений является горизонтальное. Следовательно, в массиве образуются дополнительные поля напряжений. В районах, в которых массив горных пород находится в зонах сжатия или сдвига (а их по-видимому, подавляющее большинство, для расчета напряжений можно взять метод, построенный на концепции о предельно напряженном состоянии массива горных пород в этих районах. Горизонтальное сжатие земной коры создает условия для деформирования части ее, прилегающей к земной поверхности и установления предельно напряженного состояния в массиве горных пород. Это означает, что максимальную составляющую напряжений в массиве горных пород 1 образует активная сила, действующая в горизонтальной (или близкой к ней) плоскости. Действие этих напряжений уравновешивается за счет влияния веса горных пород до земной поверхности. Действующие в вертикальном направлении напряжения 3 = Н. Промежуточное напряжение 2 , действующее в горизонтальной плоскости, будет определяться как боковой отпорот и 3 (рисунок 18). Вблизи земной поверхности величину 1 принимают равной прочности массива на сжатие с учетом коэффициента структурного ослабления 0. На глубине Н пл 1 = Н пл + 2 max , где max – величина сопротивления пород сдвигу по паспорту прочности в условиях идеальной пластичности на глубине Н пл . На глубине Н г наступает гидростатическое напряженное состояние. Тогда 1 2 3 Н (44) В процессе дальнейших исследований приведенные зависимости должны быть уточнены. В частности, зависимость напряженного состояния от глубины на участке от земной поверхности до глубины Н пл , может быть охарактеризована аналитической зависимостью, следующей из условия Кулона–Мора для предельно напряженного состояния. Рисунок 18. Расчетная схема к оценке напряжений в зонах сжатия земной коры а – общая схема б – расчетная модель массива Условие Кулона–Мора с достаточной точностью может быть задано в виде уравнения эллипса (рисунок 19): Рисунок 19. Аппроксимация паспорта прочности 45 2 2 2 2 2 16 р, (45) где = р – Н, р Н пл R = max / 0 ; R – коэффициент, зависящий от прочностных свойств горного массива, а также от их возможного упрочнения с увеличением глубины 0 – предел прочности на одноосное сжатие с учетом коэффициента структурного ослабления. Главные напряжения 1 , 2 и 3 определяют по формуле 1 Н+ 2 ; 2 = Н +; 3 Н (46) Эти зависимости справедливы для оценки напряжений в области предельного состояния массива до глубины Н пл (Н пл – глубина, на которой имеет место наступление идеальной пластичности Величина Н пл ориентировочно может быть принята (0,3–0,5)Н г . Величина Н г , по которой устанавливают гидростатическое распределение напряжений, зависит от температуры и средней прочности горного массива. Для этого случая можно предложить, например, следующее изменение температуры t с увеличением глубины Н (таблица 8). Таблица 8 – Изменение температуры с увеличением глубины Н, км 1 10 50 100 T, градус 30 300 1500 3000 Отмечается также, что большинство пород имеет температуру плавления не более С Н г = 50 км принято с запасом. Следует ожидать, что за счет всестороннего давления величина Н г будет значительно меньше. Таким образом, величина Н г находится, по-видимому, в интервале 25–50 км. Сопротивление сдвигу (предел текучести) 1 при Н Н пл будет уменьшаться и стремиться к нулю при Н Н г , поскольку в жидком состоянии 0. При Н Н пл примем линейную зависимость изменения 1 следующей 1 Н Н Н Н г г пл (а) Главные напряжения 1 , 2 , 3 определяют по формулам 1 Н+ 2 1 ; 2 = Н + 1 ; 3 Н (47) Эти зависимости позволили выполнить расчеты напряжений в зоне сжатия земной коры (рисунок 20). Условно были приняты следующие значения исходных параметров 0 = 40 МПа Н г = 25 км. Графики показывают, что величина растет с увеличением глубины разработки за счет увеличения всестороннего сжатия, далее она падает вследствие снижения предела текучести породи при Н Н г величина 1 – 3 стремится к нулю, так как в жидком состоянии породы не выдерживают касательных напряжений. При Н Н г распределение напряжений в зоне сжатия земной коры будет гидростатическим. Из рассмотрения графиков следует также, что для практических целей достаточно прямолинейной аппроксимации распределения напряжений. На рисунке 21 представлены различные варианты распределения напряжений, а на рисунке 22 – фрагмент поля напряжений для интервала глубин, на которых имеются данные инструментальных измерений (сумма 1 + 2 ). Отметим, что некоторая совокупность экспериментальных точек может соответствовать и упругому состоянию горного массива. Тем не менее, предложенные зависимости в целом удовлетворительно описывают экспериментальные данные и могут, в первом приближении, использоваться для оценки напряжений в зонах земной коры. Рисунок 20. Пример расчета напряжений в зоне сжатия земной коры 1, 2 – соответственно, 3 и 1 ; 3 – Рисунок 21. Схема к оценке главных напряжений 1 , соответствующих предельно напряженному состоянию земной коры на всю ее мощность толщину) Рисунок 22. Изменение суммы главных горизонтальных напряжений с глубиной в породах кристаллического фундамента платформ ив осадочных комплексах разных районов мира (по П.Н. Крапоткину): ·· Балтийский щит о – палеозойские складчатые пояса – области мезозойской и кайнозойской складчатости х – изверженные породы Исландии 1 – при о МПа 2 – при о МПа 3, 5 – по И.Т. Айтматову; 4 – по П.В. Егорову; 6 – по Н. Хиту, М. Нильсону Выше рассмотрен случай, в котором величина горизонтальных напряжений сжатия такова, что весь массив горных пород находится в предельно напряженном состоянии. Показателем необходимой величины напряжений может служить средняя величина напряжений ср (рисунок 23), которая заключена в следующих пределах с с с р min р р max , (48) где с сж сж пл пл г сж пл г пл г R Н Н Н R Н Н Н Н р max 1 2 1 2 1 ; с D D г D г D г Н Н Н Н Н Н Н р min 1 2 1 2 1 ; (49) величины ср max и ср min соответствуют случаям предельно напряженного и упругого массивов. Если величина ср находится в промежутке между максимальными минимальным значениями, то горизонтальных сил уже недостаточно для перехода в предельно напряженное состояние массива. Таким образом, если напряжения в массиве формируются горизонтальными силами интенсивности с с р р , (50) где средняя величина приращения напряжений по глубине, то эта величина будет меняться в пределах от 0 до ср max - ср min . При увеличении от нуля до некоторой величины 1 точка М, являющаяся максимальным значением горизонтальных напряжений (рисунок 23) будет скользить по эпюре вплоть до земной поверхности. Точка М окажется наземной поверхности, если величина 1 будет следующей 1 1 2 c сж Г Н р max (51) Рисунок 23. Схема формирования напряжений в массиве горных пород – r - горизонтальные напряжения в зонах сжатия – r – тоже, в зонах растяжения (по АН. Диннику) Координату точки максимума Нм определяют из выражения с Г м Г сж М Г Н Н Н Н Н р max , р , р 0 5 1 0 5 р сж пл cж сж М Г Н R Н Н , 0 1 (52) При дальнейшем увеличении до некоторой величины 11 горизонтальные напряжения наземной поверхности уже будут меньше величины сж и постепенно уменьшатся до нуля. Величина 11 , соответствующая нулевому значению горизонтальных напряжений наземную поверхность, определится при этом из выражения 11 1 2 с Г Н р max , (53) При дальнейшем увеличении до конечной величины 111 с с nin р max р, соответствующей представлению горизонтальных напряжений нетронутого массива по АН. Диннику, эпюра горизонтальных напряжений г будет изменяться от эпюры Г Н , соответствующей гидростатическому распределению напряжений в нетронутом массиве до величины Н (где = / (1-) – коэффициент бокового распора, – среднее значение коэффициента Пуассона в горном массиве. Глубина Н правомерности решения АН. Динника, как правило, небольшая. Так, статистика горных ударов свидетельствует о том, что уже при глубинах разработки Нм величина 0,7. Отработка нефтяных месторождений показала, что уже при Н км =0,85. Если Н не превышает км, то при определении min р по формуле (49) эту величину можно вычислить с достаточной точностью, принимая Н =0: c Г Н р min 1 2 (54) Пример. Примем следующие исходные значения параметров Н Г =25 км Н пл =15 км Н 1 км сж = 30 МПа К =4. При этих условиях max р 382 МПа 1 = 54 МПа 11 = 69 МПа 111 =69 МПа. Таким образом, если изменяется от нуля до 54 МПа, точка М скользит по предельной кривой от Н пл до земной поверхности. При изменении от 54 до 69 МПа горизонтальные напряжения наземной поверхности уменьшаются от сж =30 МПа до нуля. Далее имеет место распределение горизонтальных напряжений в массиве по АН. Диннику. Рассмотренная выше схема оценки напряженного состояния массива горных пород в зонах земной коры представляет интерес, прежде всего тем, что она показывает основную идею существа концепции о предельно напряженном состоянии горного массива и может способствовать ее дальнейшему развитию. Вместе стем, уже на данном этапе эта схема позволяет выполнять оценочные расчеты, например, при анализе механизма энергии землетрясений типа происшедшего в Спитаке 07.12.1988 г. |