Финансовая грамотность. ВКР vadelova VKR_2021 19июня2021 окончательный вариант. Кафедра высшей математики и методики обучения математике Выпускная квалификационная работа методическое сопровождение изучения понятий финансовой математики обучающимися средней школы
 Скачать 1.44 Mb.
|
|
ГЛАВА 2 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВОПРОСОВ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ 2.1 Методика решения финансовых задач Общий подход к решению любых математических задач, по своей сути, является моделью разумного подхода к решению бытовых, практических, технических задач, которые будут повседневно встречаться человеку на протяжении всей его жизни. Поэтому немало важным в курсе школьной математики является обучение учащихся решать задачи финансовой математики разного уровня сложности. От эффективности применения задач в обучении реальной математике во многом зависит и степень подготовленности школьников к последующей за обучением практической деятельности в любой сфере производства и культуры. В свою очередь решение задач, с методической точки зрения, используется для достижения различных учебных целей: мотивации и интереса к учебной деятельности у учащихся, для иллюстрации и конкретизации учебного материала, выработки у учащихся специальных умений и навыков, для контроля и оценки результатов учебной деятельности [13]. Решение задач финансовой математики целесообразно начинать в 5–6 классах, базируясь на знаниях и опыте, полученном еще в начальной школе. Решая задачи финансовой математики, представленные в продуманной системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умение мыслить творчески. Это проявляется, например, в умении видоизменять заданную ситуацию, с целью создать условия, приемлемые в жизни; в умении изобретать новые приемы для решения задач; в умении выделять и накапливать потенциально полезную информацию; в умении конструировать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результаты решения и т. д. 20 В курсе математики 5–9 классов рассматриваются два основных способа решения задач финансовой математики, это арифметический и алгебраический. • Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения и подсчета результата. • Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач. Практическая ценность обучения школьников решению задач реальной математики разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, чтобы раз и навсегда вооружить их приемами решения различных задач, которые будут возникать в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их жизненный опыт, мыслительную деятельность. Ведь определенный прием решения задач может быть просто забыт, или вытеснен в дальнейшем обучении общим приемом [3, с. 78]. Чтобы развитие такого качества личности, как смекалка, было не просто результатом процесса обучения решению задач реальной математики, а было закономерным планируемым результатом обучения, необходима специальная организация самого процесса обучения. Поэтому весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов: 1) первый этап – анализ условия задачи; 2) второй этап – схематическая запись условия задачи; 3) третий этап – поиск способа решения задачи; 4) четвертый этап – осуществление решения задачи; 5) пятый этап – проверка решения задачи; 6) шестой этап – исследование задачи; 7) седьмой этап – формулирование ответа задачи; 8) восьмой этап – анализ решения задачи [3, с. 91]. 21 В настоящее время на практике прослеживается тенденция уделять достаточное количество времени лишь нескольким первым этапам: анализу условия задачи, составлению схематической записи по условию задачи, осуществлению решения и формулированию ответа задачи; в то время как другим этапам решения задачи уделяется гораздо меньше внимание или вовсе допускается их пропуск по ходу решения. Это приводит к тому, что большинство учащихся средней школы считают: если предложенная им математическая задача решена верно и получен ответ, совпадающий с ответом в учебнике, или одобрен учителем, то работа их окончена и о решенной задаче можно и нужно забыть. Вместе с этим ученики забывают и о самом обучающем характере каждой задачи, что любая решаемая ими задача должна помогать ориентироваться в различных проблемных жизненных ситуациях, обогащать их знания и опыт. Характерная для настоящего времени тенденция к повышению роли проблемного обучения свидетельствует о том, что решение задач правомерно занимает все более ведущее место в обучении математике, нередко определяя его формы и методы, в которых основной акцент ставится на самостоятельное и творческое усвоение школьниками учебного материала [17]. Главная цель учителя – сформировать такой общий подход к решению задач, когда сама задача рассматривается как объект для анализа и для исследования, а само ее решение – как способ конструирования и изобретение нового способа решения задач, связанных с реальной жизненной ситуацией [1, с. 80]. Вот почему в системе современных методов и форм обучения математике задачам отводится важнейшая роль. Каким бы ни был выбранный учителем комплекс средств, способов и приемов для реализации той или иной конкретной цели обучения, невозможно себе представить, чтобы в нем не нашлось место задаче, способствующей 22 эффективному усвоением школьниками изучаемого программного материала, а также развивающей определенный тип математического мышления. Решение задач на проценты тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Рассмотрим эти алгоритмы. 1. Пусть известна некоторая величина A, надо найти a % этой величины. Если считать, что A есть 100%, а неизвестная часть x это a %, то из пропорции имеем 2. Пусть известно, что некоторое число составляет a % от неизвестной величины A. Требуется найти A. Рассуждая аналогично, из пропорции получаем 3. Пусть некоторая переменная величина А, зависящая от времени t, в начальный момент имеет значение , а в момент – значение . Тогда абсолютный прирост величины А за время – будет равен – ; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле а процентный прирост по формуле Задача 1. Для офиса решили купить 6 телефона и 4 факса на сумму 2670 долларов. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за эту же покупку уплатили 2560 долларов. Найти цену факса. Решение: Пусть x – стоимость факса, y – стоимость телефона. По условию Так как цену на телефон снизили на 20%, то телефон стал стоить 80% от первоначальной цены, то есть 23 – стоимость телефона после снижения. По условию Решим полученную систему двух уравнений методом алгебраического сложения. Так как нам нужно найти только х, исключим у из системы, для чего первое уравнение умножим на и сложим со вторым: Ответ: факс стоит 530 долларов. Задача 2. Вкладчику на его сбережения через год было начислено процентных денег. Добавив вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года вновь было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил Какая сумма составляла вклад первоначально и сколько процентов начисляет банк? [14, 15]. Решение: пусть – первоначальный вклад, а – это проценты, которые начисляются ежегодно. Тогда к концу года к первоначальному вкладу добавится Из условия получаем уравнение . По условию известно, что в конце года вкладчик внес еще так что вклад в начале второго года составил , т.е. . Таким образом, сумма, полученная к концу второго года с учетом начисления, равнялась По условию эта сумма равна Это позволило нам составить второе уравнение: Итак, мы получили систему уравнений: 24 После преобразования системы уравнений мы получим: Решив систему уравнений, мы нашли два корня: и . Только первое значение удовлетворяет нашему условию. Подставим значение в уравнение и найдем значение : если Таким образом, первоначальный вклад составлял а банк в год производит начисление, в размере Ответ: В ходе решения, анализа и обсуждения задач необходимо сформировать у учащихся следующие навыки: 1) умение сравнивать цены на товары и услуги при принятии решения о приобретении; 2) умение производить прикидку цен (не точный расчет, а средство первичной, быстрой оценки расходов снизу или сверху); 3) расчет и оценка скидок; 4) оценка изменения цены; пересчет цен, выраженных в других валютах. Примеры решения и обсуждения задач на тему «Потребности и расходы» Задача 1. Ежемесячная плата за стационарный телефон составляет рублей в месяц. В следующем году планируется рост платы на Какой будет ежемесячная плата за телефон в следующем году? Решение. (рублей). Ответ: 25 Обсуждение. Разумеется, мы не знаем точно, какой будет рост платы за телефон. Тем более, в разных телефонных компаниях он разный. Цель состоит в том, чтобы, повторяя действия с процентами, научиться находить повышенную или пониженную цену одним действием умножения. Задачу, как и многие задачи сборника, лучше «переложить» на реальную почву: дать в качестве исходных данных действительную плату за квартирный телефон в вашем регионе; если доступны данные о грядущем изменении цены – использовать их. Допускается округление для облегчения расчетов. Главное – финансовые задачи, как и любые другие практико-ориентированные задачи, должны быть максимально близки к реальности. Задача 2. Для поездки в европейскую страну Петр купил 700 евро по курсу 76 рублей 50 копеек за евро. За время поездки он истратил 475 евро. Вернувшись в Россию, Петр решил обменять оставшиеся евро снова на рубли и смог это сделать по курсу 74 рубля 20 копеек за евро. Какую сумму в рублях выиграл или потерял на операциях обмена валюты Петр? [6]. Решение. Петр дважды поменял евро. Курс покупки евро отличался от курса продажи на рубля. На двух обменах Петр потерял рублей. Ответ: 724 рубля 50 копеек. Обсуждение. Подробный разговор об обменных курсах в другом разделе сборника, однако здесь можно задать школьникам вопрос: обязательно ли разница в обменных курсах связана с тем, что евро стал дешевле? Могло ли случиться так, что за время поездки Петра евро подорожал, но Петр все равно проиграл? Старшеклассники должны знать о том, что обменные курсы продажи и покупки валюты разные: банки продают валюту всегда немного дороже, чем покупают, и на этой разнице зарабатывают. Задача 3. Сырок стоит 17 рублей 50 копеек. Сырки продаются упаковками по 4 и 6 штук. Какое наибольшее количество сырков можно купить на 270 рублей? 26 Решение. Рассчитаем, сколько сырков можно купить на 270 рублей: . На 16 сырков денег не хватит, а 15 сырков купить невозможно, поскольку в каждой упаковке число сырков четное. 14 сырков купить можно: две упаковки по четыре сырка и одну с шестью сырками [28]. Ответ: 14. «Взаимозаменяемые варианты» Задача 1. Билет на одну поездку стоит 20 рублей, проездной на месяц, позволяющий сделать неограниченное количество поездок, – 580 рублей. Виталина купила проездной и сделала за месяц 41 поездку. На сколько больше она бы потратила, если бы каждый раз покупала билеты на одну поездку? [29]. Решение. (руб). Ответ: 240. Задача 2. Семья Арцхановых выращивает на даче картошку, и в этом году урожай составил 200 кг. За сезон Арцхановы потратили 1600 рублей на семенной картофель, 4000 рублей стоил бензин для поездок на дачу, чтобы посадить, обработать, собрать и вывезти картошку. На удобрения и защиту растений было потрачено еще 1200 рублей. Что дешевле: выращивать картошку, как и прежде, самим или покупать на рынке по 28 рублей за килограмм? Решение. Полная стоимость урожая картошки у Арцхановых составила (руб). Цена 200 кг картошки на рынке 28 200=5600 (руб). Ответ: покупать на рынке дешевле. Обсуждение. Кто-то из школьников заметит, что Арцхановы наверняка и так ездили бы на дачу и поэтому все равно потратили бы 4000 рублей на бензин. И если вычесть эти деньги из затрат, получится что выращивать картошку намного дешевле, чем покупать на рынке. Другой школьник может заметить, что, если бы не картошка, Арцхановы не ездили бы на дачу так 27 часто осенью, а просто провели бы там лето. Таким образом, задача имеет вовсе не однозначное толкование и не однозначное решение. Во всяком случае, следует договориться о том, что при любом подходе мы рассматриваем только финансовую составляющую вопроса и сразу отставляем в сторону соображения вроде того, что Арцхановым просто нравится выращивать картошку. «Комплементарные (взаимодополняющие) блага» Задача 1. Алексей планирует купить автомобиль, чтобы пользоваться им 10 лет и за это время проехать на нем 150 000 км. Алексей рассматривает две модели разных марок со следующими характеристиками: Марка автомобиля А 1 А 2 Стоимость 500 000 руб. 450 000 руб. Стоимость периодического технического обслуживания (ТО) 20 000 руб. через каждые 15 000 км пробега автомобиля 15 000 руб. через каждые 10 000 км пробега автомобиля Используемый бензин и его стоимость А-95 по 38 руб. за литр А-95 по 38 руб. за литр Расход топлива на 100 км 7 л 8 л Автомобиль какой марки стоит купить Алексею, если он хочет потратить на это приобретение как можно меньше денег? Остаточную стоимость автомобилей (стоимость по окончании срока использования, по которой автомобиль можно продать) учитывать не нужно. Решение. С учетом техобслуживания и топлива автомобиль марки А 1 обойдется Алексею в (руб), а марки «А 2 » – (руб). 28 Ответ: А1. Обсуждение. Здесь вся задача – сплошная прикидка. Школьникам следует задать вопрос о том, какие существенные факторы мы не приняли во внимание. Во-первых, страхование автомобиля (учитывается в других задачах сборника), во-вторых – у нас отсутствуют данные о планируемых расходах на ремонт в случае поломок. Нет данных даже о сроках гарантии этих машин. Кстати, оценки всех этих величин можно найти в интернете на популярных автомобильных сайтах. Кроме того, сведения о расходе бензина ориентировочные; в реальности расход определяется стилем вождения. И, наконец, мы не уверены в том, что цены на бензин и на техническое обслуживание сохранятся. Чем выше цены на топливо и техобслуживание, тем более привлекательным будет становиться автомобиль А 1 . Обратите внимание школьников на то, что в обоих случаях цена автомобиля составляет менее половины полной стоимости. Можно предложить учащимся самим составить модификацию этой задачи с учетом большего количества факторов. Такую работу разумно предложить в качестве домашней, к выполнению которой учащиеся могут привлечь своих родителей, если в семье есть автомобиль. При этом учитель должен понимать, что и в этой задаче (как в задаче про выращивание картошки) не учитывается важнейший фактор «нравится – не нравится». Вероятно, Алексей планирует приобретение рабочего автомобиля: например, такси или фургончика для доставки грузов. К приобретению домашнего любимого автомобиля люди редко подходят столь утилитарно [22]. Модификация этой задачи – про аренду автомобиля, которая приобретает в нашей стране все большую популярность. Задача 2. Алексей хочет взять в аренду на 7 дней небольшой внедорожник для поездки в горы и выбирает из двух вариантов: 29 Автомобиль Внедорожник А Внедорожник В Стоимость аренды (включая обязательное страхование на срок аренды) 4000 руб. в сутки 5100 руб. в сутки Предполагаемый расход бензина на 100 км пути 10 л 9 л Используемый бензин и его стоимость АИ-95 по 40 руб. за литр АИ-95 по 40 руб. за литр За время аренды Алексей планирует проехать 3 500 км и хочет выбрать автомобиль с минимальной полной стоимостью аренды. Автомобиль какой марки ему следует арендовать в таком случае? Решение. За аренду автомобиля и бензин Алексей суммарно заплатит в случае аренды автомобиля А: (руб), а при аренде автомобиля В: (руб). Ответ: Марки B. Анализ методической литературы, школьных учебников показал, что процесс обучения решению финансовых задач в основной школе целесообразно разбить на две ступени: 1 ступень – это подготовительная ступень (5-6 классы), на которой осуществляется решение простейших задач финансовой математики, встречающихся в жизни ученика. На этом этапе у учащихся формируются умения анализировать задачу, составлять различные модели на этапе поиска решения задачи, применять различные методы решения, получать различные разрешающие модели, анализировать полученный ответ. 2 ступень – (7-9 классы) ступень овладения основными элементами решения задач финансовой математики с помощью математического 30 моделирования. На этой ступени необходимо систематизировать и обобщить знания по структуре прикладных задач и этапах работы с ними, обучить школьников сознательному выполнению каждого из этих этапов решения прикладной задачи в отдельности. На этой ступени прикладные задачи выступают как средство изучения математической теории. Анализ методической литературы, опыт работы в школе и проведенное тестирование школьников позволили сформулировать следующие методические рекомендации по использованию задач финансовой математики в обучении математике: • При работе с текстовой задачей учителю необходимо предлагать дополнительную работу над задачей, либо давать другую форму представления задачи, либо в задачах необходимо переформулировать вопрос. • Начиная с 5 класса использовать задачи из открытого банка ОГЭ при выполнении контрольных и самостоятельных работ и для выполнения домашнего задания. • Использовать также прикладные задачи для того, чтобы научить школьников внимательно «читать» формулировку вопроса и условия, находить непонятные слова. • Использовать различные электронные и печатные образовательные ресурсы для формирования навыков по решению финансовых задач, представленных в разных формах (таблица, диаграмма, графики, схема и т.п.). • Включать на уроки математики задачи из банка ОГЭ вместо однотипных задач из учебников, использовать в устном счете начиная с 5 класса [9]. Как правило, при решении финансовых задач применяются математические методы расчетов, в связи с этим задания с финансовой составляющей включены в состав контрольно-измерительных материалов ОГЭ и ЕГЭ по математике. Если проанализировать результаты ОГЭ за 2019 31 год, то можно заметить, что многие учащиеся не справляются с элементарными видами практико-ориентированных задач В содержании школьных учебников имеются задачи с финансовой направленностью, это значит, что при изучении математики в школе формируется финансовая грамотность учащихся, однако необходимо отметить, что все же недостаточно используются имеющиеся возможности по формированию финансовой культуры учащихся, что приводит к тому, что учащиеся в задачах, которые имеют экономические понятия, видят только повод для математических действий (например, вычисление процента) и не обращают внимание на их экономическое содержание. В связи с этим, мы считаем, что школьный курс математики нуждается в дополнении практико- ориентированными финансовыми задачами [8], и предлагаем дистанционный курс финансовой грамотности. |