Кинематика. Кинематика-ядерная. Кинематика материальной точки и поступательного движения твердого тела

• Название: Кинематика материальной точки и поступательного движения твердого тела
• Анкор: Кинематика
• Дата: 27.01.2022
• Размер: 1.4 Mb.
• Имя файла: Кинематика-ядерная.pptx
• Тип: Документы; #343656
• страница: 2 из 8

t

∆v = a * dt = a * t

0

v = v0 + ∆v= v0 + a * t

Векторный способ

Найдём радиус-вектор: за промежуток времени dt элементарное приращение радиус-вектора dr:
dr = v * dt.
Интегрируем это выражение с учётом зависимости v(t) и найдём приращение радиус-вектора за время от 0 до t:

t

∆r = v(t) dt = v0 t+ a t2/2

0

Векторный способ

Тогда сам радиус вектор r:
r = r0 + ∆r= r0 + v0 t+ a t2/2
Пример: рассмотрим камень, брошенный под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью v0. Камень движется с постоянным ускорением a=g, его положение относительно точки бросания (r0=0) определяется радиус-вектором:
r = v0 t+ g t2/2,

r –сумма двух векторов:

Начальные условия нужны!

Координатный способ

С выбранным телом отсчёта жестко связывают определённую систему координат, например, декартову. Запишем в момент времени t положение точки А относительно начала координат О через проекции радиус – вектора r (t) – x, y, z:
x = x(t) y = y(t) z = z(t) – кинематические уравнения движения точки
Зная зависимость этих координат от времени – закон движения точки, можно найти положение точки в каждый момент времени, её скорость и ускорение.

Координатный способ

Проекции векторов скорости и ускорения:

vx =dx/dt vy =dy/dt vz =dz/dt

ax =dvx /dt = d2x/dt2 ay =dvx /dt =d2y/dt2

az =dvz /dt =d2y/dt2

Модуль вектора скорости v = v2x+ v2y+ v2z
Направление вектора v определяется направляющими косинусами:

cos 𝛼 =vx/v cos 𝛽 = vy/v cos 𝛾 = vz/v ,

где 𝛼, 𝛽, 𝛾 – углы между вектором v и осями x, y, z, соответственно.

Таким образом x(t), y(t), z(t) полностью определяют движение точки.


При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней.


Введём единичный вектор 𝜏, связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты l.
Вектор скорости v движения точки направлен по касательной к траектории, тогда можем записать:
v = v𝜏*𝜏, где v𝜏 =dl/dt – проекция вектора v на направление вектора 𝜏.
Тангенциальное ускорение:
a =dv/dt = d (v𝜏*𝜏)/dt = (dv𝜏/dt )𝜏 + (d𝜏/dt) v𝜏
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения.


Преобразуем:
v𝜏(d𝜏/dt) = v𝜏(d𝜏 * dl/dt * dl)= v𝜏2 d𝜏 /dl= v2d𝜏 /dl (1)


Траектория 1-2 стремится к окружности с центром в некоторой точке О, называемую центром кривизны траектории в данной точке, а радиус ρ – радиусом кривизны траектории в точке 2.


dτ

Угол δα = ׀dl׀ / ρ
Введём единичный вектор нормали n к траектории в точке 1, тогда
׀dl׀ / ρ = ׀dτ׀ / n
׀dτ׀/ ׀dl׀ = n / ρ (2)


Подставим (2) в (1) и получим:
a= 𝜏(dv𝜏 / dt) /+ n (v2/ ρ )
Полное ускорение есть сумма тангенциального и нормального ускорений.


Тангенциальное ускорение a характеризует быстроту изменения скорости по модулю, его величина:

aτ= 𝜏(dv𝜏 / d𝜏)

Нормальное (центростремительное) ускорение направлено по нормали к траектории к центру ее кривизны O и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки.