Кинематика точки. Кинематика точки
![]()
|
Пример 8. При равноускоренном движении тело проходит за два первых равных последовательных промежутка времени по 4,0 с каждый пути s1 = 24 м и s2=64 м соответственно. Определите начальную скорость и ускорение тела. Дано: t1=t2= 4,0 с, s1 =24 м, s2 = 64 м. Найти: . ![]() Решение. Запишем уравнения пути для s1 и (s1+s2) соответственно. Так как начальная скорость в этом случае одинакова, то ![]() Так как t1=t2, то ![]() Выразив из (1) и подставив ее в (2), получим: ![]() Тогда начальная скорость ![]() Пример 9. Автомобиль, двигаясь по прямолинейной траектории равноускоренно с начальной скоростью 5,0 м/с, прошел за первую секунду путь, равный 6,0 м. Найдите ускорение автомобиля, мгновенную скорость в конце второй секунды и перемещение за 2,0 с. Дано: ![]() Найти: Решение. Зная путь, пройденный телом за первую секунду, можно найти ускорение: ![]() Скорость в конце второй секунды найдем по формуле ![]() Перемещение за 2 с можно рассчитать по формулам: ![]() Пример 10. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x = A + Bt + Ct3, где А=4 м, В=2м/с, С=-0,5 м/с3. Для момента времени t1=2 c определить: 1) координату точки х1 точки; 2) мгновенную скорость v1; 3) мгновенное ускорение а1. Дано: x = A + Bt + Ct3, А=4 м, В=2 м/с, С=-0,5 м/с3, t1=2 c. Найти: х1; v1; а1. Решение. 1.Подставим в уравнение движения вместо t заданное значение времени t1: x1 = A + Bt1 + Ct13. Подставим в это выражение значения А, В, С, t1 и произведем вычисления: х1 = 4 м. 2. Мгновенная скорость: ![]() 3. Мгновенное ускорение: ![]() Пример 11. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид х = A + Bt + Ct2, где А=5 м, В=4м/с, С= -1м/с2. Определить среднюю скорость vхср за интервал времени от t1=1 c до t2=6 c. Дано: х = A + Bt + Ct2 , А=5м, В=4м/с, С=- 1м/с2, t1=1 c , t2=6 c. Найти: vхср -? ахср -? Решение. Средняя скорость за интервал времени t2-t1 определяется выражением vср=(х2-х1)/(t2- t1). х1 = A + Bt1 + Ct12= 8 м, х2 = A + Bt2 + Ct22= –7 м. Подставим значения х1, х2, t1 , t2 и произведем вычисления: vхср= 3 м/с. Пример 12. Из вертолета, находящегося на высоте h = 300 м, сбросили груз. Через какое время груз достигнет земли, если: а) вертолет неподвижен; б) вертолет опускается со скоростью v0=5 м/с; 3) вертолет поднимается со скоростью v0=5 м/с. Описать графически соответствующие движения груза в осях s(t), v(t) и a(t). ![]() Решение. а) Груз, покинувший неподвижный вертолет, свободно падает, т.е. движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Время движения найдем из соотношения Откуда ![]() б) Движение груза, покинувшего вертолет, который опускается с постоянной скоростью v0=5 м/с, является равноускоренным движением с постоянным ускорением g и описывается уравнением ![]() Подстановка численных значений дает уравнение 9,8t2+10t-600=0. ![]() Отрицательный результат не имеет физического смысла, поэтому время движения t=7,57 с. Графики движение объекта отмечены 2 на рисунке. 3) Движение груза, покинувшего вертолет, который поднимается с постоянной скоростью v0=5 м/с, cостоит из двух этапов. На первом этапе – груз движется равнозамедленно с постоянным ускорением g, направленным противоположно скорости, и описывается уравнениями ![]() В верхней точке траектории скорость становится равной нулю, поэтому ![]() Подставляя второе уравнение системы в первое, получим ![]() На втором этапе – свободное падение с высоты h0=h+h1=300+1,28=301,28 м. Поскольку ![]() Графики движение объекта отмечены 3 на рисунке. Пример 13. С воздушного шара, опускающегося вниз с постоянной скоростью 2 м/с, бросили вертикально вверх груз со скоростью 18 м/c относительно земли. Определить расстояние между шаром и грузом в момент, когда груз достигает высшей точки своего подъема. Через какое время груз пролетит мимо шара, падая вниз. Дано: v01= 2 м/с, v02=18 м/c Найти: s-? τ -? ![]() Решение. Направим ось 0Y вертикально вверх, начало совместим с точкой 0, в которой находился шар в момент бросания груза. Тогда уравнения движения груза и воздушного шара: ![]() Скорость движения груза изменяется по закону v2=v02 – gt. В наивысшей точке В подъема груза v2=0. Тогда время подъема до этой точки Координата груза в точке В ![]() За это время воздушный шар опустился до точки А; его координата ![]() Расстояние между точками А и В: ![]() Через промежуток времени τ, когда камень пролетит мимо шара, координаты тел будут одинаковы: у1С=у2С; ![]() Отсюда ![]() Пример 14. С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за два часа пролететь на север 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом 30о к меридиану со скоростью 27 км/ч? Дано: t=7,2∙103 c; l=3∙105 м; α=30° ≈ 0,52 рад; v2 ≈7,2 м/с. Найти: v2 -? φ -? ![]() Решение. Рассмотрим движение самолета в системе отсчета, связанной с землей. Проведем ось ОХ в направлении на восток, а ось OY - на север. Тогда скорость движения самолета в выбранной системе отсчета (1) где v=l/t (2) Уравнение (1) в проекции на оси ОХ: 0=v1∙sinα – v2∙sinφ; OY: v= v2∙cosφ - v1∙cosα, или v1∙sinα = v2∙sinφ, v2∙cosφ=v1∙cosα + v (3) Разделив эти уравнения почленно, получим tgφ=v1sinα/(v1cosα+ v), или с учетом (2) tgφ=v1∙sinα/(v1∙cosα+ l/t); φ=arctgv1∙sinα/(v1∙cosα+ l/t) ≈0,078 рад. Возводя в квадрат правые и левые части уравнений (3) и складывая полученные уравнения, находим v22∙sin2φ + v22 ∙cos2φ = v12 sin2α+ (v1∙cosα + v)2, откуда ![]() ![]() Пример 15. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через t=3 с. Найти высоту подъема тела и его начальную скорость. ![]() Решение. Движение тела вверх является равнозамедленным с ускорением - g и происходит в течение времени t1, а движение вниз – равноускоренным с ускорением g и происходит в течение времени t2. Уравнения, описывающие движение на участках АВ и ВА, образуют систему: ![]() Поскольку vB=0, то v0=gt1. Подставив v0 в первое уравнение системы, получим . Если сравнить это выражение с третьим уравнением системы, то можно сделать вывод о том, что время подъема равно времени спуска t1=t2=t/2=1,5с. Начальная скорость и скорость при приземлении равны друг другу и составляют v0=vA=gt1=9,8∙1,5=14,7 м/с. Высота подъема тела ![]() Пример 16. Свободно падающее тело в последнюю секунду движения прошло половину пути. Найти высоту, с которой оно брошено и время движения. ![]() Решение. Зависимость пройденного пути от времени для свободно падающего тела . Поскольку участок ВС, составляющие половину всего пути, пройден за время, равное 1 с, то первая половина пути АВ пройдена за время (t-1) с. Тогда движение на участке ВС может быть описано как ![]() Решая систему ![]() получим t2-4t+2=0. Корни этого уравнения t1=3,41 с и t2=0,59 с. Второй корень не подходит, т.к. время движения, исходя из условия задачи, должно превышать одну секунду. Следовательно, тело падало в течение 3,41 с и прошло за это время путь ![]() Пример 17. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти: 1) сколько времени камень будет в движении, 2) на каком расстояниион упадет на землю, 3) с какой скоростью он упадет на землю, 4) какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать. Дано: Н=25 м, vo=15 м/с Найти: t-? sx- ? v - ? φ- ? ![]() Решение. Перемещение брошенного горизонтально камня можно разложить на два: горизонтальное sx и вертикальное sy: sy=H=gt2/2, sx=vot, где t - время движения. Отсюда: ![]() 2) sx=vot= 33,9 м; 3) vy=gt=22,1м/с; 4) sinφ= vy/v=0,827; φ=55о48’. Пример 18. С башни высотой 25 м горизонтально со скоростью vx=10 м/c брошено тело. Найти: 1) время t падения тела, 2) на каком расстоянии l от основания башни оно упадет, 3) скорость v в конце падения, 4) угол, который составит траектория тела с землей в точке его приземления. ![]() Решение. Движение тела является сложным. Оно участвует в равномерном движении по горизонтали и равноускоренном с ускорением g по вертикали. Поэтому участок АВ описывается уравнениями: ![]() Для точки А эти уравнения принимают вид: ![]() Тогдаl=10∙2,26=22,6 м, а vy=9,8∙2,26=22,15 м/с. Поскольку , то ![]() Угол, который траектория составляет с землей, равен углу φ в треугольнике скоростей в т. А, тангенс которого ![]() Пример 19. Для тела, брошенного с горизонтальной скоростью vx=10 м/с, через время t=2 с после начала движения найти: нормальное, тангенциальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории в этой точке. ![]() |