Кинематика точки. Кинематика точки
![]()
|
Пример 29. Частица движется в положительном направлении осиx так, что ее ускорение меняется по закону a=α-βx, где α и β - положительные постоянные. Учитывая, что в момент времени t = 0 она покоилась и находилась в начале координат (x0 = 0), найдем зависимость скорости частицы от координаты. Решение. Установим уравнения, связывающие а иx. a=α-βx, (1) ![]() ![]() В эти три уравнения входят четыре переменных: x, v, a, t. Исключим a и t. Выразим из (2) и подставим в (3): ![]() С учетом выражения (1) получаем дифференциальное уравнение ![]() Разделяя переменные ![]() и производя интегрирование ![]() получаем ![]() Искомая зависимость скорости от координаты имеет вид ![]() Пример 30. С башни высотой h бросили камень со скоростью v0 под углом α к горизонту. Найти: 1) какое время камень будет в движении; 2) на каком расстоянии s он упадет на землю; 3) с какой скоростью он упадет на землю; 4) какой угол β составит траектория камня с горизонтом в точке его падения; 5) нормальное и тангенциальное ускорения камня в этой точке, а также радиус кривизны траектории; 6) наибольшую высоту подъема камня. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. На примере этой задачи покажем, как в обобщенном виде можно установить приведенный алгоритм решения любой задачи данного класса. 1. В задаче рассматривается движение материальной точки (камня) в поле силы тяжести Земли. Следовательно, это движение с постоянным ускорением свободного падения g, направленным вертикально вниз. 2. Движение камня рассматривается относительно наблюдателя, находящегося на земле. Движение двумерное - по горизонтали и вертикали. Применим координатный способ описания. Начало координат поместим на поверхности земли, ось х направим горизонтально, ось у - вертикально вверх. ![]() 3. В условии задачи рассматривается начальное состояние, состояние А, соответствующее моменту непосредственно перед ударом камня о землю, и состояние В, соответствующее наивысшей точке траектории. Изобразим эти состояния на рисунке и нарисуем векторы скорости в каждом состоянии. Поскольку применяется координатный способ описания, каждый вектор разложим на составляющие. Как было отмечено ранее, вектор ускорения во всех состояниях одинаков и равен g. ![]() 4. Движение с постоянным ускорением описывается хорошо известными уравнениями: ![]() ![]() Конкретизируем их для данной задачи. По оси х камень движется из начала координат без ускорения (равномерно) со скоростью v0x. По оси y камень движется из точки с координатой h с ускорением свободного падения, направленным против оси у и с начальной скоростью v0у. Отразим эти данные в начальных условиях x0=0, v0x=v0cosα, ax=0, y0=h, v0y=v0sinα, ay=-g. и подставим их в уравнения движения. ![]() ![]() 5A. Рассмотрим состояние А. В этом состоянии камень оказался спустя tA секунд после начала движения. Координаты этой точки равны хА =s, уА = 0. На рисунке указаны вектор скорости в этой точке vA (направленный по касательной к траектории) и его составляющие. Применим уравнения движения к данному состоянию: ![]() ![]() ![]() ![]() В эти четыре уравнения входят следующие неизвестные: tA , s, vАx и vАy. 6А. Разрешим полученную систему уравнений относительно указанных неизвестных. Видно, что в уравнение (3) входит одна неизвестная величина - tA. Решим это квадратное уравнение, преобразовав его предварительно к приведенному виду: ![]() ![]() Проанализируем полученный результат. Время не может быть отрицательным, следовательно, отрицательный корень не имеет смысла. Поэтому ![]() Уравнения (1), (2), (4) позволяют найти все оставшиеся величины: s, vАx и vАy. Модуль скорости выразим по теореме Пифагора ![]() Из рисунка видно, что ![]() Чтобы найти нормальную и тангенциальную составляющие вектора ускорения, разложим вектор g. ![]() Из рисунка видно, что ![]() Учитывая, что нормальное ускорение связано с модулем скорости соотношением ![]() выразим радиус кривизны траектории в данной точке: ![]() 5В. Рассмотрим состояние В. В этом состоянии камень оказался спустя tВ секунд после начала движения. Координаты этой точки равны хВ, уВ = H. На рисунке указан вектор скорости в этой точке vВ, направленный горизонтально по оси х. Следовательно, вертикальная составляющая скорости равна нулю vВy =0. Применим уравнения движения к данному состоянию: ![]() ![]() ![]() ![]() Время tВ найдем из уравнения (4) ![]() а максимальную высоту подъема - из уравнения (3) ![]() ![]() Видно, что уравнения (1) и (2) не потребовались при решении этой задачи. Пример 31. Трамвай движется прямолинейно от остановки А до следующей остановки В с ускорением, меняющимся по закону a=α-βx, где α и β - положительные постоянные, х - расстояние между трамваем и остановкой А. Найти расстояние между остановками и максимальную скорость трамвая. Решение. Решим задачу в соответствии с установленным алгоритмом. 1) Трамвай можно считать материальной точкой, которая движется по прямолинейной траектории. Отличительной чертой его движения является заданная в условии задачи зависимость ускорения от координаты. 2) Применим координатный способ описания движения. Совместим начало координат с остановкой А. Отметим положение остановки В и тоски С, в которой скорость трамвая максимальна. ![]() 3) Установим, какая информация о координатах, скоростях, ускорениях содержится в условии задачи, какую требуется определить. В начальном и конечном состояниях скорости равны нулю, а в состоянии С скорость максимальна, поэтому ускорение (производная скорости по времени) равно нулю.
4) В условии задана зависимость ускорения от координаты a=α-βx, (1) известны или требуют нахождения значения координаты и скорости в состояниях В и С. Следовательно, необходимо уравнение, связывающее v и x. ![]() 5) Применим кинематические уравнения к состоянию В. Подставим в уравнение (2) соответствующие значения координаты и скорости ![]() Поскольку в состоянии В s≠0, то 2α-βs=0, откуда Применим кинематические уравнения к состоянию С. Подставим в уравнения (1) и (2) соответствующие значения координаты и ускорения. aC=0=α-β∙xC, (1a) ![]() Из (1а) выразим координату точки С и подставим в уравнение (2а): ![]() Откуда ![]() Вопросы для самопроверки - Что изучает кинематика? - Какие задачи решает кинематика точки и твердого тела? - В чем различие между телом отсчета и системой отсчета? - Что понимают под системой отсчета? системой координат? радиус-вектором? - Дайте определение основных кинематических характеристик движения. - Что такое "алгебраическая" скорость точки? В каком направлении происходит движение точки при положительном и отрицательном значении алгебраической скорости? - В чем отличие естественных осей координат от декартовых? - Какие кинематические величины зависят от выбора системы отсчета? одинаковы в различных системах отсчета? - Может ли человек, находясь на движущемся эскалаторе метро, быть в покое в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли? - Совпадает ли направление ускорения с направлением скорости материальной точки при равноускоренном движении? при равнозамедленном движении? - Какие кинематические характеристики движения остаются постоянными при равномерном прямолинейном движении? при равноускоренном движении? - Какие величины, характеризующие движение, можно определить по графику скорости? - Два поезда идут навстречу друг другу; один ускоренно на север, другой замедленно на юг. Как будут направлены векторы ускорений поездов? - Чем отличаются движения, уравнения которых приведены x1=3-5t-2t2; x2=-3+5t-2t2? - Какие существуют способы описания движения материальной точки? - Перечислите основные способы задания движения точки. - Дайте определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания ее движения. - Дайте определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания ее движения. - Как определяется характер движения точки при векторном способе задания ее движения? - Как определяется характер движения точки при координатном способе задания ее движения? - Каковы условия ускоренного, замедленного движения точки при естественном способе задания ее движения? - Запишите и покажите на рисунке связь между векторами полного, нормального и касательного ускорений. - Движение точки задано в полярной системе координат. Как найти уравнение ее траектории? - Что должно быть известно при естественном способе задания движения точки? - Какие кинематические способы задания движения точки существуют и в чем состоит каждый из этих способов? - Запишите в общем виде закон движения в естественной и координатной форме? - Как разложить вектора скорости и ускорения точки по осям естественного трехгранника? - Запишите формулы для скорости, касательного и нормального ускорений точки через дуговую координату. - Как найти проекции ускорения точки на оси естественной системы координат? - Что называют траекторией движения? - Как определяется скорость движения при естественном способе задания движения? - В чем различие понятий "путь" и "дуговая координата"? - Запишите формулы для определения касательного, нормального и полного ускорений. - При каких условиях вектор полного ускорения совпадает с вектором: а) нормального ускорения; б) касательного ускорения? - Что характеризует касательное ускорение и как оно направлено по отношению к вектору скорости? - Чему равно скалярное произведение векторов скорости и нормального ускорения точки? - При каких условиях значение дуговой координаты точки в некоторый момент времени равно пути, пройденному точкой за промежуток от начального до данного момента времени? - Чем является траектория точки при векторном способе задания движения точки? - Как по уравнениям движения точки в координатной форме определить ее траекторию? - Сформулируйте теорему о проекции производной вектора на неподвижные координатные оси. - Приведите определения соприкасающейся, спрямляющей и нормальной плоскостей. - Как выбираются направления единичных векторов касательной, нормали и бинормали? - Запишите формулу для определения модуля вектора кривизны плоской кривой. - Что называется перемещением точки за фиксированный промежуток времени? - Как направлена средняя скорость точки за некоторый промежуток времени? - Какие существуют способы определения скорости движения точки? - Запишите формулы, определяющие модуль и направление скорости точки при координатном способе задания ее движения. - Как выражается скорость точки через криволинейную координату при естественном способе задания движения? - Дайте определение среднего ускорения точки за некоторое время. - Как выражаются модуль и направляющие косинусы вектора ускорения точки через проекции ускорения на прямоугольные координатные оси? - Как классифицируется движение точки по ускорениям? - В каких случаях движение точки обращаются в нуль: а) касательное ускорение; б) нормальное ускорение; в) полное ускорение? - В какой плоскости расположено ускорение точки и чему равны его проекции на естественные координатные оси? - Как найти проекции ускорения точки на оси неподвижной системы координат Декарта? - Запишите формулы для нормального и касательного ускорений при естественном способе задания движения. - Чему равен вектор скорости точки в данный момент времени и какое направление он имеет? - Как связан орт касательной к кривой с радиусом-вектором движущейся точки? - Чему равна проекция скорости точки на касательную к ее траектории и модуль ее скорости? - Как определяются проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат? - Что представляет собой годограф скорости и каковы его параметрические уравнения? - Какой вид имеет годограф скорости прямолинейного неравномерного движения и равномерного движения по кривой, не лежащей в одной плоскости? - Чему равен вектор ускорения точки и как он направлен по отношению к годографу скорости? - Как направлены естественные координатные оси в каждой точке кривой? - Каковы модуль и направление вектора кривизны кривой в данной точке? - В какой плоскости расположено ускорение точки и чему равны его проекции на естественные координатные оси? - Что характеризует собой касательное и нормальное ускорения точки? - При каком движении точки равно нулю касательное ускорение и при каком - нормальное ускорение? - Как классифицируются движения точки по ускорениям? - В какие моменты времени нормальное ускорение в криволинейном движении может обратиться в нуль? - В какие моменты времени касательное ускорение в неравномерном движении может обратиться в нуль? - Чем отличается график пути от графика движения точки? - Как по графику движения определить алгебраическое значение скорости точки в любой момент времени? - Как по графику скорости прямолинейного движения точки определить алгебраическое значение ускорения точки в любой момент времени? - Запишите формулу ускорения при прямолинейном движении? - Запишите формулу ускорения (полного) при криволинейном движении. - Сравните время падения тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты и свободно падающего с той же высоты. - Три тела брошены так: первое — вниз без начальной скорости, второе — вниз с начальной скоростью, третье — вверх. Что можно сказать об ускорениях этих тел при их движении? - Как будет изменяться дальность полета снарядов при увеличении угла наклона орудия к горизонту? - Как направлено ускорение при криволинейном движении? - Как направлена мгновенная скорость материальной точки при криволинейном движении? - Является ли движение по окружности с постоянной по модулю скоростью равноускоренным? - Автомобиль движется на повороте. Одинаковые ли расстояния проходят при этом правые и левые колеса автомобиля? - Велосипедист движется по прямолинейному участку дороги со скоростью (см.рис.). С какой скоростью движутся точки А, В, С, D колеса велосипеда относительно оси? относительно дороги? |