Кинематика точки. Кинематика точки
![]()
|
Решение. Вертикальная составляющая скорости vy=gt=9,8∙2=19,6 м/с Скорость в точке А: , то ![]() Векторы образуют треугольник скоростей, а векторы ![]() ![]() Отсюда, ![]() ![]() Нормальное ускорение , поэтому радиус кривизны траектории ![]() Пример 20. Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40о к горизонту. Найти: 1) на какую высоту поднимется мяч; 2) на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю, 3) сколько времени он будет в движении. Дано: vo=10 м/с, α=40о. Найти: sy - ? sx - ? t - ? ![]() Решение. 1) Найдем наибольшую высоту sy max, на которую поднимается тело, брошенное со скоростью vo подуглом α к горизонту. Имеем (см. рис.): vy=vo sinα – gt; (1) sy=vot∙sinα – gt2/2. (2) В верхней точке vy=0 и из (1) получим vo∙sin𝛼 = gt1, отсюда время подъема мяча t1=vo∙sinα/g. Подставляя t1 в (2), получим sy max= vo2 ∙sin2α/(2g)= 2,1 м. 2) Найдем дальность полета sx max тела, брошенного под углом к горизонту. Имеем: vx=vo∙cosα, (3) sx=vxt=vot∙cosα. (4) Тело упадет на горизонтальную плоскость через время t2=2t1=2vosinα/g. Подставляя t2 в (4), получим sxmax = vо2sin2α/g=10,0 м. 3) t2=2t1=2vosinα/g=1,3 с. Пример 21. Тело брошено со скоростью v0=10 м/с2 под углом α=30° к горизонту. На какую высоту тело поднимется. На каком расстоянии от места бросания оно упадет на землю? Какое время он будет в движении? ![]() Решение. Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости ![]() ![]() Движение на участке ОА можно разложить на два простых движения: равномерное по горизонтали и равнозамедленное по вертикали: ![]() В точке А ![]() Тогда ![]() ![]() Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то в каждом из них оно участвует независимо от другого, следовательно, время движения на участке АВ определяется временем движения вниз – t2. Время движения вверх равно времени движения вниз, а, значит, ![]() При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, следовательно, ![]() Дальность полета ![]() Высота подъема тела ![]() Пример 22. Точка движется прямолинейно на плоскости по закону x=4(t-2)2. Каковы начальная скорость v0 и ускорение точки a? Найти мгновенную скорость точки vt=5 в начале пятой секунды движения. Решение. 1) Т.к. v=x’, то v0=(4∙(t-2)2)’=(4∙(t2-4t+4))’=(4t2-16t+16)’=8t-16 при t=0 v0=-16 м/с. 2) Т.к. a= , то a=(8t-16)’=8 м/с. 3) При t=4, т.к. до начала 5 с прошло 4 с. vt=5=8t-16=8∙4-16=32 м/с. Ответ: Начальная скорость точки v0=-16 м/с, ускорение a=8 м/с, скорость точки в начале пятой секунды движения vt=5=32 м/с. Пример 23. Движение материальной точки описывается уравнениями: а) s=αt3; б) s=αt2+βt. Сравните среднюю скорость и среднеарифметическую начальной и конечной скоростей vср в интервале времени 0 - t. Здесь α и β - положительные постоянные. Решение. Вспомним определения средней и мгновенной скорости: ![]() Выражения для мгновенной скорости получаются путем дифференцирования уравнения движения. ![]() Выражения для средней скорости находятся как отношение изменения криволинейной координаты к времени: ![]() Получим выражения для среднеарифметической скорости: ![]() Ответим на вопрос условия задачи. Видно, что в случае “а” средняя и среднеарифметическая скорости не совпадают, а в случае “б” - совпадают. Пример 24. Материальная точка движется равномерно по криволинейной траектории. В какой точке траектории ускорение максимально? ![]() Решение. При движении по криволинейной траектории ускорение складывается из тангенциального и нормального. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения величины (модуля) скорости. Если величина скорости не изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю. Нормальное ускорение зависит от радиуса кривизны траектории an=v2/R. Ускорение максимально в точке с наименьшим радиусом кривизны, т.е. в точке С. Пример 25. Материальная точка движется согласно закону: ![]() 1) Определить начальную координату, начальную скорость и ускорение путем сравнения с законом движения с постоянным ускорением. Записать уравнение для проекции скорости. Решение. Закон движения с постоянным ускорением имеет вид ![]() Сравнивая это уравнение с уравнением условия задачи, получаем x0 = - 1 м, v0x = 1 м/с, ax = - 0,25 м/с2. Возникает вопрос: какой смысл имеет знак “минус”? Когда проекция вектора отрицательна? Только в том случае, когда вектор направлен против оси координат. Изобразим на рисунке начальную координату, векторы скорости и ускорения. ![]() Запишем уравнение для скорости в виде ![]() и подставим в него полученные данные (начальные условия) ![]() 2) Найти зависимость скорости и ускорения от времени, применяя определения этих величин. Решение. Применим определения для мгновенных значений скорости и ускорения: ![]() Производя дифференцирование, получим vx=1-0,25t, ax = - 0,25 м/с2. Видно, что ускорение не зависит от времени. 3) Построить графики vх(t) и aх(t). Охарактеризовать движение на каждом участке графика. Решение. Зависимость скорости от времени - линейная, график представляет собой прямую линию. При t = 0 vх = 1 м/с. При t = 4 с vх = 0. ![]() Из графика видно, что на участке “а” проекция скорости положительная, а ее величина убывает, т.е. точка движется замедленно в направлении оси х. На участке “b” проекция скорости отрицательная, а ее модуль возрастает. Точка движется ускоренно в направлении, противоположном оси х. Следовательно, в точке пересечения графика с осью абсцисс происходит поворот, изменение направления движения. 4) Определить координату точки поворота и путь до поворота. Решение. Еще раз отметим, что в точке поворота скорость равна нулю. Для этого состояния из уравнений движения получаем: ![]() ![]() Из второго уравнения получаем tпов = 4 с. (Видно, чтобы получить это значение не обязательно строить и анализировать график). Подставим это значение в первое уравнение: xпов=-1+4-42/8 = 1 м. Изобразим, как двигалась точка. ![]() Путь до поворота, как видно из рисунка, равен изменению координаты: sпов=xпов-x0=1-(-1)=2 м. 5) В какой момент времени точка проходит через начало координат? Решение. В уравнении движения следует положить х = 0. Получаем квадратное уравнение 0=-1+t-t2/8 или t2-8t+8=0. У этого уравнения два корня: ![]() 6) Найти путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения, и перемещение за это время, а также среднюю путевую скорость на этом участке пути. Решение. Прежде всего найдем координату, в которой оказалась точка после 5 секунд движения и отметим ее на рисунке. x(5)=-1+5-52/8= 0,875 м. ![]() Поскольку в данном состоянии точка находится после поворота, то пройденный путь уже не равняется изменению координаты (перемещению), а складывается из двух слагаемых: пути до поворота s1 = xпов - x0 = 1 - (-1) = 2 м и после поворота s2 = xпов - x(5) = 1 - 0,875 = 0,125 м, s = s1 + s2 = 2,125 м. Перемещение точки равно sх = x(5) - x0 = 0,875 - (-1) = 1,875 м Средняя путевая скорость вычисляется по формуле ![]() В рассмотренной задаче описан один из наиболее простых видов движения - движение с постоянным ускорением. Тем не менее, данный подход к анализу характера движения является универсальным. Пример 26. При одномерном движении с постоянным ускорением зависимости координаты и скорости частицы от времени описываются соотношениями: ![]() Установить связь между координатой частицы и ее скоростью. Решение. Из этих уравнений исключаем время t. Для этого используем метод подстановки. Из второго уравнения выражаем время и подставляем в первое уравнение: ![]() Если движение начинается из начала координат (х0 =0) из состояния покоя (v0x =0), то полученная зависимость принимает вид ![]() хорошо знакомый из школьного курса физики. Пример 27. Движение материальной точки описывается уравнением: ![]() Решение. Условие задачи сформулировано с применением векторного способа описания движения. Перейдем к координатному способу. Коэффициенты при единичных векторах представляют собой проекции вектора скорости, а именно: ![]() Вначале получим зависимости x(t) и y(t), решая задачу первого класса. ![]() ![]() ![]() ![]() Из полученных уравнений исключим времяt. Из первого уравнения ![]() ![]() Обратим внимание, что координата х должна быть отрицательной, что соответствует положительным значениям времени t. Пример 28. Частица движется в положительном направлении оси x так, что ее скорость меняется по закону , где α - положительная постоянная. Учитывая, что в момент времениt = 0 она находилась в начале координат (x0 = 0), найти зависимость от времени скорости частицы. Решение. Установим уравнения, связывающие v и x. По условию задачи . В тоже время можно записать . Отсюда ![]() Разделяя переменные ![]() ![]() ![]() Искомую зависимость скорости от времени можно получить, применяя любое из двух исходных уравнений. Например, ![]() |