Глантз. Книга Primer of biostatistics fourth edition
 Скачать 6.07 Mb.
|
|
Еще одна чашка кофе Вернемся к исследованию выведения кофеина. Мы уже устано- вили, что между тремя группами (группа мужчин и две группы Таблица 10.10. Критические значения Q для попарного сравне- ния групп Число сравниваемых Уровень значимости α выборок k 0,05 0,01 2 1,960 2,576 3 2,394 2,936 4 2,639 3,144 5 2,807 3,291 6 2,936 3,403 7 3,038 3,494 8 3,124 3,570 9 3,197 3,635 10 3,261 3,692 11 3,317 3,743 12 3,368 3,789 13 3,414 3,830 14 3,456 3,868 15 3,494 3,902 16 3,529 3,935 17 3,562 3,965 18 3,593 3,993 19 3,622 4,019 20 3,649 4,044 21 3,675 4,067 22 3,699 4,089 23 3,722 4,110 24 3,744 4,130 25 3,765 4,149 ГЛАВА 10 353 Таблица 10.11. Критические значения Q для сравнения с кон- трольной группой Число сравниваемых Уровень значимости α выборок k 0,05 0,01 2 1,960 2,576 3 2,242 2,807 4 2,394 2,936 5 2,498 3,024 6 2,576 3,091 7 2,639 3,144 8 2,690 3,189 9 2,735 3,227 10 2,773 3,261 11 2,807 3,291 12 2,838 3,317 13 2,866 3,342 14 2,891 3,364 15 2,914 3,384 16 2,936 3,403 17 2,955 3,421 18 2,974 3,437 19 2,992 3,453 20 3,008 3,467 21 3,024 3,481 22 3,038 3,494 23 3,052 3,506 24 3,066 3,518 25 3,078 3,529 J. H. Zar, Biostatistical analysis, 2nd ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1984. женщин — принимающих и не принимающих пероральные кон- трацептивы) существует различие в скорости выведения кофеи- на. Однако осталось неизвестным, какие группы отличаются друг от друга, а какие похожи. Для ответа на этот вопрос предназначены методы множественного сравнения. Поскольку численность групп разная, применим критерий Данна. Из табл. 10.9 видно, что сильнее всего различаются средние ранги в 3-й группе (женщины, принимающие пероральные кон- трацептивы) и в 1-й группе (мужчины). Вычисляем значение критерия Данна: НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 354 ( ) ( ) 3 1 3 1 24 67 11 23 3 409 31 31 1 1 1 1 1 1 12 9 13 12 , , , R R Q N N n n − − = = = + + + + В табл. 10.10 находим 5% критическое значение для k = 3. Оно равно 2,394, то есть меньше выборочного. Тем самым, различия групп статистически значимы (Р < 0,05). Продолжим стягиваю- щие сравнения. Следующая пара групп — женщины, прини- мающие пероральные контрацептивы (3-я группа), и женщины, не принимающие пероральных контрацептивов (2-я группа): ( ) ( ) 3 2 3 2 24 67 14 22 2 438 31 31 1 1 1 1 1 1 12 9 9 12 , , , R R Q N N n n − − = = = + + + + Это значение также больше критического. Наконец, для оставшейся пары групп: ( ) ( ) 2 1 2 1 14 22 11 23 0 7583 31 31 1 1 1 1 1 1 12 9 13 12 , , , , R R Q N N n n − − = = = + + + + что меньше критического. Итак, выведение кофеина у женщин, принимающих пероральные контрацептивы, медленнее, чем у женщин, не принимающих пероральных контрацептивов, и у мужчин; последние же две группы по скорости выведения ко- феина друг от друга не отличаются. Предположение о влиянии половых гормонов на выведение кофеина подтвердилось. ПОВТОРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ: КРИТЕРИЙ ФРИДМАНА Если одна и та же группа больных последовательно подвергается нескольким методам лечения или просто наблюдается в разные моменты времени, применяют дисперсионный анализ повторных измерений (гл. 9). Но чтобы использование дисперсионного ана- лиза было правомерно, данные должны подчиняться нормально- ГЛАВА 10 355 му распределению. Если вы в этом не уверены, лучше восполь- зоваться критерием Фридмана — непараметрическим аналогом дисперсионного анализа повторных измерений. Логика критерия Фридмана очень проста. Каждый больной ровно один раз подвергается каждому методу лечения (или наб- людается в фиксированные моменты времени). Результаты наб- людений у каждого бального упорядочиваются. Обратите вни- мание, что если раньше мы упорядочивали группы, то теперь мы отдельно упорядочиваем значения у каждого больного незави- симо от всех остальных. Таким образом, получается столько упо- рядоченных рядов, сколько больных участвует в исследовании. Далее, для каждого метода лечения (или момента наблюдения) вычислим сумму рангов. Если разброс сумм велик — различия статистически значимы. В табл. 10.12 описаны результаты испытания 4 методов лече- ния на 5 больных. В таблице указаны не сами значения, а их ранги среди данных, относящихся к одному больному. Каждая строка, кроме последней, соответствует одному больному. Пос- ледняя строка содержит суммы рангов для каждого из методов лечения. Различие сумм невелико; не похоже, чтобы эффектив- ность какого-то метода отличалась от эффективности других. Теперь обратимся к табл. 10.13. Различие в эффективности методов выражено предельно четко — упорядочение одинако- во для всех больных. Во всех случаях наиболее эффективным оказался первый метод лечения, следующим — третий, за ним четвертый, и наконец, наименее эффективным — второй. Таблица 10.12. Данные для расчета критерия Фридмана. Пример 1 Больной Метод лечения 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 2 3 3 3 4 1 2 4 2 3 4 1 5 1 4 3 2 Сумма рангов 11 14 13 12 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 356 Таблица 10.13. Данные для расчета критерия Фридмана. Пример 2 Метод лечения Больной 1 2 3 4 1 4 1 3 2 2 4 1 3 2 3 4 1 3 2 4 4 1 3 2 5 4 1 3 2 Сумма рангов 20 5 15 10 Перейдем к количественному оформлению наших впечатле- ний. Критерий Фридмана сходен с критерием Крускала—Уол- лиса и вычисляется следующим образом. Сначала рассчитаем среднюю сумму рангов, присвоенных одному методу. (Именно этой величине равнялась бы сумма рангов любого из методов, если бы они были в точности равноэффективны.) Затем вы- числим сумму квадратов S отклонений истинных сумм рангов, полученных каждым из методов, от средней суммы. Разберем это на примере данных из табл. 10.12 и 10.13. Для каждого больного средний ранг равен (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2,5. В общем случае при k методах лечения средний ранг равен 1 2 1 2 k k k + + + + = … Если каждым методом лечилось n больных, средняя сумма рангов равна п(k +1)/2. В нашем примере п = 5. Поэтому сред- няя сумма рангов равна 5(4 + 1)/2 = 12,5. Значение критерия S определяется формулой ( ) 2 м 1 2 , n k S R + = − ∑ где R м — истинные суммы рангов для методов лечения. Тогда для табл. 10.12 находим: S = (11 – 12,5) 2 + (14 – 12,5) 2 + (13 – 12,5) 2 + (12 – 12,5) 2 = =(–1,5) 2 + (1,5) 2 + (0,5) 2 + (–0,5) 2 = 5, ГЛАВА 10 357 а для табл. 10.13: S = (20 – 12,5) 2 + (5 – 12,5) 2 + (l5 – 12,5) 2 + (10 – 12,5) 2 = = (7,5) 2 + (–7,5) 2 + (2,5) 2 + (–2,5) 2 = 125. Значение S для второй таблицы значительно превосходит зна- чение для первой, что соответствует нашим первоначальным впечатлениям. Величина S позволяет судить, одинакова ли эф- фективность исследуемых методов. Однако поделив ее на nk(k + 1)/12, мы получим более удоб- ный критерий: ( ) ( ) ( ) 2 2 м 1 12 12 1 1 2 r n k S R nk k nk k + = = − + + ∑ χ Это и есть критерий Фридмана. При большой численности группы его величина приблизительно следует распределению χ 2 с числом степеней свободы ν = k – 1. Однако при k = 3 и n ≤ 9 и при k = 4 и n ≤ 4 это приближение оказывается слишком гру- бым. В таком случае нужно воспользоваться приведенными в табл. 10.14 точными значениями 2 r χ Повторим порядок расчета критерия Фридмана. • Расположите значения для каждого больного по возрастанию, каждому значению присвойте ранг. • Для каждого из методов лечения подсчитайте сумму при- своенных ему рангов. • Вычислите значение 2 r χ • Если число методов лечения и число больных присутствует в табл. 10.14, определите критическое значение 2 r χ по этой таб- лице. Если число методов лечения и число больных достаточ- но велико (отсутствует в таблице), воспользуйтесь критичес- ким значением χ 2 с числом степеней свободы ν = k – 1. • Если рассчитанное значение 2 r χ превышает критическое — различия статистически значимы. Теперь применим критерий Фридмана для анализа уже зна- комого исследования. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 358 Таблица 10.14. Критические значения критерия Фридмана k = 3 k = 4 n 2 r χ Р n 2 r χ Р 3 6,00 0,028 2 6,00 0,042 4 6,50 0,042 3 7,00 0,054 8,00 0,005 8,20 0,017 5 5,20 0,093 4 7,50 0,054 6,40 0,039 9,30 0,011 8,40 0,008 5 7,80 0,049 6 5,33 0,072 9,96 0,009 6,33 0,052 6 7,60 0,043 9,00 0,008 10,20 0,010 7 6,00 0,051 7 7,63 0,051 8,86 0,008 10,37 0,009 8 6,25 0,047 8 7,65 0,049 9,00 0,010 10,35 0,010 9 6,22 0,048 8,67 0,010 10 6,20 0,046 8,60 0,012 11 6,54 0,043 8,91 0,011 12 6,17 0,050 8,67 0,011 13 6,00 0,050 8,67 0,012 14 6,14 0,049 9,00 0,010 15 6,40 0,047 8,93 0,010 k — число методов лечения (моментов наблюдения), п — число больных, α — уровень значимости. Owen. Handbook of statistical tables. US Department of Eneigy, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1962. 359 Таблица 10.15. Легочное сосудистое сопротивление при лече- нии гидралазином Легочное сосудистое сопротивление До лечения Спустя 3—6 (контрольное) Спустя 48 часов месяцев Больной Величина Ранг Величина Ранг Величина Ранг 1 22,2 3 5,4 1 10,6 2 2 17,0 3 6,3 2 6,2 1 3 14,1 3 8,5 1 9,3 2 4 17,0 3 10,7 1 12,3 2 Гидрапазин при первичной легочной гипертензии В табл. 10.15 воспроизведены данные о легочном сосудистом сопротивлении из табл. 9.5. В предыдущей главе мы примени- ли к ним дисперсионный анализ повторных измерений. Это допустимо в случае нормального распределения. Но данных так мало, что судить о распределении невозможно. Поэтому при- бегнем к критерию Фридмана, не требующему нормальности распределения. Имеем три измерения (k = 3) у четырех больных (п = 4). Сред- ний ранг для каждого наблюдения 1 + 2 + 3/3 = 2. Средняя сум- ма рангов для каждого измерения равна 4 × 2 = 8. Сумма квадра- тов отклонений для трех наблюдений: S = (12 – 8) 2 + (5 – 8) 2 + (7 – 8) 2 = (4 2 ) + (–3) 2 + (–1) 2 = 26, ( ) 2 12 12 26 6 5 1 4 3 4 , . r S nk k = = = + × × χ Эта величина совпадает с критическим значением 2 r χ при п = 4 и k = 3. Соответствующий точный уровень значимости составляет 0,042. Таким образом, различия между измерени- ями статистически значимы (Р < 0,05). Множественное сравнение после применения критерия Фридмана Как всегда, за выявлением различий между несколькими мето- дами лечения должно последовать выяснение, в чем состоят эти НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 360 различия, то есть попарное сравнение методов лечения. По- скольку число больных, подвергшихся каждому методу лече- ния, одинаково, для этой цели легко приспособить критерий Ньюмена—Кейлса. Если считать один из методов лечения «контролем», то остальные можно сравнить с ним при помощи критерия Даннета. Если речь идет о повторных наблюдениях в ходе лечения, таким контролем естественно считать значения, полученные перед началом лечения. Итак, для попарного сравнения методов лечения (или мо- ментов наблюдения) применяется критерий Ньюмена—Кейлса: ( ) 1 12 , A B R R q nl l − = + где R A и R B — суммы рангов для двух сравниваемых методов лечения, l — интервал сравнения, а п — число больных. Найден- ное значение q сравнивается с критическим из табл. 4.3 для бес- конечного числа степеней свободы. Если найденное значение больше критического, различие методов лечения (моментов на- блюдения) статистически значимо. Для сравнения с контрольной группой применяется крите- рий Даннета: ( ) кон 1 6 , A R R q nl l − ′ = + где l — число всех групп, включая контрольную, R кон — сумма рангов в контрольной группе. Остальные величины определяют- ся, как в формуле для q. Значение q ′ сравнивается с критичес- ким из табл. 4.4 для бесконечного числа степеней свободы. Пассивное курение при ишемической болезни сердца При ишемической болезни сердца коронарные артерии сужены атеросклеротическими бляшками. В отсутствие физической на- грузки, когда потребность миокарда в кислороде низка, это ни- как не сказывается на состоянии больного. Однако при физи- ГЛАВА 10 361 ческой нагрузке, когда потребность миокарда в кислороде уве- личивается, коронарные артерии уже не могут обеспечить соот- ветствующего увеличения кровотока и развивается приступ сте- нокардии. Курение для больных ишемической болезнью сердца особен- но вредно. Тому есть несколько причин. Первая — при курении происходит сужение артерий и ухудшается кровоток. К сердцу поступает меньше кислорода и питательных веществ, затрудня- ется удаление продуктов метаболизма. Вторая причина — окись углерода из сигаретного дыма проникает в кровь и связывается с гемоглобином, замещая кислород. И наконец, третья причина — никотин и другие содержащиеся в табачном дыме вещества снижают сократимость миокарда, уменьшая кровоток и снаб- жение кислородом и питательными веществами всех органов, в том числе самого миокарда. В результате переносимость физи- ческой нагрузки снижается — приступы стенокардии возника- ют при менее интенсивной и продолжительной физической на- грузке. Приводит ли к таким же последствиям пассивное курение? На этот вопрос попытался ответить У. Аронов*. В эксперименте участвовали 10 больных ишемической бо- лезнью сердца. Переносимость физической нагрузки определя- ли как время, в течение которого больной мог выполнять работу (крутить велотренажер) до возникновения приступа стенокардии. У каждого больного определяли переносимость физической нагрузки, затем в течение 2 часов он отдыхал в отдельной ком- нате, где присутствовала специальная группа окуривателей из 3 человек. Окуриватели либо не курили, либо выкуривали по 5 сигарет, в последнем случае помещение либо проветривали, либо не проветривали. После такого отдыха переносимость фи- зической нагрузки определяли вновь. Исследование продолжа- лось 3 дня, и каждый больной испытал (в случайном порядке) все три вида отдыха, по одному в день. Результаты представле- ны в табл. 10.16. Сначала, рассматривая данные как 6 отдельных измерений, * W. S. Aronow. Effect of passive smoking on angina pectoris. N. Engl. J. Med., 299: 21—24, 1978. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 362 оценим статистическую значимость различий между ними. При- меним критерий Фридмана. Средний ранг равен 1 2 3 4 5 6 3 5 6 , . + + + + + = Средняя сумма рангов по каждому измерению 3,5 ×10 = 35. Тогда: S = (44 – 35) 2 + (53 – 35) 2 + (39 – 35) 2 + + (20 – 35) 2 + (44 – 35) 2 + (10 – 35) 2 = 1352, ( ) 2 12 1352 38 629 10 6 6 1 , r = = × + χ Полученное значение больше 20,517 — критического зна- чения χ 2 для 0,1% уровня значимости при n = k – 1 = 6 – 1 = 5 степенях свободы (см. табл. 5.7). Тем самьм, различия статисти- чески значимы. Чтобы понять, в чем заключаются различия, применим кри- терий Ньюмена—Кейлса. Все измерения перенумеруем как по- казано в табл. 10.6, расположим по убыванию сумм рангов и приступим к попарному сравнению. Крайние суммы рангов — 53 при 2-м измерении и 10 при 6-м измерении. Интервал срав- нения l = 6, число больных n = 10. ( ) 2 6 53 10 7 268 10 6 7 1 12 6 , R R q nl l − − = = = × × + Значение q превышает 4,030 — критическое значение q для уровня значимости α′ = 0,05, интервала сравнения l = 6 и беско- нечного числа степеней свободы (табл. 4.3А). Различия стати- стически значимы. Остальные попарные сравнения приведены в табл. 10.17. Уровни четко разделяются на три группы. Первая группа (максимальная переносимость физической нагрузки) включает 1, 2, 3 и 5-е измерения, то есть все три измерения до отдыха, а также измерение после отдыха на свежем воздухе. Вто- рая группа представлена единственным измерением — после отдыха в прокуренном, но проветриваемом помещении. Нако- ГЛАВА 10 363 Т аб лица 10.16. Про до лжительно сть физиче ск ой нагр узки у бо льных ишемиче ск ой бо ле знью с ер дца до и по сле о тдых а при пассивно м к урении разной интенсивно сти , с Пассивно е курение , Пассивно е курение бе з Св ежий в оз ду х пров етрив ание провет рив ания 12 34 5 6 До о тдых а П осле о тдых а Д о от дых а П осле о тдых а Д о от дых а П осле о тдых а Бо льной Время Ранг Время Ранг Время Ранг Время Ранг Время Ранг Время Ранг 1 193 4 217 6 191 3 149 2 202 5 127 1 2 206 5 214 6 203 4 169 2 189 3 130 1 3 188 4 197 6 181 3 145 2 192 5 128 1 4 375 3 412 6 400 5 306 2 387 4 230 1 5 204 5 199 4 21 1 6 170 2 196 3 132 1 6 287 3 310 5 304 4 243 2 312 6 198 1 7 221 5 215 4 213 3 158 2 232 6 135 1 8 216 5 223 6 207 3 155 2 209 4 124 1 9 195 4 208 6 186 3 144 2 200 5 129 1 10 231 6 224 4 227 5 172 2 218 3 125 1 Су м м а ранг ов 44 53 39 20 44 10 Сре днее 231,6 241,9 232,3 181,1 233,7 145,8 время W , S. Aronow . Ef fect of passive smoking on angina pectoris. N. Engl. J.Med., 299:21–24, 1978. 364 нец, третья группа (переносимость физической нагрузки мини- мальная) также содержит единственное измерение — после от- дыха в прокуренном непроветриваемом помещении. Между из- мерениями, вошедшими в разные группы, различия статистически значимы (при α′ = 0,05). Общий вывод из работы Аронова: пас- сивное курение снижает переносимость физической нагрузки при ишемической болезни сердца. ВЫВОДЫ Изложенные в этой главе методы предназначены для проверки тех же гипотез, что критерий Стьюдента и дисперсионный ана- лиз, но при этом не требуют, чтобы данные подчинялись нор- мальному распределению. Заменяя исходные данные рангами и избавляясь тем самым от необходимости делать какие-либо пред- положения относительно типа распределения, мы сохраняем большую часть информации о значениях признака и их изме- |