ОТЦ. Лекции по ОТЦ Часть 1. Конспект лекций по дисциплине Основы теории цепей (часть I) Составитель к т. н., доц. Михайлов В. И. Самара, 2008 г
![]()
|
8. Нелинейные электрические цепиНелинейные цепи – это цепи, у которых свойства, параметры зависят от величин токов и напряжений в этих элементах. Выделяют нелинейное резистивное сопротивление, нелинейную индуктивность и нелинейную емкость. 1. Нелинейные элементы R ![]() R=R(u) – управляемый напряжением. ![]() Нелинейное резистивное сопротивление характеризуют: 1) статическим сопротивлением в некоторой точке ![]() Технически статическое сопротивление – это сопротивление постоянного тока в какой-то точке. 2) дифференциальным сопротивлением ![]() Технически дифференциальное сопротивление – это сопротивление переменного тока малой амплитуды в какой-то точке. дифференциальным сопротивлением ![]() ![]() Технически дифференциальное сопротивление – это сопротивление переменному току малой амплитуды в какой-то точке. В общем случае оно не равно статическому. Аналогичные исследования проводятся для нелинейной индуктивности и емкости. ![]() На практике нелинейные резисторы реализуются полупроводниковыми приборами, а их вольтамперные характеристики снимаются экспериментально. В ряде задач вольтамперные характеристики нелинейных резисторов требуется описать аналитически. Чаще всего используют полиномы вида i = a0 + a1u + a2u2 + a3u3 + … По экспериментальной кривой определяются коэффициенты а0 , а1 , а2 , а3 ,…. Получение аналитической зависимости по заданной графически характеристике называется аппроксимацией. Рассмотрим в общем виде, как находятся коэффициенты а0 , а1 , … в. Ограничим полином (n + 1) членом. i = a0 + a1u + a2u2 + … + anun. Для определения коэффициентов аk этого ряда используется метод выбранных точек. Суть его состоит в том, что в выбранном интервале полученный ряд будет совпадать с заданной характеристикой в (n + 1)-й точке. Для этого надо составить n + 1 уравнение, совместное решение которых определяет коэффициенты аk : ![]() В этих уравнениях i1 , i2 , …, in+1 – значения токов при напряжениях, соответственно равных u1 , u2 , …, un+1 , которые берутся из графика заданной характеристики. Аппроксимация с помощью степенного полинома может быть проведена с достаточно большой точностью. Но для этого потребуется использование полиномов высоких степеней, полученные выражения будут громоздки и неудобны для исследования процессов в нелинейных цепях. Поэтому в зависимости от вида нелинейной характеристики используют полиномы невысоких порядков Аналогичные исследования проводятся для нелинейной индуктивности и емкости. 2. Расчет цепей с нелинейными элементами 1) Последовательное соединение При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 1,б, соответствующие цепи на рис. 1,а. 2) Параллельное соединение П ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б, соответствующие цепи на рис. 2,а. Аппроксимация характеристик нелинейных элементовДля того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем приводятся как справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое уравнение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции. Для этого применяют полиномы: степенные, экспоненциальные и тригонометрические. Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом. ![]() ![]() Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n+1) точек на заданной функции и составляется система уравнений: ![]() Из этой системы находятся коэффициенты а0, а1, а2, …, аn. В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома). Можно использовать экспоненциальный полином: ![]() Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору. В этом случае выбирается одно точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные. Аппроксимация по Батерворту: выбирается простейший полином: ![]() В этом случае можно определить максимальное отклонение ε. ![]() Аппроксимация по Чебышеву является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. Ч ![]() ![]() В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |