ОТЦ. Лекции по ОТЦ Часть 1. Конспект лекций по дисциплине Основы теории цепей (часть I) Составитель к т. н., доц. Михайлов В. И. Самара, 2008 г

• Название: Конспект лекций по дисциплине Основы теории цепей (часть I) Составитель к т. н., доц. Михайлов В. И. Самара, 2008 г
• Дата: 24.09.2022
• Размер: 3.24 Mb.
• Имя файла: Лекции по ОТЦ Часть 1.doc
• Тип: Конспект лекций; #693470
• страница: 6 из 8

6. Резонансные явления и колебательные контуры в электрических цепях

§1. Понятие о резонансе в ЭЦ

Под резонансом понимают такой режим работы электрической цепи, содержащей RL- и RC-элементы, когда угол сдвига фаз между напряжением и током на какой-то частоте равен 0. Это так называемый фазовый резонанс. Есть амплитудный резонанс, когда достигается максимальная амплитуда колебаний напряжения или тока. Он не является основным для ТЭЦ, основной – фазовый. Резонансная частота определяется по нулевому фазовому сдвигу.

Различают резонанс напряжений, L и C соединены последовательно (индуктивное напряжение компенсируется емкостным) и резонанс токов, L и C – параллельно (индуктивный ток компенсируется емкостным);





X=0 = X_LЭ - X_CЭ– резонанс напряжений

В=0=B_CЭ - B_LЭ – резонанс токов



§2. Последовательный колебательный контур
1. Основные понятия и параметры

ПКК – это электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных катушки индуктивности и конденсатора/ ( резисторов нет, но их иногда включают)

П ри анализе ПКК составляют схему замещения:

Условие резонанса φ(ω_Р)=0 (ω_РL – 1/ω_РC = 0) .

Основные параметры:

1) резонансная частота - это частота, на которой φ=0.

2) характеристическое сопротивление – это сопротивление реактивного элемента на резонансной частоте



3) добротность – усилительная способность контура, показывающая во сколько раз реактивная энергия в контуре больше активной на резонансной частоте..



На диаграмме показан вектор тока по горизонтали, вектор напряжения на конденсаторе, отстающий на угол 90⁰, вектор напряжения на катушке индуктивности опережающий ток на угол несколько меньше 90⁰ и вектор общего напряжения, являющийся их суммой.

4) Полоса пропускания П - полоса пропускания –это диапазон частот, где активная мощность поглощаемая контуром не сильно отличается от максимальной поглощаемой мощности

(критерий 0.5 от Р₀=Р max). Максимальная мощность получается на резонансной частоте, потому что здесь максимальный ток.

График тока в последовательном контуре носит резонансный характер и ток максимален на резонансной частоте I_0(1,2)=I_max =U/R_K(1,2) R_K2 < R_K1 (Q₂ > Q₁) и I₀₁ < I₀₂ .





- абсолютная полоса пропускания - относительная полоса пропускания, связана с добротностью.
2. Частотные характеристики последовательного контура

Зависимость напряжения на катушке и конденсаторе от частоты имеет резонансный характер, причем, если Q>>1, то экстремумы этих напряжений будут почти совпадать с резонансной частотой. Более удобно использовать в контуре нормированные или относительные величины – так легче делить шкалу и соблюдать масштаб. При этом вид графиков сохраняется.

I/I_0(Р)

η

Чем больше добротность,

тем меньше полоса пропускания и круче характеристика..

Можно рассматривать частотные зависимости и для напряжений.

.

4. Виды расстроек колебательного контура

Под расстройкой понимают отклонение подаваемой на контур частоты от резонансной.

- абсолютная расстройка

- относительная расстройка

- обобщенная расстройка

Практически расчетные формулы для контура определяют через обобщенную расстройку. На границах полосы пропускания обобщенная расстройка равна -1 и +1.



U_C/U_C0


На резонансной частоте U_C/U_C0=1 ,на границах полосы пропускания 0,707, а обобщенная расстройка равна по абсолютной величине1. Основное предназначение колебательного контура – выделять сигнал нужной частоты, совпадающей с резонансной. Необходима большая избирательность контура и хорошее подавление помех то есть большая крутизна частотных характеристик и следовательно большая добротность.


Для оценки избирательности контура вводят понятие коэффициента подавления помехи на частоте помехи

К_П(f_П)=I₀/I(f_П).≈U_C0/U_C(f_П), где f_П - частота помехи ( мешающего сигнала).


5. Комплексные передаточные функции (комплексные частотные характеристики)




Будем рассматривать линейную электрическую цепь. На вход цепи подключен гармонический источник (воздействие). На выходе рассматривается реакция цепи (отклик на воздействие).

Под комплексной передаточной функцией понимают отношение комплексного изображения гармонической реакции ЛЭЦ к комплексному изображению воздействия на цепь.

Пусть воздействие , а реакция - ; а комплексная передаточная функция . Тогда . Если воздействие гармоническое и мы будем менять частоту, то получим комплексную частотную характеристику (КЧХ).



Сокращенно функцию T(jω) называют комплексным коэффициентом передачи. Модуль комплексного коэффициента T(ω) представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ). Аргумент комплексного коэффициента передачи - это фазово-частотная характеристика (ФЧХ).

АЧХ – это такая характеристика цепи, которая показывает, как изменяется в зависимости от частоты отношение амплитуды реакции (выходного сигнала) к амплитуде воздействия (входного сигнала) при гармоническом воздействии.

ФЧХ – это такая характеристика цепи, которая показывает, как изменяется сдвиг фаз выходного и входного сигнала в зависимости от частоты при гармоническом воздействии.

Это основные характеристики электрических цепей. Теоретически они рассчитываются с помощью расчетных методов на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Практически они измеряются с использованием приборов (вольтметров, фазометров, осциллографов).

В зависимости от вида реакции и воздействия различают четыре типа передаточных функций: по напряжению (напряжение / напряжение), по току (ток / ток), по сопротивлению (напряжение / ток), по проводимости (ток /напряжение ).

Для примера рассмотрим колебательный контур:











Q>>1
кривая пунктирная при Q<1.,

при ω=ω₀ К₀=Q


С использованием расстройки
6. Влияние внешних сопротивлений на избирательность контура (на добротность и полосу пропускания)

1) Влияние внутреннего сопротивления источника

добротность уменьшается, коэффициент подавления помехи уменьшается (на той же частоте помехи величина расстройки ξ будет меньше), полоса пропускания увеличивается. Избирательность (подавление помех) ухудшается.
2) Влияние сопротивления нагрузки



Появляется некоторое добавочное сопротивление . , т.к. добротность рассматривается на резонансной частоте. Добротность уменьшается, полоса пропускания возрастает, а коэффициент подавления помехи уменьшается. Избирательность ухудшается. Любое добавочное сопротивление ухудшает избирательность; это надо учитывать на практике.

Пример расчета


Рассмотрим графики частотной зависимости напряжения на емкости последовательного контура, так же с учетом сопротивления источника сигнала или нагрузки.

Гц
§3. Параллельный колебательный контур

1. Идеализированный контур
- комплексная проводимость.

- резонансная частота - характеристическое сопротивление, сопротивление реактивного элемента на резонансной частоте, На ней Y=1/R

, - усилительная способность контура где I_L0, I_C0 – токи на резонансной частоте; I – общий ток. Полоса пропускания П определяется аналогично, как для последовательного контура по уровню половинной активной мощности. Коэффициент подавления помехи: Рассчитаем токи в ветвях идеального параллельного контура при резонансе. При резонансе (=_р) токи в ветвях контура равны


и в Q раз больше тока в общей ветви. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.

Векторные диаграммы:



ω < ω₀ ω > ω₀ ω = ω₀
2. Реальный параллельный контур Схема замещения:



Условие резонанса:

Условие приближения к идеальному контуру:

Резонансное сопротивление:





Векторная диаграмма:



3. Частотные зависимости




М гновенное значение гармонического напряжения .
Из этого следует, что при I=const действующее напряжение на контуре и амплитудное будет повторять зависимостьвеличины Zот (f)
.





П=ω₂ – ω₁ Здесь полоса пропускания определяется по уровню 0,707 от максимального значения напряжения на контуре и обобщенная расстройка на границах равна - ,+1.
При резонансе (=0) Х=0. Зависимость Х от  показана ниже . Параллельный колебательный контур на частоте ниже резонансной (<0) ведет себя как некоторая индуктивность (Х>0), на частоте выше резонансной (>0) – некоторая емкость (Х<0).





Здесь , R=Re(Z), X=Im(Z).

4. Влияние внешних сопротивлений на избирательность контура

1) Влияние внутреннего сопротивления источника

- резонансное сопротивление уменьшается.

- эквивалентная добротность уменьшается. Избирательные свойства контура ухудшаются, он слабее подавляет помехи.

Коэффициент подавления помехи: можно определять и так U_P(Э)=I۰R_P(Э), - увеличивается с уменьшением Q_ЭИ и К_ПП ↓.

2) Влияние сопротивления нагрузки



Избирательные свойства ухудшаются, К _ПП ↓..


3) Влияние внутреннего сопротивления источника и сопротивления нагрузки






и К _ПП ↓.

Вывод: Для того, чтобы не ухудшались избирательные свойства контура, необходимо, чтобы R_И, R_Н>>R_Р. Либо надо заранее делать контур с большой добротностью.

Пример расчета параллельного контура в Mathcad








Гц


Графики частотных зависимостей напряжения на параллельном контуре

Схема исследования параллельного контура в EWB


§4. Сложные колебательные контуры




На практике часто используются сложные параллельные контуры для уменьшения резонансного сопротивления, которое в простых контурах достигает десятков и даже сотен килоом, резонансная частота при этом не изменяется.



Для параллельного контура с двумя катушками полная индуктивность и полная емкость равны L=L₁+L₂C=C₁. В контуре с двумя конденсаторами – L=L₁ . На частотах, близких к частоте , реактивные сопротивления правой и левой ветвей примерно равны и противоположны по знаку , где X_12р – сопротивление любой ветви на частоте резонанса. Введем понятие – коэффициент включения р.
, где .
Тогда для контура а , для контура б ,
а сопротивление сложного контура на частоте резонанса
. Коэффициент включения , поэтому . Индуктивность простого параллельного контура L разделяют на две части, чтобы получить нужный коэффициент включения и ,и при этом не изменить резонансную частоту (вариант а). Вариант б сложнее использовать практически.
1. Контур с двумя индуктивностями





L₂ и C соединены последовательно может быть резонанс напряжений; L₁ и C соединены параллельно может быть резонанс токов.

Условие резонанса напряжений:



Условие резонанса токов:

При ω=0 Z(0)=0, При ω= ω_РТZ(ω_РТ)= ∞ (≈R_РЕЗ,) при ω→∞ Z(∞)→∞
2. Контур с двумя емкостями




Условие резонанса напряжений:

Условие резонанса токов:

При ω=0 Z(0)→∞, при ω= ω_РН Z(ω_РН)=0(R_К). При ω= ω_РТ Z(ω_РТ)→∞(R_рез), при ω→∞ Z(∞)→0

_{рез напр} используется для усиления р
0
езонанса контура и лучшего подавления какой то очень мешающей помехи, соответствующей частоте минимума. Пример: приемо-передатчик - рация ( в них бывают режимы работы - симплекс- попеременная работа; дуплекс – одновременная работа)

П
ри симплексной работе двух приемо – передатчиков передача сигнала и прием ведется поочередно и на одной частоте.. Это не совсем удобно, но экономично. При дуплексной работе можно одновременно передавать и принимать сигналы, но нужно использовать для передачи и приема разные частоты и f_{1 Пр} = f_{2 Пер} f_{1 Пер} = f_{2 Пр} Сигнал своего передатчика при дуплексном режиме сильно мешает своему приемнику, так как он значительно мощнее и его надо сильнее подавить с использованием сложных контуров.

3. Контур с двумя емкостями и двумя индуктивностями

У данного контура три резонансной частоты: две – резонанса напряжений, одна - резонанса токов.



Z(0)=∞ Z(ω_PH1,2)=0 (R_K) Z(ω_PT)=∞(R_РЕЗ) Z(∞)→∞.




§5. Связанные колебательные контуры

1. Общие понятия

Связанными называются такие контуры, которые влияют на резонансные свойства друг друга. Типы связи:

1. 
   взаимно-индуктивная или магнитная (трансформаторная)
   

2. 
   внешняя и внутренняя индуктивная
   
3. 
   внешняя и внутренняя емкостная
   

4. 
   автотрансформаторная
   

5. 
   комбинированная
   

2. Анализ взаимно-индуктивных связанных контуров

1) Уравнения связанных контуров при магнитной связи



В общем случае анализ проводится в интегральной и дифференциальной форме, а при гармоническом воздействии – в комплексной форме.

Здесь исходно встречное включение (в скобках – согласное). Z_M=jωM

Коэффициент передачи: .





- вносимое сопротивление в 1 контур.

Для упрощения можно обозначить:



По этой формуле можно определить амплитудно-частотную характеристику.

Резонансы в связанных контурах

Можно рассмотреть данный вопрос на примере тока .

, где

Другой контур оказывает влияние на резонанс, т.к. резонансная частота будет определяться соотношением:

Здесь можно рассмотреть два варианта:

1. 
   Одинаковые собственные (без влияния) частоты контуров, т.е. ω₀₁=ω₀₂.
   
2. 
   Не одинаковые ω₀₁ ≠ ω₀₂.
   

Первый вариант чаще применяется. X_1ВН(ω₀)=0

Резонанс в системе связанных контуров достигается соответствующей их настройкой.

1. 
   Первый частный резонанс обеспечивает максимум тока I₁ и достигается настройкой контура 1 до обеспечения условия: .
   

, .

2. 
   Второй частный резонанс обеспечивает максимум тока I₂ и достигается настройкой контура 2 до обеспечения условия: .
   

, .

3. 
   Сложный резонанс осуществляется путем настройки каждого контура на частный резонанс и подбором оптимального сопротивления связи: . При этом в контуре 2 ток достигает максимально возможного значения из максимальных:
   

, где .

Далее



Окончательно получаем: .

4. 
   Полный резонанс достигается настройкой каждого контура в индивидуальный резонанс , при отключенной связи и подбором оптимальной связи при ее включении.:. Поскольку , то .и
   

Максимальная мощность выделяется во 2 контуре при максимуме тока в нем, поэтому среди частотных характеристик наибольший интерес представляет зависимость .

Ток в контуре 2 , где , , .

Пусть , , тогда .

.

При 0 расстройке Х₁ и Х₂ равны 0, ток будет иметь экстремум – максимум или минимум. Это зависит от сопротивления связи Х₁₂=ωМ и , а

Часто рассматривают относительные характеристики вида I₂/I_2mm. Здесь I_2mm – максимальное из всех максимальных значений.

Здесь можно выделить слабую связь, оптимальную или критическую, сильную и сверхсильную связи. При слабой связи ωM – мало, т.е. M – мало. Тогда вносимое сопротивление тоже небольшое и не сказывается на характеристиках – они практически такие же, как у одиночного контура. Если связь оптимальная или критическая, то вносится некоторое среднее сопротивление. Частотная характеристика становится более прямоугольной и полоса пропускания становится несколько больше чем у одиночного контура при идентичных контурах. Если связь сильная, то вносится большое сопротивление, соответственно ток I₁ и I₂ становятся меньше на резонансной частоте, а на других могут быть больше. Получается «двугорбая» характеристика с провалом. Связанные контуры позволяют сильно подавить помехи при довольно широкой полосе пропускания. Она может быть в 3 раза больше, чем у одиночного контура (при сильной связи в 3,1 раза но когда провал характеристики не ниже 0 ,707 от максимума). Для разговорной речи достаточно узкой полосы пропускания (300 – 3400 Гц). Широкая полоса пропускания требуется, например, для сигнала музыкального (100 – 15000 Гц).

Анализ частотных характеристик связанных контуров

Рассмотрим ток при одинаковых контурах (ξ₁=ξ₂=ξ)

.
Модуль последнего выражения .
Введем обозначения (при _р) .
До множим и разделим на _pL и учтем, что добротность контура , а k при одинаковых контурах (L₁=L₂=L) равно . Здесь k – коэффициент магнитной связи. Тогда
.
Максимально возможный ток второго контура при одинаковых контурах (R₁=R₂=R) равен . С учетом введенных обозначений модуль тока I₂ принимает вид
.
Нормированная амплитудно-частотная характеристика связанных контуров
.

Рассмотрим вид зависимости при различных значениях kQ.

Величина kQ называется фактором связи.

1. 
   Слабая связь . В этом случае в знаменателе можно пренебречь величиной (kQ)² по сравнению с единицей
   .
   
2. 
   Амплитудно-частотная характеристика достигает максимума при =0 (рис. ). Значение тока при резонансе тем больше, чем больше фактор связи kQ, но остается меньше единицы, следовательно полный резонанс не достигается. Нормированная амплитудно-частотная характеристика похожа как у одиночного контура
   . Сравнение этого выражения показывает, что крутизна склонов амплитудно-частотных характеристик связанных контуров будет выше, чем в одиночном контуре.
   

1. 
   
   
   

   0

   0

   
   
   
   Критическая связь kQ=1. Подстановка kQ=1 в приводит к выражению
   . Амплитудно-частотная характеристика достигает максимума при =0, максимум равен единице , т.е. в системе контуров имеет место полный резонанс. Крутизна скатов характеристики выше, чем в одиночном колебательном контуре.
   

Полоса пропускания по уровню 0,707 системы связанных контуров при критической связи , отсюда . В одиночном контуре границы полосы пропускания соответствуют =1, следовательно в системе связанных контуров (kQ=1) полоса пропускания будет в раз шире полосы одиночного контура.

1. 
   Сильная связь kQ>1. В этом случае для амплитудно-частотной характеристики надо пользоваться общим выражением . Если исследовать на экстремумы, т.е. , то окажется, что имеется три экстремума, соответствующие значениям
   . Более тщательное исследование показывает, что при ₁ и ₂ функция имеет максимумы, а при ₃ – минимум, т.е. амплитудно-частотная характеристика имеет вид, показанный на рисунке. При значениях ₁ и ₂ , следовательно в системе связанных контуров наблюдается сложный резонанс. Значение функции при =0 равно , т.е. тем меньше, чем больше фактор связи kQ. Изменение амплитудно-частотной характеристики с увеличением фактора связи показано
   

Амплитудно-частотная характеристика системы связанных контуров с ростом фактора связи kQ меняется от одногорбой до двугорбой , крутизна склонов кривой возрастает, характеристика расширяется.

При слабой связи максимум тока I₂ наступает на частоте _р – резонансной частоте контура при сильной связи кривая тока имеет два максимума на частотах (частотах связи), определяемых из условия ,
где . Полоса пропускания двух идентичных индуктивно связанных контуров на уровне зависит не только от затухания контуров d, но и от коэффициента связи k.
При слабой связи и при идентичных контурах относительная полоса пропускания
.
При критической связи и идентичных контурах относительная полоса пропускания
. При сильной связи и при идентичных контурах относительная полоса пропускания
Максимальная полоса пропускания (в этом случае провал при =0 будет до уровня 0,707 – рис. 7.6.3) имеет место при коэффициенте связи k=2,41d и равна

3. Практическое применение

Применяются в радио-, телевизионных приемниках для получения характеристики, близкой к идеальной (прямоугольной) для выделения полосы частот сигнала нужной средней частоты. Чаще используется несколько связанных контуров 3 – 5 ( Фильтры сосредоточенной селекции - ФСС в усилителе промежуточной частоты – УПЧ, здесь осуществляется основная селекция и усиление принимаемого сигнала, начальная селекция осуществляется во входных цепях радиоприемников перестраиваемыми контурами, связанные контуры сложно сделать с перестройкой резонанса).