Конспект лекций по курсу Теории автоматического регулирования. Теория автоматического регулирования_консп. Конспект лекций по курсу Теории автоматического регулирования Новокузнецк 2002 2 содержание
 Скачать 0.89 Mb.
|
|
2.2. Необходимые условия устойчивости САР Можно легко указать необходимый признак устойчивости системы. Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характери- стического уравнения были положительными. Это условие можно назвать тривиальным. Действительно, пусть n p p p , , , 2 1 K корни характеристиче- Рисунок 2.1 – Расположение корней на комплексной плоскости 33 ского уравнения устойчивой системы. Характеристическое уравнение можно записать в виде: 0 ) ( ) )( ( 2 1 0 = − − − n p p p p p p a K (23) Если i i p α = - действительный корень, то в силу устойчивости систе- мы 0 < i α . Тогда в сомножителе i i p p p α − = − в уравнении (23) все ко- эффициенты положительны. Если i i i j p β α ± = - комплексный корень и 0 < i α в силу устойчивости системы, то пара сомножителей 0 ) ( ) )( ( 2 2 = + + = − − β α p p p p p k i также будет иметь положительные коэффициенты. Отсюда следует, что по- сле раскрытия скобок в (23) и приведения его к виду: 0 1 1 1 0 = + + + + − − n n n n a p a p a p a K (24) все коэффициенты будут положительны. Таким образом если система устойчива, то все коэффициенты характе- ристического уравнения должны быть строго положительны. Если хотя бы один коэффициент будет отрицательным или равным нулю, то можно сразу сказать, что система неустойчива. Таким образом неположительность хотя бы одного коэффициента характеристического уравнения гарантирует неус- тойчивость системы, однако обратное, вообще говоря, неверно, то есть по- ложительность всех коэффициентов уравнения есть необходимое и достаточ- ное условие лишь для систем первого и второго порядков. Уже для систем третьего порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения недостаточна для устойчивости системы. Для систем выше второго порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты характеристического урав- нения положительны, то все вещественные корни отрицательные, но среди комплексных корней могут быть и корни с положительной вещественной ча- стью. Если хотя бы один коэффициент отрицателен, то система заведомо не- устойчива. При равенстве нулю коэффициента n α система находится на гра- нице устойчивости. При равенстве нулю любого другого коэффициента сис- тема находится либо на границе устойчивости, либо неустойчива. На практике для упрощения расчетов устойчивость САР определяют с помощью критериев устойчивости. Критерий устойчивости – это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней харак- теристического уравнения. Рассматриваются коэффициенты характеристиче- ского уравнения или их функции. Критерии устойчивости разделяют на на алгебраические и частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица, Льенара-Шипара и Раусса, к частотным – Критерий Михайлова и Найквиста. 34 2.3. Алгебраические критерии устойчивости Из алгебраических критериев устойчивости чаще используются крите- рии Гурвица и Раусса. Критерий Гурвица удобен для устойчивости систем третьего и четвертого порядка, когда известны параметры системы. Кроме того он позволяет получить аналитическое выражение для исследования влияния какого – либо параметра на устойчивость системы. Критерий Раусса широко используют для определения устойчивости систем высокого порядка, если известны коэффициенты характеристического уравнения. Этот критерий удобен для использования на ЭВМ. Критерий устойчивости Гурвица. Критерий определяет необходи- мые и достаточные условия устойчивости системы любого порядка. Крите- рий формулируется следующим образом. Из коэффициентов характеристиче- ского уравнения (24) составляется квадратная матрица с n строками и n столбцами: L L L L L L 4 2 0 5 3 1 6 4 2 0 7 5 3 1 8 6 4 2 0 9 7 5 3 1 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Правило составления матрицы Гурвица простое – первая строка запол- няется коэффициентами с нечетными индексами, а вторая – коэффициентами с четными индексами. Дальнейшие строки отличаются от первой пары сме- щением вправо на один, два, три и так далее столбца. Все коэффициенты с индексами, большими степени, заменяются нулями. Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для того что- бы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при 0 0 > a все определители Гурвица, составленные из коэффициентов характеристи- ческого уравнения замкнутой системы, были бы положительны. Т.е. чтобы 0 , 0 , , 0 , , 0 1 1 3 1 4 2 0 5 3 1 3 2 0 3 1 2 1 1 > Δ ⋅ = Δ > Δ = Δ = Δ > = Δ − − n n n n a a a a a a a a a a a a a a L (25) Условия устойчивости Гурвица остаются справедливыми и для харак- теристического уравнения, записанного в виде: , 0 0 1 1 1 = + + + + − − a p a p a p a n n n n K поскольку корни этого уравнения будут взаимно обратны корням уравнения (24), а это не изменяет знака их действительных частей. 35 Система находится на границе устойчивости если 0 = Δ n и все предыдущие определители в (25) положительны. Это условие распадается на два: 0 = n a (апериодическая граница устойчивости) и 0 1 = Δ − n (колебательная граница устойчивости). Критерий устойчивости Раусса. Применение критерия требует со- ставления таблицы Раусса (таблица 2.1): Таблица 2.1 – Таблица Раусса № столбца № строки 1 2 3 1 0 a 2 a 4 a 0 2 1 a 3 a 5 a 0 3 11 c 12 c 13 c 0 4 21 c 22 c 23 c 0 0 Элементами первой строки являются четные коэффициенты характери- стического уравнения, начиная с 0 a . Элементы второй строки – нечетные коэффициенты, начиная с 1 a . Элементы 11 c , 12 c , . . .определяются следую- щим образом: L , , 1 5 0 4 1 12 1 3 0 2 1 11 a a a a a c a a a a a c ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = L L , , 11 12 0 4 1 12 11 3 0 2 11 21 c c a a a c c a a a c c ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = Заполнение таблицы Раусса прекращается если в первом столбце встретится отрицательный или нулевой коэффициент. В этом случае можно сделать вывод что система неустойчива или устойчива. Пример. Исследовать устойчивость замкнутой САР с единочной обрат- ной связью. Передаточные функция объекта регулирования задана в виде инерционного звена первого порядка, передаточная функция регулирующего устройства – в виде пропорционально-интегрального закона регулирования. Коэффициенты объекта регулирования: c T k o o 3 ; 6 , 1 = = , коэффициенты регулятора: 04 , 0 ; 5 , 0 = = и п k k Передаточная функция замкнутой САР имеет вид: ) ( ) 1 ( ) ( ) ( и п o и п o k p k k p Tp k p k k p G + + + + = Характеристическое уравнение: 36 0 ) 1 ( 2 = + + + и o п o k k p k k Tp Подставим значения коэффициентов и после преобразований получим: 0 064 , 0 8 , 1 3 2 = + + p p Составим таблицу Раусса. Таблица 2.1 – Пример исследования устойчивости по критерию Раусса № столбца № строки 1 2 3 1 3,0 0,064 0 2 1,8 0 0 3 0,064 0 0 4 0 Все элементы первого столбца положительны, следовательно САР ус- тойчива. Пример 2. Определить условия устойчивости по и k для одноконтур- ной САР, рассмотренной в предыдущем примере. Характеристическое уравнение САР имеет вид: 0 6 , 1 8 , 1 3 2 = + + и k p p Составим определитель Гурвица и k 6 , 1 0 , 3 0 8 , 1 Условия устойчивости одноконтурной САР записываются как: 0 0 0 0 , 3 6 , 1 8 , 1 > ⇒ > ⋅ − ⋅ и и k k , т.е. САР будет устойчива при любых положительных значениях и k . При 0 = и k соответствует апериодической границе устойчивости системы. 2.4. Частотные критерии устойчивости Прежде чем рассматривать частотные критерии устойчивости введем понятие частотных характеристик системы регулирования. Пусть на вход линейной одномерной системы регулирования приложе- но гармоническое воздействие с амплитудой 0 A и частотой ω : t A t f ⋅ = ω sin ) ( 0 , то и выходная переменная ,вообще говоря, через некоторое время в устано- вившемся режиме начнет изменяться по строго гармоническому закону, но с другой амплитудой 1 A и фазой 1 ϑ 37 ) sin( ) ( 1 1 ϑ ω + ⋅ = t A t y Величины 1 A и 1 ϑ при неизменной амплитуде 0 A входного сигнала зависят от частоты ω Очевидно, что каждой фиксированной частоте входного гармоническо- го сигнала будет соответствовать свое определенное значение амплитуды и фазы выходного сигнала. Пусть система описывается следующим дифференциальным уравнени- ем: u a u b u b u b y a y a y a y a m m m m n n n n + ′ + + + = = + ′ + + + − − − − 1 ) 1 ( 1 ) ( 0 1 ) 1 ( 1 ) ( 0 K K , (26) а входное воздействие u изменяется по гармоническому закону. Для удоб- ства мы будем его записывать в комплексной форме: t j e A t u ω ⋅ = 0 ) ( (27) Тогда выходная переменная y также может быть представлена на комплексной плоскости в виде: )] ( [ 1 1 ) ( ) ( ω ϑ ω ω + ⋅ = t j e A t y (28) Математически это означает, что функция y , определенная выраже- нием (28) есть частное решение неоднородного дифференциального уравне- ния (26). Это решение соответствует вынужденной составляющей решения уравнения, полученной под действием вынуждающей правой части. Под- ставляя (27) и (28) в (26) получим: t j m t j m t j n t j n t j n e A b e A j b e A a e A j a e A j a ω ω ω ϑ ω ω ϑ ω ω ϑ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 )] ( [ 1 )] ( [ 1 ) 1 ( 1 )] ( [ 1 ) ( 0 1 1 1 + + = + + + + + − + K L K (29) Отсюда легко находим: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )) , ( 1 1 0 1 1 0 ) ( 0 )] ( [ 1 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϑ ω ω ϑ ω j G j D j K b j b j b a j a j a e A e A e A t u t y m m m n n n j t j t j = = + + + + + + = = = ⋅ = − − + K K (30) Здесь входной и выходной сигналы обозначены как функции от частоты. Функция ) ( ω j G называется комплексной частотной характеристи- кой системы или комплексной амплитудно-фазовой (частотной) характери- стикой (АФХ). Из соотношения (30) видно, что АФХ системы может быть получена из передаточной функции системы заменой ω j p = . Полученная функция яв- ляется отношением выходного гармонического сигнала к входному гармони- ческому сигналу в комплексном виде в зависимости от частоты гармониче- ского сигнала. Представим функцию ) ( ω j G в полярных координатах: 38 ) ( ) ( ) ( ω ϑ ω ω j e A j G = , где ) ( arg ) ( , ) ( ) ( ω ω ϑ ω ω j G j G A = = Функция ) ( ω A A = называется амплитудно-частотной характери- стикой системы и представляет собой отношение амплитуды установивше- гося выходного сигнала к амплитуде входного сигнала при частоте ω Функция ) ( ω ϑ ϑ = называется фазо-частотной характеристикой. Она показывает связь между сдвигом по фазе между входным и выходным сигна- лами в зависимости от частоты входного сигнала. Как комплекснозначную функцию действительной переменной ω функции ) ( ω j G можно представить в виде: ) ( ) ( ) ( ω ω ω jQ P j G + = , где ) ( Im ) ( , ) ( Re ) ( ω ω ω ω j G Q j G P = = Функция ) ( ω P называется вещественной частотной характеристикой системы, ) ( ω Q - мнимой частотной характеристикой системы. При каждой фиксированной ω функция ) ( ω j G однозначно опреде- ляет точку на комплексной плоскости с декартовыми координатами ) ( ω P , ) ( ω Q или полярными координатами ) ( ω A , ) ( ω ϑ . Легко увидеть, что амплитудная. Фазовая, вещественная и мнимая частотные характеристи- ки выражаются друг через друга посредством следующих соотношений: ) ( sin ) ( ) ( ) ( cos ) ( ) ( ω ϑ ω ω ω ϑ ω ω A Q A P = ⋅ = , и наоборот: ) ( ) ( arg ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 ω ω ω ϑ ω ω ω P Q tg Q P A = + = Частотные характеристики системы могут определяться не только на основании знания передаточной функции системы или уравнений движения системы. Они также могут быть определены и экспериментально, что имеет большое практическое значение, так как на практике не всегда известны пе- редаточные функции и уравнения, описывающие движение системы. Комплексную частотную характеристику системы ) ( ω j G можно изо- бразить на комплексной плоскости в виде годографа вектора ) ( ω j G в зави- симости от частоты ω , которая играет роль параметра, изменяющегося от ∞ − до ∞ + . Заметим, что в противоположность векторам ) , ( ω t x и ) , ( ω t u вектор ) ( ω j G не зависит от времени. Часть годографа ) ( ω j G , соответствующая изменению ω от 0 до ∞ − , будет симметрична части годо- 39 графа, соответствующего изменению ω от 0 до ∞ + ,относительно действи- тельной оси. Поэтому на графике обычно отображается лишь годограф, соот- ветствующий изменению ω от 0 до ∞ + Пример 1. Апериодическое звено. Передаточная функция апериодиче- ского звена имеет вид: 1 ) ( + = p T k p G o o Следовательно имеем: ω ω ω ω ω ω ω ω ω o jarctgT o o o o o o o o o o o o e T k T T k j T k T j T k j T k j G − + = = + − + = + − − = + = 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 ( 1 ) ( 2 2 2 2 Отсюда получим: ω ω ϑ ω ω o o o T arctg T k A − = + = ) ( ; 1 ) ( ) ( 2 ; 1 ) ( ) ( ; 1 ) ( ) ( 2 2 + − = + = ω ω ω ϑ ω ω o o o o T T k T k P Годограф вектора ) ( ω j G изображен на рисунке 2.2. Как видно из ри- сунка, годограф апериодического звена первого порядка представляет собой полуокружность радиуса 2 / k с цен- тром в точке ( 2 / k ,0). Амплитудная, фазовая, вещественная и мнимая час- тотные характеристики приведены на рисунке 2.3. |