Конспект лекций по курсу Теории автоматического регулирования. Теория автоматического регулирования_консп. Конспект лекций по курсу Теории автоматического регулирования Новокузнецк 2002 2 содержание
 Скачать 0.89 Mb.
|
|
3. Пространство состояний в теории управления Понятие состояния Рассмотрим электрическую цепь известной структуры, содержащую один вход и один выход (рисунок 3.1) Входным сигналом цепи слу- жит функция времени ) (t f , а выхо- дом – функция времени ) (t y . Имея полную информацию о цепи, для оп- ределения выхода ) (t y на интервале времени ) , ( t −∞ достаточно знать входной сигнал ) (t f на всем дан- ном временном интервале. Однако, если вход известен лишь на интервале ) , ( 0 t t для определения выхода ) (t y на указанном интервале необходимо знать токи, протекающие через индуктивности, и напряжения на емкостях в некоторый момент времени 0 t . Эти токи и напряжения образуют «состоя- ние» цепи в момент времени 0 t . В этом смысле состояние цепи связывают с ее памятью. В качестве другого примера состояния системы рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами на аналоговой вычислительной машине (АВМ). Представим математические уравнения, описывающие систему, в виде блок схемы для моделирования на АВМ. Схема включает блоки интегрирования, умножения, сложения и т.д. Используемый метод решения состоит в последовательном интегрировании наивысших производных уравнения, получении всех производных низшего порядка и зависимых переменных. Блок-схема составляется из условия удов- летворения данному дифференциальному уравнению, т.е. производные ум- ножаются на соответствующие коэффициенты и члены суммируются, обра- зуя «замкнутую цепь». Поясним составление блок-схемы на примере дифференциального уравнения второго порядка: ) ( 2 1 2 2 t f y a dt dy a dt y d = + + Разрешая уравнение относительно старшей производной 2 2 dt y d , полу- чим ) ( 2 1 2 2 t f y a dt dy a dt y d + − − = Рисунок 3.1 – Электрическая цепь 61 Интегрируя 2 2 dt y d дважды, получим y dt dy , . Замкнутый контур образу- ется из условия удовлетворения дифференциальному уравнению ) ( 2 1 2 2 t f y a dt dy a dt y d + − − = Полученная схема, приведенная на рисунке 3.2, в сущности соответст- вует блок-схеме моделирования этой системы на АВМ. Для решения диффе- ренциального уравнения не- обходимо задать начальные условия ) ( , 0 0 t y dt dy t t = , т.е. оп- ределить начальные условия интеграторов, которые харак- теризуют состояние системы в любой момент времени. Запишем уравнения состояния системы, представленной на рисунке 3.2. В качестве переменных состояния примем выходы интеграторов. y x y x & = = 2 1 , Тогда: , 1 2 2 1 2 2 1 f x a x a x x x + − − = = & & В матричной форме уравнение состояния системы записывается как , X C Y F B X A X ⋅ = ⋅ + ⋅ = & где 0 1 ; 0 1 0 0 ; 1 0 1 2 = = − = C B a a A ; 0 ; 0 ; 2 1 y Y f F x x X = = = & & & Пример. Для системы с двумя входами и тремя выходами (структура системы представлена на рисунке 3.3) при ) 1 ( ) ( , ) 1 ( ) ( , ) 1 ( ) ( , ) 1 )( 1 ( ) ( 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 p k p p k p p k p p p k p λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ λ ϕ + = + = + = + + = уравнение в пространстве состояний записывается следующим образом. Принимаем в качестве переменных состояния Рисунок 3.2 – Схема моделирования 62 ; ; ; ; ; 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 1 1 x x z x z x z x x x z x & & = = = = = = Тогда в матричной фор- ме уравнение в пространстве состояния , , X C Y U B X A X ⋅ = ⋅ + ⋅ = & где ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + − − = 5 4 3 2 1 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 1 0 λ λ λ λ λ λ λ A 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = C k k k k B 3.2. Матричные передаточные функции Понятие передаточной функции, введенное ранее для линейных систем с постоянными параметрами и содержащими одну входную и одну выходную величину, легко распространить на более общий случай – для систем имею- щих более одной входной или выходной величины. Передаточная функция ) (s ij ϕ , являющаяся передаточной функцией между j - ым входом и i - ым выходом, определяется ) ( ) ( ) ( s F s Y s j i ij = ϕ Рисунок 3.3 – Структурная схема САР с двумя входами и тремя выходами 63 Таблица из элементов ) (s ij ϕ , где первый индекс обозначает строку, а второй – столбец, называется матричной передаточной функцией. Пример. Система с двумя входами и двумя выходами описывается дифференциальными уравнениями 2 2 , 8 4 3 6 5 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 f f f y y f f f f y y y + + = + + + + = + + & & & & & && & && Определить передаточную функцию и начертить блок-схему. Запишем уравнения в операторной форме ) 1 ( 2 ) 1 ( , ) 2 ( 4 ) ( ) 6 5 ( 2 1 2 2 1 2 1 2 F p pF Y p F p F p p Y p p + + = + + + + = + + или 2 1 3 4 2 2 1 2 2 1 1 F F p p Y F p F p p Y + + = + + + = Тогда передаточная функция равна 2 1 3 4 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 22 21 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = p p p p p p p p p p G ϕ ϕ ϕ ϕ Блок-схема, соответствующей передаточной функции, приведена на рисунке 3.4. 3.3. Переходная матрица состояния Однородное дифференциальное уравнение для линейной системы за- писывается записывается в векторной форме , X A X ⋅ = & (49) Рисунок 3.4 – Блок-схема САР с двумя входами и двумя выходами 64 где A - матрица с постоянными коэффициентами размерности ) ( n n × , век- тор X - матрица столбец ) 1 ( × n состоящая из n векторов n x x x , , , 2 1 L Подобно решению скалярных дифференциальных уравнений решение урав- нения (49) представляется в виде , ) ( ) ( ) ( τ τ X e t X t A − = где матрица t A e t ⋅ = ) ( ϕ называется переходной матрицей состояния систе- мы, описываемой уравнением (49). Переходная матрица состояния описывает движение конца вектора состояния в пространстве состояний из некоторого начального положения, а потому описывает и изменение (переход) состояния системы. Необходимо отметить, что объем вычислений при определении пере- ходной матрицы состояния обычно больше, чем при решении линейного дифференциального уравнения относительно зависимой переменной. Однако имеющаяся дополнительная информация позволяет проектировщику систе- мы управления использовать более совершенные методы проектирования. Вычисление переходной матрицы состояния может выполняться не- сколькими способами: - на теореме Сильвестра; - на методе Кэли – Гамильтона; - разложением в бесконечный ряд; - на методе частотной области; - и т.д. Метод Кэли – Гамильтона. Рассмотрим случай, когда степень мат- ричного многочлена ) ( A N выше, чем порядок A . Разделив ) ( λ N на ха- рактеристический многочлен A , получим , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ λ D R Q D N + = (50) где ) ( λ R - остаточный член. Умножив уравнение (50) на ) ( λ D , получим ) ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ R D Q N + ⋅ = (51) При 0 ) ( = λ D уравнение (51) превращается в ) ( ) ( λ λ R N = Соответственно, так как [ ] 0 ) ( = A D , то матричная функция ) ( ) ( A R A N = Распространим описанный метод на случай когда требуется определить ) ( A F , где ) ( λ F - аналитическая функция λ в окрестности начала коорди- нат. Если ) ( λ F является аналитической функцией в какой либо области. То она может быть в этой области в виде бесконечного сходящегося ряда по λ Поэтому функция ) ( A F может быть представлена в виде многочлена от A степени 1 − n . Следовательно, остаточный член ) ( λ R уравнения (51) дол- 65 жен быть многочленом степени 1 − n . Из этого следует, что если ) ( λ Q - аналитическая функция в области, то ) ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ R D Q F + ⋅ = , (52) где ) ( λ D - характеристический многочлен A , а ) ( λ R - многочлен вида 1 1 2 2 1 0 ) ( − − + + + + = n n R λ α λ α λ α α λ L (53) Коэффициенты 1 2 1 0 , , , , − n α α α α L находятся путем последовательной подстановки n λ λ λ , , , 2 1 L в уравнение (52). Учитывая, что 0 ) ( = i D λ , по- лучим уравнения ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( 2 2 1 1 n n R F R F R F λ λ λ λ λ λ L (54) Поскольку ) ( λ Q является аналитической в области аналитичности ) ( λ F , то область аналитичности содержит все характеристические числа матрицы A и вместо переменной λ можно подставить A . Тогда ) ( ) ( ) ( ) ( A R A D A Q A F + ⋅ = Так как согласно теореме Кэли – Гамильтона [ ] 0 ) ( = A Q , то ) ( ) ( A R A F = Рассмотрим случай кратных характеристических корней. Если A со- держит характеристический корень i λ порядка r , то в результате подста- новки в уравнение (52) получим одно линейно независимое уравнение. Ос- тальные 1 − r линейных уравнений, необходимых для нахождения i α опре- деляются дифференцированием обеих частей уравнения (52) 1 , , 2 , 1 , ) ( ) ( − = = = = r k d R d d F d i i k k k k K λ λ λ λ λ λ λ λ Пример. Найти переходную матрицу состояния ) (t ϕ если матрица A дифференциального уравнения имеет вид ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 3 2 1 0 A Корни характеристического уравнения: 2 ; 1 2 1 − = − = λ λ . Так как матрица A второго порядка, то многочлен ) ( λ R - первого порядка λ α α λ 1 0 ) ( + = R После подстановки 2 ; 1 2 1 − = − = λ λ в уравнение (52) получим два линейных уравнения 66 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − = − = − − 1 0 2 1 0 2 α α α α t t e e Откуда ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − = − = − − − − t t t t e e e e 2 1 2 0 2 α α Таким образом, ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + ⋅ = = − − − − ⋅ ) 2 ( ) ( 2 2 3 2 0 0 0 ) ( 2 2 2 2 1 1 1 0 0 1 0 t t t t t t t t t A e e e e e e e e A J e A F α α α α α α α Пример. Определить t A e ⋅ , где A - матрица вида ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 4 2 5 2 0 6 3 1 0 A Матрица имеет два корня 1 = λ и один корень 2 = λ . Многочлен λ α λ α α λ 2 1 0 ) ( + + = R . Три уравнения относительно i α определяются из системы , 4 2 1 2 1 0 1 1 1 2 1 0 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ α α α t t t e te e откуда имеем ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − t t t e te e 2 1 2 1 0 4 2 1 2 1 0 1 1 1 α α α Найдем обратную матрицу, используя теорему Кэли – Гамильтона. Ха- рактеристический многочлен матрицы C коэффициентов равен 0 1 4 6 2 3 = − + − λ λ λ Следовательно [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − + − 4 2 1 2 1 0 1 1 1 , 0 4 4 6 2 3 C J C C C 67 Тогда ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = + − = − 1 1 1 2 3 2 1 2 0 4 6 2 1 J C C C Поэтому ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ + − − = − + = + − = t t t t t t t t e te e e te e e te 2 2 2 1 2 0 2 3 2 2 α α α Следовательно 2 2 1 0 A A J e t A α α α + + = ⋅ , где ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 5 3 8 26 10 10 14 6 9 4 2 5 2 0 6 3 1 0 2 A и A В результате имеем ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + + − − + − − + − − − + + − − + − − − + = ⋅ t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t A e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 3 2 7 2 22 20 22 11 12 10 22 28 22 8 5 8 4 3 4 8 7 9 Примеры для самостоятельной работы. I. Записать матричную передаточную функцию и уравнение в про- странстве состояний: 1. 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 f y y y f y y y = + + = + + & && & && 2. 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 f f f y y y f f y y & & && & + + = + + + = + II. Определить переходную матрицу состояния. Матрица A : ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 3 3 1 1 0 0 0 1 0 A III. Нарисовать блок-схему моделирования уравнения f f by y a y + = + + & & && 68 Литература 1. Фельдбаум А.А. Методы теории автоматического регулирования / А.А. Фельдбаум, А.Г. Бутковский ; - М.: Наука, 1971.- 744с. 2. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием / Х. Гу- рецкий; -М.: Машиностроение, 1974.-327с. 3. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Е.П. Попов;- М.: Наука, 1988.- 255с. 4. Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регу- лирования / В.Я. Ротач;- М.: Энергия,1973.- 440с. 5. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем / Я.З. Цыпкин;- М.: Энергия.1977.-470с. 6. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ / К. Острем, Б. Виттенмарк; Пер. с англ. Переводчики А.Н. Николаев, Т.С. Чеботарева. Под ред. С.П. Чеботарева. - М.: Мир.1987.-480с. 7. Иванов Н.И. Автоматизация производственных процессов в черной ме- таллургии / Н.И. Иванов, Б.Н. Парсункин, В.М. Рябов;- М.: Металлургия, 1980.-304с. 8. Ли Т.Г. Управление процессами с помощью вычислительных машин. Мо- делирование и оптимизация / Т.Г. Ли, Г.Э. Адамс, У.М. Гейнз; Пер. с англ. Под ред. В.И. Мудрова. - М.: Советское радио, 1972.-312с. 9. Смит Джон М. Математическое и цифровое моделирование для инжене- ров и исследователей / Джон М. Смит; Пер. с англ. Н.П. Ильиной; Под ред. О.А. Чембровского; - М.: Машиностроение, 1980.-271с. 10. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем / А.Г. Алек- сандров. - М.: Машиностроение, 1986.- 272с. 11. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления: Под ред. А.В.Воронова, И.А.Орурка. – М.: Наука, 1984. – 344. 69 12. Емельянов С.В. Системы управления с переменной структурой / С.В.Емельянов, С.К.Коровин // Итоги науки и техники. Техническая ки- бернетика.-М., ВИНИТИ.- 1980. –т.13, с.151-196. |