Конспект лекций по курсу Теории автоматического регулирования. Теория автоматического регулирования_консп. Конспект лекций по курсу Теории автоматического регулирования Новокузнецк 2002 2 содержание
 Скачать 0.89 Mb.
|
|
2.5. Частотные критерии устойчивости Критерий Михайлова. Критерий предполагает построение годографа Михайлова, то есть кривой которую описывает конец вектора ) ( ω j D на комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ + . Вектор ) ( ω j D по- лучается из характеристического полинома замкнутой системы при подста- новке ω j p = : Рисунок 2.2 - Годограф 40 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 0 ω ω ω ω ω ω Q j P a j a j a j a j D n n n n ⋅ + = = + + + + = − − K Годограф на- чинается при 0 = ω на веще- ственной по- ложительной полуоси в точке n a и при ∞ = ω уходит в бес- конечность в соответству- ющем квад- ранте. Угол по- ворота вектора ) ( ω j D опре- деляется выра- жением: π π ψ l n − = 2 / , где n - степень характеристического полинома; l - число его корней с поло- жительной вещественной частью. Следовательно, для устойчивости системы n -ого порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направ- лении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль. Примерный вид годографов Михайлова устойчивых систем первого – пятого порядков показан на рисунке 2.4. Если система на границе ус- тойчивости, то годограф проходит через начало осей координат так, что после небольшой его деформа- ции около начала осей координат критерий удовлетворяется. Годо- графы системы четвертого порядка, находящейся на границе устойчи- вости, показаны на рисунке 2.5. На рисунке 2.4б характеристический полином имеет пару чисто мнимых корней (колебательная граница ус- тойчивости), во втором (рисунок 2.5а) – нулевой корень (апериоди- Рисунок 2.3 – Частотные характеристики апериодического звена Рисунок 2.4 – Годографы Михайлова устойчивых систем 41 ческая граница устойчивости). Рассмотрим годографы неустойчивых систем четвертого порядка (ри- сунок 2.6). Характеристический полином системы четвертого порядка может иметь, например, один положительный вещественный корень (кривая 1), два положительных вещественных корня (кривая 2), два комплексно- сопряженных корня с положитель- ной вещественной частью (кривая 3), два чисто мнимых корня и по- ложительный вещественный ко- рень (кривая 4). В последнем слу- чае годограф проходит через нача- ло осей координат, но небольшая деформация его не приводит к удовлетворению критерия. Пример. Исследовать на устойчивость одноконтурную САР с единич- ной обратной связью. Передаточные функции звеньев прямой цепи: p k k p f e p T k p p p 2 1 0 0 0 ) ( , 1 ) ( 0 + = + = − τ ϕ При 04 , 0 ; 5 , 0 ; 5 ; 3 ; 6 , 1 2 1 0 0 0 = = = = = k k c c T k τ Характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид: 0 ) 1 ( 0 0 2 1 0 2 = + ⋅ + + − − τ τ p p e k e p k k Tp Подставим ω j p = , определим ) ( ω P и ) ( ω Q : sin cos ) ( , cos sin ) ( 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0 2 ωτ ωτ ω ω ω ωτ ωτ ω ω k k k Q k k k T P + ⋅ + = + + − = Годограф Михайлова для рассматриваемой системы приведен на ри- а) б) Рисунок 2.5 – Годографы систем на границе устойчивости Рисунок 2.6 – Годографы Михайлова неустойчивых систем 42 сунке 2.7. Как видно из рисунка го- дограф САР начинается на поло- жительной полуоси, проходит по- следовательно два квадранта и во втором квадранте уходит в беско- нечность, что соответствует усло- вию устойчивости САР, характери- стическое уравнение которой имеет степень равную двум. Критерий устойчивости Найквиста. Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы автоматиче- ского регулирования по амплитудно - фазовой характеристике ее разомкну- той цепи. Предварительно должна быть определена устойчивость исследуемой системы в разомкнутом состоянию Для неустойчивой системы нужно выяс- нить, какое число корней ее характеристического полинома имеет положи- тельные вещественные части. Различают три случая применения критерия Найквиста. 1. Разомкнутая система устойчива. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно – фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ + не ох- ватывала точку с координатами (-1,0). На рисунке 2.8 изображены основные из возможных ситуаций. При АФХ, представленной кривой 1, замкнутая система абсолютно устой- чива – она остается устойчивой и при уменьшении коэффициента пе- редачи разомкнутой системы. Если АФХ представляет собой кривую 2 (рисунок 2.8), то замкнутая система будет устойчива в некотором диапа- зоне изменения коэффициента уси- ления разомкнутого контура. Кривая 3 проходит через критическую точку с координатами (-1, j0). Это означа- ет, что замкнутая система находится на колебательной границе устойчи- вости. Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчива. 2. Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристиче- ский полином такой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у ос- тальных корней отрицательные вещественные части. Если нулевых корней ν , АФХ при 0 = ω дугой бесконечно большого радиуса перемещается от положительной полуоси на ν квадрантов по часо- Рисунок 2.8 – АФХ устойчивых разомкнутых систем Рисунок 2.7 – Годограф Михайлова 43 вой стрелке (рисунок 2.9а, для 1 = ν , рисунок 2.9б, для 2 = ν ). Если пара чисто мнимых корней (в знаменателе частотной передаточ- ной функции имеется множитель 2 2 1 i T ω − ), то АФХ при частоте i i T 1 = ω дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол 0 180 по часовой стрелке (рисунок 2.9в). Приведенные примеры на рисунке 2.9а, 2.9б, 2.9в соответствуют слу- чаю устойчивой системы, границе устойчивости и неустойчивой системы. 3. Разомкнутая система неустойчива. Характеристический полином такой системы имеет l корней с положительной вещественной частью. В этом наиболее общем случае критерий формулируется так: для ус- тойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изме- нении ω от 0 до ∞ АФХ разомкнутой системы охватывала точку с коорди- натами (-1, j0) 2 / l раз в положительном направлении (против часовой стрелки). Характеристический полином разомкнутой системы, кроме корней с вещественной частью (положительной или отрицательной), может иметь ну- левые или чисто мнимые корни. В этом случае на участках разрыва АФХ должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса. При сложной форме АФХ разомкнутой системы удобнее пользоваться правилом перехода – переход АФХ при увеличении ω через отрезок вещест- венной оси от -1 до - ∞ сверху вниз считают положительным и снизу вверх – отрицательным. АФХ может начинаться на указанном отрезке при 0 = ω или заканчиваться при ∞ = ω , в этом случае считается, что она совершает Рисунок 2.9 – АФХ разомкнутых систем находящихся на границе устойчивости 44 полперехода (рисунок 2.10). Пример АФХ соответствующей неустойчивой системе в разомкнутом состоянии ( 2 = l ) приведен на рисунке 2.11. Замкнутая система будет устой- чива, поскольку количество переходов +2. Построение областей устойчивости. Исследование устойчивости собственно говоря включает в себя два случая: определение устойчивости САР для заданных значений коэффициентов и исследование влияния на ус- тойчивость САР некоторых ее параметров (например, настроечных коэффи- циентов регулятора). Допустимые значения одного или двух параметров оп- ределяются при неизменных значениях остальных. В последнем случае на плоскости двух коэффициентов строят область устойчивости, то есть область изменения рассматриваемых коэффициентов, при которых САР остается ус- тойчивой. Построение областей устойчивости возможно с помощью любого кри- терия устойчивости. Пример. На плоскости коэффициентов определить α и β найти об- ласти устойчивости для системы, описываемой уравнением: ) ( ) 1 ( ) ( 0 2 2 t f k y dt dy dt y d ⋅ = − ⋅ + + − + β β α α β (31) Решение. Необходимые и достаточные условия устойчивости системы, описы- ваемой уравнением второго порядка – положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Передаточная функция системы имеет вид: 1 ) ( ) ( 2 0 β β α α β − ⋅ + + − + = p p k p G Тогда характеристическое уравнение: 0 1 ) ( 2 = − ⋅ + + − + β β α α β p p Условия устойчивости: 0 1 , 0 2 1 > − ⋅ + = > − = β β α α β a a Коэффициенты 1 a и 2 a являются непрерывными функциями от α и Рисунок 2.10 – Оценка переходов АФХ Рисунок 2.11 – АФХ неустойчивой САР 45 β , поэтому знаки 1 a и 2 a будут меняться там, где 0 2 1 = = a a , то есть на прямой 0 = − α β и на гиперболе 0 1 = − ⋅ + β β α . Эти линии разбивают плоскость параметров β α , на четыре области I,II,III,IV (рисунок 2.12). В каждой из областей знаки 1 a и 2 a будут постоянны. Возьмем по одной про- извольной точке в каждой области и определим в этих точках знаки коэффи- циентов 1 a и 2 a Область I: в точке (-1,1) имеем 0 1 , 0 2 2 1 < − = > = a a Решение уравнения (31) в этой области неустой- чиво. Область II: в точке (0,1/2) имеем 0 2 / 1 , 0 2 / 1 2 1 > = > = a a . Решение системы в области II устойчиво. Область III: в точке (1,0) имеем 0 1 , 0 1 2 1 > = < − = a a . Решение (31) неустойчиво. Область IV: в точке (2,-2) имеем 0 1 , 0 4 2 1 < − = < − = a a . Решение (31) неустойчиво. Исследуем на устойчивость решение (31) на границах рассмотренных областей. При 1 , 1 1 < − = α α β (граница между областями I и II). На этой гра- нице 0 , 0 2 1 = > a a , так что решение на ней устойчиво, но не асимптотиче- ски. На границе между областями II и III ( β α = ) 0 , 0 2 1 > = a a , так что решение на ней устойчиво, но не асимптотически. Понятие D – разбиения. Допустим, что в системе n -го порядка име- ется m каких либо изменяемых параметров. Построим m мерное простран- ство параметров. На рисунке 2.13 показано для примера трехмерное про- странство параметров 3 2 1 , , p p p . Определенная точка, например 1 N , в этом пространстве соответствует определенным значениям параметров 3 2 1 , , p p p , а следовательно, определенным значениям коэффициентов ха- рактеристического уравнения. При этом n корней уравнения также имеют некоторые фиксированные значения. Предположим, что k из этих корней лежит в левой полуплоскости, а остальные ) ( k n − корней – в правой полуплоскости. Совокупность точек N , характеризуемых тем, что k корней находится в левой полуплоскости, а ) ( k n − - в правой, образует в пространстве параметров область, которую (1,0) 0 (2,-2) (-1,1) (1,1/2) Рисунок 2.12 – Область устойчивости 46 обозначим ) , ( k n k D − . Если k n = , то это область устойчивости. Все пространство параметров может быть разделено на 1 + n областей типа ) , ( k n k D − , где n k , , 2 , 1 L = . Подобное разбиение пространства па- раметров Неймарк назвал D – разбиением. Одна из областей, на которые разбивается пространство параметров, а именно ) 0 , (n D является областью устойчивости. Если изменять значения параметров 3 2 1 , , p p p то изо- бражающая точка N движется по некоторой траектории. При этом корни характеристиче- ского уравнения движутся по комплексной плоскости. Если точка попадает на на границу D – области ( 2 N на рисунке 2.13), то при этом по крайней мере один корень оказывается на мнимой оси. При переходе, например, из области ) 0 , (n D в область ) 1 , 1 ( − n D один ко- рень переходит из левой полуплоскости в правую. Любая точка, находящаяся на границе, отделяющей друг от друга две области D – разбиения, соответствует такому расположению корней, когда имеется корень на мнимой оси ω j p = ( ω - действительное число). Под- ставив в характеристическое уравнение ω j p = и приравняв нулю отдельно действительную и мнимую составляющие характеристического многочлена, можно получить два уравнения. Исключив из этих уравнений ω . Получим уравнение гиперповерхности в пространстве параметров, являющейся грани- цей D – разбиения. Таким образом, получение D – разбиения сравнительно просто. Рассмотрим пример D – разбиения на плоскости двух параметров. Пусть в уравнение системы входят два параметра α и β . Требуется постро- ить D – разбиение в плоскости этих параметров. Допустим параметры α и β входят линейно в характеристическое уравнение, тогда последнее может быть представлено в виде: 0 ) ( ) ( ) ( = + ⋅ + ⋅ p R p P p Q β α (32) Положим ω j p = . Пусть ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω jR R R jP P P jQ Q Q + = + = + = (33) Рисунок 2.13 – Пространство параметров 47 Поставив (33) в (32) и приравняв нулю отдельно действительную и мнимую составляющие левой части уравнения. Получим два равенства 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ ω ω β ω α ω ω β ω α R P Q R P Q (34) Из этих двух уравнений можно найти α и β : Δ Δ = − − = Δ Δ = − − = 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω ω ω ω ω ω β ω ω ω ω ω ω ω ω α P Q P Q R Q R Q P Q P Q P R P R . (35) Формулы (35) дают уравнение кривой границы D – разбиения на плоскости ( α , β ) в параметрическом виде. Изменяя ω от ∞ − до ∞ + , можно получить D – разбиение (рисунок 2.14). Если определитель 0 = Δ при некотором значении ω , то уравнения (34) уже не являются линейно независимыми и вырождаются в одно лишь уравнение. При подобном исключи- тельном значении ω ( обычно это имеет место при 0 = ω или ∞ = ω ) получаем не точку на плоскости ( α , β ), а прямую. На рисунке 2.14 показаны линии 3 2 1 N N N границы D – разбие- ния и прямая B AN 1 , соответст- вующая исключительному зна- чению ω . На рисунке 2.14а 0 = ω , на рисунке 2.14б ис- ключительное значение ω не равно нулю. Линии 3 2 1 N N N и B AN 1 делят плоскость на D- области. При распознавании области устойчивости полезно пользоваться штриховкой. Правило штриховки в данном случае формулиру- ется следующим робразом: штриховку ведут слева от кривой идя от −∞ = ω в случае, когда 0 > Δ . Если же 0 < Δ , то штриховку производят справа от кривой. Обычно при 0 > ω и 0 < ω проходится одна и та же кривая, но в противоположных направлениях. Если в точке 0 = ω определитель меняет знак (рисунок 2.14а), то идя от 3 N к 1 N штрихуют слева, а затем, идя об- ратно по кривой, штрихуют уже справа. Следовательно получается двойная штриховка по одну сторону кривой, что означает прибавление двух корней в правой комплексной полуплоскости при переходе с заштрихованной стороны на незаштрихованную. Прямые, соответствующие исключительным значениям ω , также а) б) Рисунок 2.14 – Области D – разбиения 48 штрихуются. Эта штриховка должна быть согласована со штриховкой кривой так, чтобы внутренние стороны угла в точке стыка оказались полностью за- штрихованными. Сторона с которой заштрихована прямая, меняется при пе- реходе точки 1 N (рисунок 2.14а) и 2 N (рисунок 2.14б). При построении областей D – разбиения достаточно сложных систем вопросы штриховки становятся весьма затруднительными. В этом смысле представляет интерес построение областей D – разбиения на плоскости отно- сительных параметров для систем регулирования с моделью процесса. Пояс- ним сказанное на примере. Пример. Определить область устойчивости на плоскости относитель- ных параметров САР с модифицированным регулятором Ресвика. Структура системы приведена на ри- сунке 2.15. Передаточные функции элементов сис- темы заданы в виде: , 1 ) ( 0 + = p T k p o o ϕ (36) o p e p τ τ ϕ − = ) ( 0 , (37) mo p m e p τ τ ϕ − = ) ( , (38) 1 1 ) ( , 1 ) ( + = + = p T p f p T k p э э m m m ϕ (39) Решение. Характеристическое уравнение системы: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 0 = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − − p f p p p p f p э m э m ϕ ϕ ϕ ϕ τ τ (40) Подставим конкретные выражения для передаточных функций (36)- (39) в (40). После преобразований получим 0 ) ( 2 = + + + − − + + + − − − − o o m m p o p o m p m p m o m o э m э o m e k pe k T e k pe k T k p T T k p T T k τ τ τ τ (41) Положим в (41) ω j p = , разделим действительные и мнимые пере- менные и приравняем их к нулю. Получим 0 sin cos sin cos ) ( , 0 cos sin cos sin 2 = − + + + − + = + + + − − − o o o o m m m m m o э o m o o o o m m m m m o э o m m k k T k k T T T k k k T k k T T T k k ωτ ωτ ω ωτ ωτ ω ω ωτ ωτ ω ωτ ωτ ω ω (42) Заменим в (42) t m = ωτ . После подстановки получим следующую систему уравнений Рисунок 2.15 – Структура САР 49 t t t t gt t gt g t t t gt t t gt sin ] sin cos [ ] cos [ , 1 cos ] cos sin [ ] sin [ 2 − − = − + − − = + + − − ξ λ λ ε ψ λ λ ε ξ ψ (43) где m o k k / = ε - отношение коэффициентов передачи канала регулирования и его модели; m o T T / = ψ отношение постоянных времени канала регулиро- вания и его модели; m o τ τ λ / = - отношение запаздывания в канале регули- рования и его модели; m э T τ ξ / = отношение постоянной экстраполятора к запаздыванию принятому в модели канала регулирования; m m T g τ / = - от- ношение постоянных времени и запаздывания в модели канала регулирова- ния. Определим области D – разбиения на плоскости коэффициентов ) ( ψ ε − : t t gt t gt g t t gt t t gt λ λ λ λ ξ sin cos cos cos sin sin 2 − − + − − = Δ , t t gt t t t t gt t λ λ ξ λ λ ε sin cos sin cos sin 1 cos − − − + − = Δ , t t t gt g t t t gt sin cos 1 cos sin 2 − − − − − − = Δ ξ ξ ψ , Δ Δ = Δ Δ = ψ ε ψ ε , На рисунке 2.16 приведены области D –разбиения при ограничении от- носительных коэффициентов ψ ε , в диапазоне (0;5) при 67 , 0 , 2 , 0 , 1 = = = ξ λ g Область устойчивости оп- ределяется в данном случае как область которой принадлежит точка с координатами (1,1).Дей- ствительно при ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 p p p p m m τ τ ϕ ϕ ϕ ϕ = = характеристическое уравнение системы имеет вид: 0 , 0 1 > = + э э T p T , т.е. система устойчива при 0 , 1 / = = m o k k ε 0 , 1 / = = m o T T ψ При наличии нескольких границ D – разбиения в качестве области ус- Рисунок 2.16 – Область устойчивости |