Конспект лекций по курсу Теории автоматического регулирования. Теория автоматического регулирования_консп. Конспект лекций по курсу Теории автоматического регулирования Новокузнецк 2002 2 содержание
 Скачать 0.89 Mb.
|
|
Устойчивость систем с запаздыванием. В этом случае в структуре системы автоматического регулирования имеются звенья чистого (транс- портного) запаздывания (рисунок 2.1). Исследование устойчивости такой системы может быть выполнено с использованием критерия Найквиста. Передаточная функция разомкнутой САР должна быть представлена в виде: ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ ϕ ϕ ϕ p o o e p p p p G − ⋅ = = ⋅ = где ) ( 0 p ϕ - передаточная функция системы без запаздывания. Точка размыкания САР должна быть вы- брана в соответствии с расположением звена чистого запаздывания, для по- лучения передаточной функции разомкнутой системы в указанном виде. Формулировка критерия Найквиста для систем с чистым запаздывани- ем сохраняется прежней.. Однако построение АФХ имеет некоторую особен- ность. Подставив в выражение передаточной функции ω j p = , получим частотную передаточную функцию: ψ ωτ ω ω ϕ ω j j e A e j j G ⋅ = ⋅ = − ) ( ) ( ) ( 0 , где ) ( ) ( ) ( 0 ω ω ω j G A A = = и τω ψ ω ψ − = 0 ) ( Иначе говоря, звено чистого запаздывания не изменяет АФХ, но созда- ет дополнительный, отрицательный сдвиг по фазе, пропорциональный часто- те. Поэтому можно построить АФХ системы без запаздывания и для каждой частоты i ω повернуть вектор ) ( 0 i A ω на угол i ω τ ⋅ − , т.е. по часовой стрелке. Получается АФХ разомкнутой системы с запаздыванием. Пример. Построить АФХ разомкнутой САР, если ее передаточная функция p p e p e p p G 3 0 1 3 6 , 1 ) ( ) ( − − + = ⋅ = τ ϕ Построим АФХ системы без запаздывания. Заменим ω j p = , после преобразований получим: ω ψ ω ω ω ⋅ − = + ⋅ ⋅ + = 3 ; 1 9 04 , 23 56 , 2 ) ( 0 2 2 arctg A Годограф системы без запаздывания приведен на рисунке 2.18 (кривая 1). Запаздывание определяет дополнительный фазовый сдвиг τ ω ⋅ − «закру- чивает» годограф системы без запаздывания по часовой стрелке (кривая 2 на рисунке 2.18). Для оценки влияния чистого запаздывания на устойчивость введено понятие критического запаздывания. Рисунок 2.17 – САР с запаздыванием 51 Для определения критического запазды- вания, на годографе САР без запаздывания, необходимо найти точ- ку для которой модуль равен единице: 1 ) ( 1 = ω A Пусть этой точке соответствует частота 1 ω и запас по фазе 1 ψ (угол на который необ- ходимо повернуть век- тор 1 ) ( 1 = ω A по ча- совой стрелке до со- вмещения с действи- тельной осью). Тогда критическое время запаздывания определяется как: 1 1 / ω ψ τ = кр 2.6. Оценка качества регулирования Система автоматического регулирования оценивается устойчивостью и точностью в установившихся режимах и качеством переходных процессов. Устойчивость обеспечивает затухание переходных процессов. Методы ис- следования устойчивости рассмотрены в параграфах 2.1 – 2.5. Кроме устой- чивости необходимо чтобы в установившихся режимах выходная (регули- руемая) величина была равна заданной. Необходимо также, чтобы переход- ные процессы затухали достаточно быстро с допустимыми отклонениями ре- гулируемой величины. Качество регулирования оценивается с помощью показателей качества, которые представляют собой некоторые функционалы, где роль независимых переменных играют функции, характеризующие переходные процессы в САР. Различают прямые и косвенные оценки качества регулирования. Прямые оценки качества регулирования. Прямые оценки базируются непосредственно на знании переходного процесса. Основные типы переход- ных процессов в устойчивых системах представлены на рисунке 2.19. На ри- сунке 2.19 представлены два случая переходных процессов – по задающему воздействию (рисунок 2.19а) и по возмущающему воздействию (рисунок 2.19б). Переходные процессы бывают колебательные (кривая 1) и апериодиче- ские (кривая 2). Рисунок 2.18 – Годографы разомкнутой системы 1- без запаздывания; 2- с запаздыванием. 52 В современной САР используются такие показатели как: 1. Интегральная абсолютная ошибка регулирования ∫ ∞ − = ⋅ = 0 * ) ( ) ( ) ( , ) ( t y t y t dt t J ε ε 2. Интегральная квадратичная ошибка регулирования ∫ ∞ ⋅ = 0 2 ) ( dt t J ε 3. Перерегулиро- вание % 100 * ⋅ = y σ δ При оценивании качества регулирования при компенсации воз- мущающего воздействия (рисунок 2.19б) величина перерегулирования оп- ределяется как отноше- ние абсолютной величи- ны максимального от- клонения отрицательно- го знака к максимально- му отклонению регули- руемой переменной по- ложительного знака. 4. Длительность переходного процесса (время регулирования). Определяется как разница времени окончания пере- ходного процесса и временем начала изменения внешнего воздействия k p t t t − = 0 В идеальной линейной системе переходный процесс бесконечен, по- этому время окончания переходного процесса определяют с того момента времени, когда ошибка регулирования перестанет превышать некоторую за- данную величину Δ . Значение Δ обычно принимают равной 5% от устано- вившегося (заданного) уровня выходного сигнала. 5. Статическая ошибка регулирования * y y уст ст − = ε , где уст y -установившееся значение выходной переменной. Можно указать три основных способа задания требований, предъяв- ляемых к характеру переходных процессов. Первый способ заключается в задании некоторых допустимых преде- Рисунок 2.19 – Основные типы переходных процессов 53 лов для показателей переходного процесса, либо в задании качественных ха- рактеристик кривой переходного процесса. Например, можно потребовать, чтобы время переходного процесса было меньше некоторой предельно до- пустимой величины. Можно потребовать, чтобы перерегулирование отсутст- вовало или было меньше некоторой заданной величины. Можно потребовать, чтобы процесс был монотонным. Все подобные требования относятся к са- мой кривой без привлечения каких либо других кривых для сравнения. Второй способ формулирования требований к переходному процессу заключается в том, что требуется обеспечить соответствие не отдельным по- казателям переходного процесса, а близость кривой переходного процесса ) (t y к некоторой заданной кривой ) ( * t y При третьем способе требуется, чтобы какой-либо показатель или кри- терий переходного процесса принимал эстремальное значение (например, длительность переходного процесса должна быть минимальной) при условии выполнения ограничений на остальные координаты САР. При формулировке требований должны быть определены начальные условия, класс задающих либо возмущающих воздействий, приложенных к системе. Использование третьего способа задания требований к переходному процессу характерно для построения оптимальных систем регулирования. Использование перечисленных показателей качества возможно только при условии действия детерминированных внешних воздействий. Для реаль- ных, натурных систем автоматического регулирования характерно наличие случайных, непредсказуемых воздействий. В этом случае удобнее использо- вать показатели, которые более «технологичны», например среднеквадрати- ческое или среднемодульное отклонение, вероятность выхода регулируемой переменной за заданный диапазон и т.д. Оценка качества регулирования оп- ределяется на скользящем интервале времени – минута, час и т.д.. Косвенные оценки качества переходных процессов. Единственный точный теоретический метод изучения всех деталей кривой переходного процесса состоит в вычислении этой кривой и изображении ее в виде графи- ка ) (t y . Возможны различные способы построения переходного процесса: - графический; - аналитический; - моделирование на ЭВМ. Второй метод построения переходного процесса для линейной системы связан с определением корней характеристического уравнения, что достаточ- но трудоемко для САР описываемых уравнениями высокого порядка. Кроме того, чтобы выяснить влияние параметров системы на показатели переходно- го процесса, необходимо построить ряд кривых для различных комбинаций этих параметров. Первый и второй способы не связаны с вычислением корней характе- ристического уравнения, однако каждый из них имеет свои недостатки. Гра- фический метод неприменим для достаточно сложных систем, так как точ- ность построения выходной переменной элементарного блока зависит от 54 точности построения выходной переменной предыдущего блока, что приво- дит к накоплению ошибок. При моделировании САР на ЭВМ существует проблема представления дифференциального уравнения САР в виде разност- ного уравнения и точности такой замены. В общем случае невозможно получить аналитическое соотношение между временем регулирования или перерегулированием и параметрами сис- темы. Поэтому нет возможности выяснить влияние параметров без весьма громоздких числовых подсчетов. Часто не требуется знания всех деталей кривой ) (t y , достаточно знать некоторые ее характеристики. Существуют выражения, позволяющие «пере- бросить мост» между параметрами системы и показателями переходного процесса. Эти выражения носят название косвенных критериев. Они связаны, с одной стороны, с параметрами системы, а с другой стороны – с показателя- ми переходного процесса. Можно выделить следующие основные группы косвенных критериев: - частотные критерии; - критерии распределения корней; - интегральные критерии. Частотные характеристики позволяют судить не только об устойчиво- сти, но и о характере переходных процессов. Особенно важна амплитудно- частотная характеристика. Для системы автоматического регулирования, в которой требуется обеспечить поддержание равенства между входной (за- данное значение) и выходной переменной идеальное значение ) ( ω A равно единице для любых частот входного воздействия (пунктирная линия на ри- сунке 2.20). В реальной системе ) ( ω A близка к единице при малых частотах ω и заметно отличается при более высоких частотах (сплошная кривая на рисунке 2.20). В некоторых системах при приближении к частоте m ω величина ) ( ω A возрастает до значений больше единицы, а затем быстро спа- дает до значений 1 ) ( << ω A Максимум m A амплитудно-частотной характеристики и ширина полосы пропускания частот ' m ω , являются важными косвенными критериями, по ко- торым можно судить о характере переходного процесса. Так, например, при высоте резонансного пика m A , выше 1.2 – 1.3, в переходном процессе выяв- ляются заметные и слабо затухающие колебания частоты близкой к m ω ; ши- Рисунок 2.20 – Амплитудно- частотная характеристика 55 рина полосы пропускания частот ' m ω влияет на скорость протекания пере- ходных процессов – чем шире полоса пропускания частот, тем быстрее про- текают переходные процессы в системе, при прочих равных условиях. Методы распределения корней дают возможность, при известных ну- лях изображения ) ( ) ( ) ( p D p N p Y = , а также некоторых сведениях о расположе- нии полюсов этого изображения на комплексной плоскости, узнать некото- рые черты переходного процесса. Оказывается, если полюсы ) ( p Y распределены в определенных облас- тях на комплексной плоскости, то не зная самих значений полюсов, можно гарантировать соблюдение определенных условий для переходного процесса. При этом необходимо также определение или оценка нулей многочлена ) ( p N Чтобы получить более детальные сведения о переходном процессе, не- обходимо уточнить местоположение нулей ) ( p D . Можно, не решая харак- теристического уравнения, для данной системы, определить в левой полу- плоскости некоторую область, внутри которой расположены корни уравне- ния 0 ) ( = p D . Например, можно найти абсолютную величину η действи- тельной составляющей корня, ближе всех расположенного к мнимой оси и определить величину угла ϕ 2 , соответствующего сектору на рисунке 2.21. Величина η называется за- туханием системы. Чем больше η , тем, вообще говоря, быстрее зату- хает переходный процесс. Величи- на ϕ μ tg = носит название коле- бательности. Затухание и колебательность являются косвенными критериями переходного процесса. Совокуп- ность η и ϕ определяют область в которой расположены все корни характеристического уравнения (заштрихованная область на рисун- ке 2.21). Различают несколько интегральных косвенных критериев, 1 I - для мо- нотонных переходных процессов: n n n n a y a y a y a I 0 1 0 ) 2 ( 1 0 ) 1 ( 0 1 ] [ ] [ ] [ − − − + + + = L , 2 I - по площади кривой 2 y : Рисунок 2.21 –Расположение корней на комплексной плоскости 56 ∫ ∞ = 0 2 2 dt y I , или V I - обобщенный интегральный критерий: ∫ ∞ = 0 Vdt I V , где V - некоторая квадратичная форма от переменных, характеризующих со- стояние системы, например от величины выходной переменной и ее произ- водных. Недостатком указанных интегральных критериев является то, что в общем случае нельзя высказать мнение о характере переходного процесса. Мало того, нельзя утверждать, что переходный процесс, для которого инте- грал меньше – лучше. Построение переходных процессов в САР. Как отмечалось выше, раз- личают методы построения переходных процессов, основанные на графиче- ских построениях, аналитическом решении уравнения системы автоматиче- ского регулирования и методы, базирующиеся на получении решения в про- цессе моделирования САР на цифровых вычислительных машинах. Рассмотрим построение переходного процесса на примере САР, струк- тура которой представлена на рисунке 2.22. На вход системы приложено единичное ступенчатое воздействие ) ( * t y . Начальные условия нулевые. Пусть объект управ- ления описывается диф- ференциальным уравнени- ем первого порядка, в ка- честве регулятора исполь- зуется регулятор с про- порционально - инте- гральным законом регули- рования. Значения параметров объекта и настроечных коэффициентов регу- лятора приведены в таблице 2.1. Таблица 2.1 – Значения настроечных коэффициентов Обозначение Значение 0 T 1,0 0 k 1,0 1 k 1,0 2 k 2,0 Рисунок 2.22 – Структура САР 57 Тогда уравнение системы запишется следующим образом: ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( * 2 0 * 0 1 2 0 0 1 2 2 0 t y k k dt t dy k k t y k k dt t dy k k dt t y d T + = + + + Найдем изображение Лапласа при нулевых начальных условиях: ) ( ] [ ) ( ] ) 1 ( [ * 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 s Y k k s k k s Y k k s k k s T ⋅ + = ⋅ + + + , (44) где s - комплексная переменная Лапласа; ) ( , ) ( * s Y s Y - изображения, соот- ветственно, входной и выходной величины. Выходная переменная определяется как: ) ( ) 1 ( ) ( * 2 0 0 1 2 0 2 0 0 1 s Y k k s k k s T k k s k k s Y ⋅ + + + + = (45) Изображение входной переменной: { } s t L s Y 1 ) ( 1 ) ( * = = (46) Подставим (46) в (45) получим ) 2 2 ( 2 ] ) 1 ( [ ) ( 2 2 0 0 1 2 0 2 0 0 1 + + ⋅ + = ⋅ + + + + = s s s s s k k s k k s T k k s k k s Y Для нахождения ) (t y воспользуемся формулой для случая нулевого корня: ∑ = ⋅ + = n i t s i i i i e s B s s A B A t y 2 ' 1 1 ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( , (47) где 2 2 ) ( 2 1 + + = s s s B ; 2 2 ) ( ' 1 + = s s B ; 2 ) 0 ( = A ; 2 ) 0 ( 1 = B , j s ± − = 1 2 , 1 (48) Подставим (48) в (47) = + − − − − + − − + + + − + − + + − + = − − + − t j t j e j j j e j j j t y ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 2 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 ) ( = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − − + − − + + + − + − + + − + = − − jt jt t e j j j e j j j e ) 2 2 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 2 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − + − + + = − − jt jt t e j j j e j j j e 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 1 t e t cos 1 − − График переходного процесса t e t y t cos 1 ) ( − − = приведен на рисунке 2.23. В случае построения переходного процесса путем моделирования САР на цифровой вычислительной машине необходимо представить ) (s Y в дис- кретной форме. Возможны два подхода при построении дискретной САР для моделирования на ЭВМ непрерывной САР, представленной, например, на рисунке 2.24: 58 - замена оператора s преобразования Лапласа функциями оператора дис- кретного преобразования z ; - использование таблиц соответствия (табличный метод) ) ( ) ( z f s f ⇔ В первом случае реализуется замена: ( ) K , 1 1 2 , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 − − − − + − ⋅ Δ ≈ + − ⋅ Δ ≈ z z t s z z t s или с использованием более точных формул, например K , 4 1 1 3 , 1 1 2 2 1 2 2 1 1 − − − − − + + − ⋅ Δ ≈ + − ⋅ Δ ≈ z z z t s z z t s Этот метод позволяет лишь приближенно отображать динамические характеристики непрерывных объектов. Табличный метод включает в себя: - разложение передаточной функции ) (s W на элементарные ); (s W i i ∑ - представление элементарных передаточных функций в виде , ) ( i i i a s c s W − = где i a -корни знаменателя передаточной функции ) (s W ; [ ] ⋅ − = = i a p i i a s s W c ) )( ( При наличии комплексных корней i i i d a γ ± = в разложение вводят слагаемые вида 2 2 ) ( ) ( γ + + + i i i d s d s D и 2 2 ) ( γ γ + + i i i d s E Коэффициенты i i E D , находят приравниванием сомножителей при со- ответствующих степенях s в исходном полиноме числителя ) (s W и полино- ме числителя табличного разложения после приведения последнего к общему знаменателю; - по таблицам преобразования Лапласа и Z– преобразования выполня- ется замена элементарных передаточных функций ) (s W i на ) (z W i , например, , 1 t a i i i i e z z t a s Δ − = − Δ ⇔ + α α - приведение выражения ∑ i i z W ) ( к общему знаменателю; получение дис- кретной передаточной функции ; ) ( / ) ( ) ( z A z B z W = - составление уравнения дискретного объекта , ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( z X z B z Y z A z X z W z Y ⋅ = ⋅ ⋅ = Рисунок 2.23 – Переходный процесс 59 где ) ( ), ( z X z Y - соответственно выходная и входная переменные; - получение рекуррентного моделирующего выражения цифровой сис- темы ∑ ∑ = = − + − = m j n j j k y j k x k y 0 1 ) ( ) ( ) ( , где n m, - соответственно порядок числителя и знаменателя ). (z W Оба подхода не позволяют получить значения промежуточных пере- менных в процессе моделиро- вания. Более удобно аппрокси- мировать не передаточную функцию САР, а отдельные звенья, например, для системы регулирования представленной на рисунке 2.24 – звенья с пе- редаточными функциями: ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( 1 s s s f s s m m э o o − ϕ ϕ ϕ ϕ τ τ , а затем составляется алгоритм моделирования в соответствии с структурой рассматриваемой САР (рисунок 2.25). ϕ o ϕ τ ϕ ϕ m -1 f э o τ m y * y + + + _ Рисунок 2.24 – Структура САР с моделью процесса Н а ч а л о К о н е ц Начало цикла по ; ,..., 2 , 1 N i = Ввод начальных значений, коэффициентов модели и объекта Расчет выходной переменой ; ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 a i u a i y i y o ∗ − − + ∗ − = τ Расчет ошибки регулирования ); 1 ( ) ( ) ( * − − = i y i y i ε Расчет приведенного возмущения ; )] 1 ( ) ( [ ) ( ) ( 2 1 m m m m b a a i i i u i u ⋅ − − + − = − ε ε τ τ Расчет управляющего воздействия ). ( ) ( ) ( m b i u i f i u τ − ∗ = ∗ Конец цикла по i Рисунок 2.25 - Алгоритм моделирования непрерывной САР на ЭВМ |