Контрольная работа по дисциплине методы оптимальных решений вариант Выполнила студента Булатникова Анастасия Руслановна Группа 201
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Курский филиал Кафедра математики и информатики Контрольная работа по дисциплине МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Вариант Выполнила студента Булатникова Анастасия Руслановна Группа: 201 № л/д: Руководитель к.э.н. Верютин Александр Васильевич КУРСК – 2016 Задание Современная экономическая теория характеризуется широким использованием математических методов. Язык экономики все больше становится языком математики, а экономику все чаще называют одной из наиболее математизированных наук. Большинство новых методов основано на моделях, концепциях, приемах эконометрики. Эконометрика – молодая наука, возникшая на основе слияния экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики. Эконометрические методы сейчас – это не только мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко применяемый аппарат для принятия практических решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе. Предмет исследования эконометрики – экономические явления. В этом видится ее родство с экономической теорией. Нов отличие от экономической теории эконометрика делает упорна количественные, а не на качественные аспекты этих явлений. Например, экономическая теория утверждает, что спрос на товар с ростом его цены убывает. Но при этом практически неисследованным остается вопрос, как быстро и по какому закону происходит это убывание. Эконометрика отвечает на вопрос для каждого конкретного случая. Изучение экономических процессов (взаимосвязей) в эконометрике осуществляется через математические (эконометрические) модели. В этом видится ее родство с математической экономикой. Однако эконометрика обычно отделяется от математической экономики, которая, например, не занимается изучением степени обоснованности того, что данная зависимость имеет тот или иной вид (например, то, что величина потребления является линейной возрастающей функцией дохода, – это остается для эконометрики. В математической экономике исследуются теоретические модели, основанные на определенных формальных предпосылках (линейность, выпуклость, монотонность зависимостей, конкретные формулы взаимосвязи величин. Эконометрика занимается статистической оценкой моделей на основе изучения эмпирических данных. Одной из основных задач экономической статистики является сбор, обработка и представление экономических данных в наглядной форме в виде таблиц, графиков, диаграмм. Эконометрика также активно пользуется этим инструментарием, но идет дальше, применяя его для анализа экономических взаимосвязей и прогнозирования Мощным аппаратом эконометрических исследований является аппарат математической статистики. Действительно, большинство экономических показателей носит характер случайных величин, предсказать точные значения которых практически невозможно. Вследствие этого использование методов математической статистики в эконометрике естественно и обоснованно. Однако в силу специфики получения статистических данных в экономике (например, в экономике невозможно проведение управляемого эксперимента) эконометристам приходится использовать свои собственные наработки и специальные приемы анализа, которые в математической статистике не встречаются. Таким образом, можно сказать, что эконометрика устанавливает и исследует количественные закономерности в экономике на основе методов теории вероятностей и математической статистики, адаптированных к обработке экономических данных. Основа этих методов – корреляционно- регрессионный анализ. Еще раз отметим, что значительный блок эконометрики составляются методы математической статистики, те. методы, апеллирующие к вероятностной природе анализируемых данных. Этот инструментарий применим только в случае соблюдения условий статистического ансамбля, что означает возможность многократного воспроизведения эксперимента (наблюдения) в неизменных условиях. Однако для большинства исследуемых в экономике явлений данное требование не соблюдается. Экономические процессы развиваются во времени, и каждый временной ряд уникален. Эконометрическое моделирование Для изучения различных экономических процессов экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами таких моделей могут служить модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной цели. Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз Вводя символические обозначения в экономическую модель и формализируя, насколько это возможно, взаимосвязи между ними, формулируется математическая модель. Как необходимый элемент любая экономическая теория включает математические модели. Следует различать математическую структуру экономической модели и ее экономическое содержание. Отметим, что одни и те же математические модели могут быть использованы для решения совершенно различных экономических задач. Заметим, что при рассмотрении математических моделей все переменные делятся на два класса – эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные – это переменные, значения которых определяются внутри модели. В соответствующих математических моделях их называют еще зависимыми, результирующими или объясняемыми переменными. Экзогенные переменные – это внешние по отношению к модели переменные. Их значения определяются вне модели. В соответствующих математических моделях их называют еще независимыми, предикторными или объясняющими переменными, или регрессорами. Закономерности в экономике выражаются в виде связей и зависимостей экономических показателей. Такие зависимости могут быть получены только путем обработки реальных статистических данных. Статистические данные в эконометрике являются основой для выявления и обоснования эмпирических закономерностей. Без конкретных количественных данных, характеризующих функционирование исследуемого экономического объекта, не всегда возможно определить практическую значимость применяемой эконометрической модели. Эконометрические данные обычно делят на два вида: пространственные данные (cross-section data) и временные ряды (time Пространственные данные – это данные, полученные по какому-либо экономическому показателю, полученные для разных однотипных объектов (фирм, регионов. При этом все данные относятся к одному и тому же моменту времени, либо их временная принадлежность несущественна. Например, данные бюджетных обследований населения в определенный момент времени. Временные ряды – это данные, характеризующие один и тот же объектно в различные моменты времени. Например, данные о динамике уровня инфляции за определенный период. Отличительной чертой временных данных является то, что они естественным образом упорядочены повремени, кроме того, наблюдения в близкие моменты времени часто бывают зависимыми. В результате, например, связях таких экономических показателей могут присутствовать задержки (временные лаги. Все это обуславливает необходимость специальных методов обработки и анализа временных рядов по сравнению с пространственными данными. Любые экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Стохастическая природа экономических данных обуславливает необходимость применения специальных адекватных им статистических методов для их анализа и обработки. Основным элементом эконометрического исследования является анализ и построение взаимосвязей эконометрических переменных. Изучение таких взаимосвязей осложнено тем, что они, особенно в макроэкономике, не всегда являются строгими функциональными зависимостями. Во-первых, всегда очень трудно выявить все основные факторы, влияющие на данную переменную. Во-вторых, многие такие воздействия являются случайными, т.е. содержат случайную составляющую. В-третьих, экономисты, как правило, располагают ограниченным набором статистических наблюдений, которые к тому же содержат различного рода ошибки. Эконометрика позволяет строить экономические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их связи, что, в конечном счете, служит основой для экономического анализа и прогнозирования, создавая базу для принятия обоснованных экономических решений Задание При производстве двух видов продукции используется четыре типа ресурсов. Данные о норме расхода ресурсов на производство единицы продукции и общем объеме каждого ресурса представлены в табл. Табл. 2.1 Ресурс Норма затрат ресурсов на производство единицы продукции Общее количество ресурса 1-го вида 2-го вида 2 2 12 2 1 2 8 3 4 0 16 4 0 Прибыль от реализации первого вида составляет 2 ден. ед./ед., второго вида – 3 ден. ед./ед. Сформируйте производственную программу выпуска продукции, обеспечивающую максимальную прибыль от ее реализации. Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементами получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему? Решение Экономико-математическая модель задачи Переменные: Пусть x i – количество единиц продукции го вида, где i = Целевая функция) = 2x 1 + 3x 2 → max. Ограничения + 2x 2 ≤ 12, x 1 + 2x 2 ≤ 8, 4x 1 + 0x 2 ≤ 16, 0x 1 + 4x 2 ≤ 12. x 1 ≥ 0 x 2 Первое ограничение (по 1-му виду ресурсов) имеет вид 2x 1 + 2x 2 Найдем пересечение с осями координат. Прямая 2x 1 + 2x 2 = 12 проходит через точки (0; 6) и (6; 0). Второе ограничение (по 2-му виду ресурсов) имеет вид x 1 + 2x 2 ≤ 8. Прямая x 1 + 2x 2 = 8 проходит через точки (0; 4) и (8; Третье ограничение имеет вид 4x 1 + 0x 2 ≤ 16. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая левее прямой x 1 = 4. Четвертое ограничение имеет вид 0x 1 + 4x 2 ≤ 12. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой x 2 = Пересечение графиков дает область допустимых решений задачи (см. Рис. Найдем координаты пересечения графиков 2x 1 + 2x 2 = 12, 4x 1 = Получаем , . При этих значениях Рис. 2.1. Решение задачи графическим методом Для получения максимальной прибыли равной 14 ден. ед. необходимо произвести 4 единицы продукции первого вида и 2 единицы второго вида. Проверка Для проверки правильности решения задачи воспользуемся MS Excel. 1. Введем исходные данные. Оптимальные значения вектора будут помещены в ячейках А2:В2 (рис. 2.2) Рис. 2.2. 2. Введем зависимость для целевой функции. В ячейку С вводим формулу =СУММПРОИЗВ($A$2:$B$2;A3:B3) (1). Введем зависимости для ограничений. Скопируем формулу (1) в ячейки С4:С7. 4. Запуск команды Поиск решения. Данные → поиск решения. Оптимизировать целевую функцию. Устанавливаем целевую ячейку $C$3 равную максимальному значению (рис. 2.3) 6. Изменить ячейки переменных В соотвествующем поле вводим диапазон ячеек $A$2:$B$2 (рис. 2.3) 7. Ввести ограничения. Согласно условиям задачи имеется четыре ограничения со знаком рис. Рис. 2.3. 8. Сделать переменные без ограничений неотрицательными. В окне Поиск решения → кнопка Параметры → флажок Неотрицательные значения. Найти решение. Кнопка Выполнить. Результат выполнения задачи выглядит следующим образом: Рис. 2.4. Ответ Необходимо изготовить 4 единицы продукции го вида и единицы продукции го вида для получения максимальной прибыли 14 ден. ед. При этом нереализованными окажутся 4 единицы ресурса го типа Задание Администрация деревоперерабатывающего предприятия «Смена» приняла на работу пять человек. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. В настоящее время необходимо выполнить пять видов работ. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице: Время выполнения, ч Работник Работа Работа Работа 3 Работа 4 Работа 5 Р 1 25 16 15 14 Р 25 17 18 23 Р 30 15 20 19 Р 27 20 22 25 Р 29 19 17 32 10 1. 2. Требуется назначить на каждый вид работы одного из работников. Как это следует сделать, чтобы общее время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным. Предприятие Смена может принять на работу еще одного рабочего по совместительству, который выполняет каждую работу в течение следующего времени: Время выполнения, ч Работник Работа Работа Работа 3 Работа 4 Работа 5 Р 6 28 16 19 16 15 Требуется определить, каким образом данная мера повлияет на назначение рабочих и минимизацию общего времени выполнения работ. Решение: Данная задача является задачей о назначениях. Число рабочих (5) равно количеству работ, которое они должны выполнить (5). Представим исходные данные закрытой задачи в виде таблицы: Рабочие Работы Раб.1 Раб.2 Раб.3 Раб.4 Раб.5 Р1 25 16 15 14 Р 25 17 18 23 Р 30 15 20 19 Р 27 20 22 25 Р 29 19 17 32 В ячейках с заливкой находятся затраты времени c ij на выполнением рабочим (i=1, …, 5) й операции (j=1, …, 5). Обозначим через x ij факт назначения го рабочего на выполнение й операции — если рабочий назначен, 0 — если не назначен). Математическая модель задачи имеет вид: Найти такие значения x ij , чтобы суммарное время на выполнение всех работ было наименьшими при этом: каждый рабочий должен быть назначен только на одну операцию 5 , , 1 , 1 на каждую операцию должен быть назначен только один рабочий переменные задачи являются двоичными, операцию на назначен нерабочий, операцию на назначен рабочий - Компьютерная технология получения оптимального решения Данную задачу решаем с помощью надстройки Поиск решения» табличного процессора EXCEL. В ячейки рабочего листа программного средства вводятся исходные данные и формулы: В ячейки B5:F9 вводятся затраты времени, необходимого рабочим на выполнение операций; В ячейках B12:F16 находятся значения переменных x ij . Первоначально в них помещаются произвольные числа, например, единицы. В ячейки G12:G16 вводятся формулы для расчета сумм значений переменных в соответствующих строках. Например, в ячейке формула имеет вид =СУММ(B15:F15). В ячейки B17:F17 вводятся формулы для расчета сумм значений переменных в соответствующих столбцах. Например, в ячейке формула имеет вид =СУММ(B12:B16). В ячейку B19 вводится выражение целевой функции задачи с использованием встроенной функции «СУММПРОИЗВ». Аргументами этой функции являются блоки ячеек, содержащие затраты времени и значения переменных =СУММПРОИЗВ(B5:F9;B12:F16). Лист исходных данных, таким образом, имеет вид После ввода исходных данных запускается надстройка «Поиск решения» (меню Сервис Поиск решения) и заполняются необходимые поля в панели надстройки: В панели Параметры поиска решения указывается, что модель задачи оптимизации является линейной, и задается условие неотрицательности переменных Решение задачи на ЭВМ После запуска надстройки Поиск решения на выполнение было получено сообщение об успешном решении задачи оптимизации: В окне Тип отчета выбираем пункт Результаты. Рабочий лист EXCEL, содержащий результаты решения имеет вид 2. Для выполнения данного задания добавим в исходную таблицу еще одну строку, отражающую принятие рабочего, выполняющего работу по совместительству. Таблица примет вид Рабочие Работы Раб.1 Раб.2 Раб.3 Раб.4 Раб.5 Р1 25 16 15 14 Р 25 17 18 23 Р 30 15 20 19 Р 27 20 22 25 Р 29 19 17 32 Р 28 16 19 16 15 Данную задачу решаем с помощью надстройки Поиск решения» табличного процессора EXCEL. В ячейки рабочего листа программного средства вводятся исходные данные и формулы: В ячейки B5:F10 вводятся затраты времени, необходимого рабочим на выполнение операций; В ячейках B13:F18 находятся значения переменных x ij . Первоначально в них помещаются произвольные числа, например, единицы. В ячейки G13:G18 вводятся формулы для расчета сумм значений переменных в соответствующих строках. Например, в ячейке формула имеет вид =СУММ(B15:F15). В ячейки B19:F19 вводятся формулы для расчета сумм значений переменных в соответствующих столбцах. Например, в ячейке формула имеет вид =СУММ(B13:B18). В ячейку B21 вводится выражение целевой функции задачи с использованием встроенной функции «СУММПРОИЗВ». Аргументами этой функции являются блоки ячеек, содержащие затраты времени и значения переменных =СУММПРОИЗВ(B5:F10;B13:F18) Лист исходных данных, таким образом, имеет вид После ввода исходных данных запускается надстройка «Поиск решения» (меню Сервис Поиск решения) и добавляются новые ограничения в панели надстройки: В панели Параметры поиска решения указывается, что модель задачи оптимизации является линейной, и задается условие неотрицательности переменных: Решение задачи на ЭВМ После запуска надстройки Поиск решения на выполнение было получено сообщение об успешном решении задачи оптимизации В окне Тип отчета выбираем пункт Результаты. Рабочий лист EXCEL, содержащий результаты решения имеет вид: Ответ: таким образом, чтобы суммарные затраты времени на выполнение операций были наименьшими следует назначить: рабочего 1 на выполнение работы рабочего 2 на выполнение работы рабочего 3 на выполнение работы рабочего 4 на выполнение работы рабочего 5 на выполнение работы 3; Суммарное время на выполнение всех операций составит 83 ч. При условии найма дополнительного рабочего по совместительству выполнение работ следует распределить следующим образом: рабочего 1 на выполнение работы рабочего 2 на выполнение работы рабочего 3 на выполнение работы рабочего 4 на выполнение работы рабочего 5 на выполнение работы рабочего 6 на выполнение работы Суммарное время на выполнение всех операций составит 95 ч. Задание Годовая потребность машиностроительного завода в шинах марки B250 (175/70 R13 82H) составляет 70 000 шт, расходы на один заказ – 600 руб, издержки по содержанию запасов 70 руб. за шт. в год. Завод работает 300 дней в году. Доставка заказа осуществляется в течение трех дней. Определите: а) Оптимальный размер поставки; б) Годовые расходы на хранение запасов; в) Период поставок; д) Точку заказа. Решение Согласно условиям задачи, спрос на продукцию λ = 70 000 шт, расходы на доставку s = 600 руб, ежедневная стоимость хранения единицы товара h = 10 руб./шт в год, период Т = 300 дней, срок доставки 3 дня. Данная ситуация укладывается в рамки модели Уилсона. а) На основании имеющихся данных найдем оптимальный размер заказываемой партии q опт по формуле q опт = q опт = шт. б) Годовые расходы на хранение запасов являются частьюобщих затрат за период Т, те. из формулы общих затрат Ф Ф) = рассчитываем вторую часть, показывающую затраты на хранение товара в течение ремени Т: руб В данной задаче необходимо учитывать, каким именно образом начисляются расходы на хранение. Завод работает 300 дней в году, но товар хранится все 365. Поэтому стоит произвести дополнительные расчеты (при Т=365): руб в) Период поставок, или длительность цикла заказа τ рассчитывается по формуле: сут. г) Для расчета точки заказа, те. уровня запасов, при котором делается новый заказ, необходимо знать среднесуточный спрос, те. шт./сут. Точка заказа при этом будет равна произведению среднесуточного спроса на срок доставки заказа, равного 3 суткам 233,3∙3 = 700 шт. Ответ: а) q опт = 167,332 шт б) Годовые расходы на хранение запасов 250998 (305380,9 руб в) τ ≈ 0,7 сут г) Точка заказа 700 шт Список литературы 1. Федосеев В.В.,Гармаш АН, ОрловаИ.В. Экономико-математические методы и прикладные модели:учебник для бакалавров. е изд., перераб. и доп. М Юрайт, 2012. 2. Гармаш АН, Орлова ИВ. Математические методы в управлении: учебное пособие. М Вузовский учебник, 2012. 3. Орлова ИВ, Половников В.А. Экономико-математические методы и модели компьютерное моделирование учебное пособие. М.: Вузовский учебник, 2012. 4. Орлова ИВ. Экономико-математическое моделирование Практическое пособие по решению задаче изд, испр. и доп. - М Вузовский учебник ИНФРА-М, 2012. 5. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. е изд, перераб. и доп. М Юрайт, 2012. 6. Афанасьев МЮ, Багриновский КА, Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций учебное пособие. - М ИНФРА-М, 2006. 7. Экономико-математические методы и модели Задачник учебно- практическое пособие / под ред. СИ. Макарова, С.А. Севастьяновой., -е изд, перераб. - М КНОРУС, 2010. |