Главная страница
Навигация по странице:

  • Обработка статистического ряда интервалов между моментами прибытия поездов на станцию

    		•

    Математическое моделирование систем и процессов ДВГУПС. Мат мод широков вар 1 зад 1. Контрольная работа Вариант 291 Задача 1 Математическая статистика и законы распределения


    Скачать 141.73 Kb.
    НазваниеКонтрольная работа Вариант 291 Задача 1 Математическая статистика и законы распределения
    АнкорМатематическое моделирование систем и процессов ДВГУПС
    Дата28.02.2023
    Размер141.73 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаМат мод широков вар 1 зад 1.docx
    ТипКонтрольная работа
    #959350

    МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

    СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

    Контрольная работа

    Вариант 291

    Задача 1


    Математическая статистика и законы распределения

    В результате обработки отчетных данных на станции установлены моменты фактического прибытия четных поездов на станцию, полученные в результате натурных наблюдений за двое суток (табл. 1).
    Таблица 1

    Моменты фактического прибытия поездов на станцию

    № п/п
    Время, час., мин
    № п/п
    Время, час., мин
    № п/п
    Время, час., мин
    № п/п
    Время, час., мин

    2
    0:10
    27
    8:45
    53
    17:40
    78
    3:04

    3
    0:21
    28
    9:15
    54
    18:05
    79
    3:12

    4
    0:40
    29
    9:35
    55
    18:10
    80
    3:50

    5
    1:01
    30
    9:45
    56
    18:36
    82
    4:20

    6
    1:30
    32
    10:05
    57
    18:50
    83
    4:30

    7
    2:01
    33
    10:15
    58
    19:20
    84
    4:55

    8
    2:40
    34
    10:26
    59
    19:58
    85
    5:08

    9
    3:21
    35
    10:34
    60
    20:30
    86
    5:15

    10
    4:10
    36
    11:05
    62
    22:55
    87
    5:22

    12
    4:38
    37
    11:37
    63
    23:10
    88
    6:01

    13
    4:48
    38
    11:53
    64
    23:24
    89
    6:15

    14
    5:00
    39
    12:04
    65
    23:29
    90
    7:05

    15
    5:18
    40
    12:20
    66
    23:35
    92
    7:35

    16
    5:25
    42
    13:00
    67
    23:45
    93
    7:44

    17
    5:40
    43
    14:10
    68
    23:56
    94
    8:10

    18
    6:02
    44
    14:22
    69
    0:07
    95
    8:21

    19
    6:25
    45
    14:24
    70
    0:16
    96
    8:27

    20
    6:43
    46
    14:50
    72
    0:35
    97
    8:38

    22
    7:22
    47
    14:55
    73
    0:48
    98
    8:53

    23
    7:32
    48
    16:01
    74
    1:01
    99
    10:00

    24
    7:52
    49
    16:25
    75
    1:48
    100
    10:30

    25
    8:01
    50
    16:35
    76
    2:38
     
     

    26
    8:18
    52
    16:50
    77
    3:01
     
     


    Необходимо установить какому теоретическому закону распределения подчиняется интервал прибытия поездов на станцию. Для этого требуется следующее.

    1. Составить статистический ряд интервалов прибытия четных грузовых поездов на сортировочную станцию.

    2. Установить основные временные параметры входящего на станцию поездопотока (среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклоне­ние и коэффициент вариации).

    3. Построить гистограмму распределения вероятностей появления интервалов между поездами.

    Решение. Процедура вычисления основных характеристик статистического рас­пределения следующая.

    Так как в исходных данных приведены моменты прибытия поездов, а требуется исследовать интервалы прибытия, то необходимо обработать исходные данные (определить сами интервалы прибытия). Интервалы определяются как разность между временем прибытия последующего поезда и временем прибытия предыдущего поезда.
    , (27)
    где – время прибытия последующего поезда, ч, мин; – время прибытия предыдущего поезда, ч, мин.

    Тогда первый и второй интервалы прибытия будут равны:





    Результаты расчетов всех интервалов прибытия представляются в табл. 2.

    Таблица 2

    Интервалы прибытия поездов

    № п/п
    Интервал, мин
    № п/п
    Интервал, мин
    № п/п
    Интервал, мин
    № п/п
    Интервал, мин

    1
    11
    24
    30
    47
    25
    70
    8

    2
    19
    25
    20
    48
    5
    71
    38

    3
    21
    26
    10
    49
    26
    72
    30

    4
    29
    27
    20
    50
    14
    73
    10

    5
    31
    28
    10
    51
    30
    74
    25

    6
    39
    29
    11
    52
    38
    75
    13

    7
    41
    30
    8
    53
    32
    76
    7

    8
    49
    31
    31
    54
    145
    77
    7

    9
    28
    32
    32
    55
    15
    78
    39

    10
    10
    33
    16
    56
    14
    79
    14

    11
    12
    34
    11
    57
    5
    80
    50

    12
    18
    35
    16
    58
    6
    81
    30

    13
    7
    36
    40
    59
    10
    82
    9

    14
    15
    37
    70
    60
    11
    83
    26

    15
    22
    38
    12
    61
    11
    84
    11

    16
    23
    39
    2
    62
    9
    85
    6

    17
    18
    40
    26
    63
    19
    86
    11

    18
    39
    41
    5
    64
    13
    87
    15

    19
    10
    42
    66
    65
    13
    88
    67

    20
    20
    43
    24
    66
    47
    89
    30

    21
    9
    44
    10
    67
    50
     
     

    22
    17
    45
    15
    68
    23
     
     

    23
    27
    46
    50
    69
    3
     
     


    Далее производится группирование интервалов по разрядам. Количество разрядов определяется по формуле (1):

    , (1)

    где – общее число наблюдений;

    Шаг разряда – величину интервала группирования – можно определить по формуле
    , (2)

    где , – наибольшее и наименьшее значения случайной величины из всей совокупности исходных данных; – количество разрядов (классов).



    Определяются значения интервалов прибытия на границах разрядов (табл. 3).

    Таблица 3

    Значения интервалов прибытия на границах разрядов

    № разряда
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8

    Границы разряда (мин-макс), мин.
    2 - 19,875
    19,875 - 37,75
    37,75 - 55,625
    55,625 - 73,5
    73,5 - 91,375
    91,375 - 109,25
    109,25 - 127,125
    127,125 - 145


    Установив шаг разряда и, рассчитав значения границ разряда, приступают к группированию исходных данных (интервалов прибытия) по разрядам.

    В процессе группирования устанавливается, сколько интервалов попало в разряд (значения от до ). Для удобства применения формул обозначим исследуемую величину интервала прибытия поездов через . Последующие расчеты ос­новных параметров статистического рада целесообразно проводить в форме таблицы путем заполнения отдельных колонок, в которые сводятся все промежуточные результаты вычислений (табл. 4).

    Таблица 4

    Обработка статистического ряда интервалов между моментами прибытия поездов на станцию

    Номер разряда
    Границы разряда 
    Количество значений

    Частость

    Середина разряда







    min
    max

    1
    2
    19,875
    48
    0,54
    10,938
    5,899
    119,629
    64,519

    2
    19,875
    37,75
    25
    0,28
    28,813
    8,093
    830,160
    233,191

    3
    37,75
    55,625
    12
    0,13
    46,688
    6,295
    2179,723
    293,895

    4
    55,625
    73,5
    3
    0,03
    64,563
    2,176
    4168,316
    140,505

    5
    73,5
    91,375
    0
    0,00
    82,438
    0
    6795,941
    0

    6
    91,375
    109,25
    0
    0,00
    100,313
    0
    10062,598
    0

    7
    109,25
    127,125
    0
    0,00
    118,188
    0
    13968,285
    0

    8
    127,125
    145
    1
    0,01
    136,063
    1,529
    18513,004
    208,011

     
    Итого
     
    89
     
     
    23,99
     
    940,122

    Математическое ожидание определяется суммированием произведений среднего (срединного) значения разрядов статистического ряда на соответствующие частости наблюдаемых величин

    , (3)

    где – обозначение разряда; – число разрядов; – среднее значение случайной величины в разряде ; – частость разряда,

    ; (4)

    где – количество значений случайной величины в разряде ;
    – суммарное количество наблюдений, .

    , (5)

    где , – наибольшее и наименьшее значения случайной вели­чины в -м разряде.

    В некоторых случаях определяется величина, обратная математическому ожиданию и называемая интенсивностью появления случайной величины в единицу времени .

    . (6)

    Индивидуальные значения величин отличаются друг от друга, отклоняясь от средней величины в ту или другую сторону. Величина этого отклонения показывает, в ка­кой мере значения отличаются и друг от друга, т. е. размер вариации признака.

    Показателями размера вариации слу­жат дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

    Дисперсия, представляет собой математическое ожидание квадратов от­клонений случайной величины от ее математического ожидания.

    , (7)

    где – второй начальный момент случайной величины.

    Квадратный корень из дисперсии носит название среднего квадратического отклонения

    . (8)

    Коэффициент вариации – относительная мера рассеивания слу­чайной величины от среднего значения – определяется как отноше­ние среднего квадратического отклонения к математическому ожида­нию

    . (9)

    В зависимости от целей исследования могут определяться следующие дополнительные характеристики случайной величины: коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса, мода случайной величины, медиана случайной величины.

    Для каждого разряда наблюдаемых величин подсчитывают их количество и определяют частость по формуле (4). Далее по формулам (3) и (7) находят математическое ожидание и дисперсию. И, наконец, по формулам (8) и (9) рассчитывают соответственно среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

    Из табл. 4 получаем значение математического ожидания, мин,



    – дисперсия интервала прибытия поездов:



    – среднее квадратическое отклонение, мин:



    – коэффициент вариации:



    Интенсивность поступления поездов на станцию , поезда/мин, рассчитывается по формуле (6)



    На основании расчетных характеристик (табл. 4) строится гистограмма распределения интервалов прибытия поездов (рис. 5).

    На горизон­тальной оси гистограммы откладываются разряды и на каждом их них, как на основании, строят прямоугольник, площадь которого равна частости разряда. Ордината гистограммы определяется по формуле

    , (28)

    где – шаг конкретного -го разряда.

    Если шаг всех разрядов одинаков, то принимается значение .



    Рис. 5. Гистограмма распределения интервалов прибытия поездов
    Исходя из внешнего вида гистограммы и представляя себе графики теоретических законов распределения случайных величин, подбирается визуально наиболее близкий теоретический закон распределения и проверяется гипотеза о согласовании выбранного закона со статистическими данными.

    Кроме того, при выдвижении гипотезы о том или ином законе распределения можно рассчитать параметр Эрланга

    . (18)

    Рассчитаем:



    откуда следует, что необходимо рассмотреть закон распределения Эрланга с параметром равным 1 или 2.

    При k=1 функция распределения Эрланга выглядит следующим образом:



    Проверка осуществляется по критерию согласия Пирсона по формуле (23) и правилу Романовского по формуле (26).

    Расчет критерия согласия Пирсона удобнее всего вести в таблице (табл. 5).

    , (23)

    где – число значений случайной величины в -м разряде; – количество наблюдений; – теоретическая вероятность, принимается в зависимости от выбранного закона распределения случайной величины по расчетным формулам или специальным таблицам [5, прил. 1–4, 6–9].

    Теоретическая вероятность интервалов определенной величины в разряде в их общей совокупности равна

    , (24)

    где и – функция закона распределения соответственно на верхней и нижней границах -го разряда.

    Распределение зависит от параметра , называемого числом сте­пеней свободы (количество независимых параметров случайной величины) распределения и равного разности между числом разря­дов и числом независимых условий (связей), наложенных на частоты .

    , (25)

    где – число разрядов, на которое разбивается общее число наблю­дений; – число наложенных связей.

    Количество наложенных связей определяется числом параметров (числовых характеристик) принятого закона распределения плюс 1 и зависит только от принятого закона распределения случайной величины. Так, для показательного распределения количество параметров равно одному – , зависящему от , следовательно, число наложенных связей .

    Для нормального распределения количество параметров равно двум – и , следовательно, число наложенных связей .

    Для распределения Эрланга количество параметров равно двум – и , которые, в свою очередь, являются производными от и , следовательно, число наложенных связей .

    По специальным таблицам [4, прил. 5] можно для каждого зна­чения и числа степеней свободы найти – вероятность того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение.

    Последовательность применения крите­рия к оценке согласованности теоретического и статистического распределений следующая:

    определяют числовые характеристики эмпирического распределе­ния;

    по их значениям и внешнему виду гистограммы распределения выдвигают ги­потезу о возможности замены статистического распределения теорети­ческим ;

    по формуле (24) находят меру расхождения ;

    по формуле (25) определяют число степеней свободы ;

    по и находят вероятность согласованности эм­пирического распределения принятому теоретическому.

    Кроме критерия согласия Пирсона, для оценки степени согласо­ванности статистического и теоретического распределений применя­ют и другие критерии, например правило Романовского.

    По Романовскому, гипотеза о принятом теоретическом законе распределения считается правдоподобной, если соблюдается следующее неравенство

    , (26)

    где – число степеней свободы.

    Если его значение меньше 3, то расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями несущественно; если больше 3 – существенно. Это правило менее строго, чем критерий Пирсона, и применяется в расчетах, когда нет необходимости исследовать степень близости статистичес­кого и теоретического распределений.
    Таблица 5

    Характеристики распределения интервалов между поступающими в переработку поездами

    № разряда 
    Границы
    Количество значений











    min
    max

    1
    2
     
     
    -0,083
    0,9200
    0,0800
     
     

     
     
    19,875
    48
    -0,829
    0,4366
    0,5634
    0,4834
    0,576

    2
    19,875
    37,75
    25
    -1,574
    0,2072
    0,7928
    0,2294
    1,029

    3
    37,75
    55,625
    12
    -2,320
    0,0983
    0,9017
    0,1089
    0,551

    4
    55,625
    73,5
    3
    -3,065
    0,0467
    0,9533
    0,0517
    0,555

    5
    73,5
    91,375
    0
    -3,810
    0,0221
    0,9779
    0,0245
    2,182

    6
    91,375
    109,25
    0
    -4,556
    0,0105
    0,9895
    0,0116
    1,035

    7
    109,25
    127,125
    0
    -5,301
    0,0050
    0,9950
    0,0055
    0,491

    8
    127,125
    145
    1
    -6,047
    0,0024
    0,9976
    0,0026
    2,522

     
     
     
    89
     
     
     
     
    8,9418


    Как видно из последней колонки табл. 5, критерий согласия Пирсона



    Так как разрядов – 8, а наложенных связей для Эрланговского закона распределения – 1, то число степеней свободы определится:



    Пользуясь приложением 5 [4], находится, что вероятность



    Значит, гипотеза о Эрланговском распределении интервалов поступления поездов на станцию с параметром k=1 требует дополнительной проверки.

    Проверку данной гипотезы производим по правилу Романовского:



    Следовательно, расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями не столь существенно и гипотеза об Эрланговском законе распределения интервала прибытия поездов на станцию с параметром k=1 правдоподобна.

    Число бригад ПТО в парке приема рассчитывается, исходя из одного из условий бесперебойной работы станции

    , (29)

    где – расчетный интервал прибытия поездов; – время на техническое обслуживание поезда одной бригадой; – число бригад.

    , (30)

    где – минимальный интервал между поездами, прибывающими на станцию, мин,; – средний интервал прибытия поездов, мин,







    Время на техническое обслуживание



    Число бригад из формулы (29) рассчитывается





    написать администратору сайта