Курс_лекций_Начертательная ге. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей Томск 2009 2 удк 515 Начертательная геометрия. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей. Томск Издво тпу, 2009. 65 с
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
Г.Ф. Винокурова, Б.Л. Степанов НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций для студентов ТПУ всех специальностей Томск 2009 2 УДК 515 Начертательная геометрия. Курс лекций для студентов ТПУ всех специальностей. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009.– 65 с. Составители: доц., канд. техн. наук Г. Ф. Винокурова доц. Б. Л. Степанов Рецензент доц., канд. техн. наук Б. А. Франковский Работа рассмотрена и рекомендована к изданию методическим се- минаром кафедры начертательной геометрии и графики 28 августа 2008 г. Зав. кафедрой, доц. ______________________С. П. Буркова 3 Лекция 1. Введение. Методы проецирования. Точка. Прямая линия Введение Литература Винокурова Г.Ф., Степанов Б.Л. Начертательная геометрия. Инже- нерная графика: учебное пособие. – 2-е изд. – Томск: Изд. ТПУ, 2008. – 306 с. А.А. Чекмарев Инженерная графика М.: Высш. шк ., 2000 г. В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский Курс начертательной гео- метрии М.: Наука, 1988 М.: Высш. шк., 1999 г. В.С. Левицкий Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей М.:Высш. шк., 2000 г. Цели и задачи дисциплины Целью дисциплины является изучение правил изображения на плоскости пространственных фигур и решение инженерно- геометрических задач на плоскостном чертеже; выработка знаний и на- выков, необходимых для выполнения и чтения чертежей отдельных де- талей. Учебная дисциплина «Начертательная геометрия. Инженерная графика» состоит из двух разделов. В разделе «Начертательная геометрия» изучаются методы изобра- жения пространственных фигур на плоскости и свойства фигур по их изображениям. В разделе «Инженерная графика» изучаются правила выполнения и чтения чертежей отдельных деталей и сборочных единиц. Краткая историческая справка Основоположник начертательной геометрии – Гаспар Монж. Годы жизни – 1746 – 1818. Он обобщил ранее накопленный опыт по тео- рии и практике изображений и создал стройную научную дисциплину о прямоугольных проекциях, которую назвал «Начертательная геометрия». Первый учебник по начертательной геометрии опубликован во Франции в 1798 г. С открытием в 1810 г. В Петербурге Института корпуса инженеров путей сообщения наряду с другими дисциплинами там начал препода- ваться курс начертательной геометрии. Первым преподавателем по это- му курсу был ученик Г. Монжа Карл Потье. С 1818 г. Лекции по начер- тательной геометрии стал читать профессор Я. А. Севастьянов, а в 1821г. был опубликован его учебник по начертательной геометрии – первый учебник, изданный на русском языке. В октябре 1900 г. начались занятия в Томском технологическом институте (ныне Томском политехническом университете). Первую лек- цию по начертательной геометрии 28(16)октября 1900 г. прочел Вален- тин Николаевич Джонс. 4 Методы проецирования Изображения пространственных объектов на плоскости должны полно и точно отражать геометрические свойства объекта и позволять исследовать его части, что обусловливает ряд требований. Наиболее важные из них: 1) обратимость, т. е. возможность вос- становить объект по его изображению; 2) простота построения; 3) на- глядность. Изображение, удовлетворяющее этим требованиям, получают на основе метода проецирования. Аппарат проецирования включает в себя центр проекций, проеци- руемый объект, проецирующие лучи и плоскость, на которой получается изображение. 1. Центральное проецирование – это общий случай проецирова- ния геометрических объектов. Проецирование осуществляется из точки S – центра проецирования на плоскость Р – плоскость проекций. Центр проецирования не должен находиться в плоскости проекций. Чтобы получить центральную проекцию какой-либо точки (например точки А на рис. 1) необходимо провести проецирующий луч через центр проецирования S и точку А. Точка пересечения луча с плоскостью про- екций (точка а) является центральной проекцией заданной точки А на выбранную плоскость Р. Рис. 1 Рис. 2 Точки a, b, с,d являются центральными проекциями точек А, В, С D на плоскости Р. Свойства центрального проецирования: 1. При центральном проецировании: точка проецируется в точку; прямая, не проходящая через центр проецирования, проецируется в прямую (проецирующая прямая – в точку); 5 плоская фигура, не принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в плоскую фигуру, рис. 2 (фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, проецируются в прямые линии); трехмерная фигура проецируется в двумерную фигуру. 2. При заданном центре проецирования фигуры на параллельных плоскостях подобны. 3. Центральное проецирование устанавливает однозначное соот- ветствие между фигурой и ее изображением. Центральные проекции имеют большую наглядность, но имеют и недостатки. Они заключаются, например, в сложности построения изо- бражения предмета и определения его истинных размеров. Поэтому этот способ имеет ограниченное применение. 2. Параллельное проецирование можно рассматривать как част- ный случай центрального проецирования. При этом центр проецирования удален в бес- конечность (S ).При параллельном проеци- ровании применяют параллельные проеци- рующие прямые. Их проводят в заданном на- правлении относительно плоскости проек- ций. Если направление проецирования пер- пендикулярно плоскости проекций, то про- екции называют прямоугольными или орто- гональными =90°, в других случаях ко- соугольными 90° (рис. 3). Свойства параллельного проецирования: При параллельном проецировании сохраняются все свойства цен- трального проецирования, которые дополняются новыми: 1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых парал- лельны, а отношение длин отрезков этих прямых равно отношению длин их проекций. 2. Плоская фигура, параллельная плос- кости проекций, проецируется на эту плос- кость в такую же фигуру. 3. Параллельный перенос фигуры в про- странстве или плоскости проекций не изме- няет вида и размеров проекции фигуры. Применяя приемы параллельного про- ецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела. Параллельные проекции, как и центральные, не обеспечивают обратимости чертежа. а c b Рис. 3 Рис. 4 6 При проецировании на одну плоскость проекций между проеци- руемой фигурой и ее проекцией не существует взаимоодназначного со- ответствия. Так, каждому проецируемому предмету при заданном его положении и выбранном направлении проецирования l соответствует единственная его проекция. Однако полученная фигура может быть про- екцией бесконечного множества других фигур, которые отличаются друг от друга по величине и по форме. Из рис. 4 видно, что пространственной точке M соответствует единственная ее проекция на плоскости P точка m. В то же время точка m является проекцией множества точек, лежащих на проецирующей прямой (M, M 1, M 2 , M 3 ). Прямолинейный отрезок mn может быть проекцией не только пря- молинейного отрезка M 1 N 1 или M 2 N 2, но проекцией кривой линии M 3 N 3 и любой плоской фигуры, расположенной в проецирующей плоскости. Следовательно, изображение пространственной фигуры является не полным. Мы можем правильно понять чертеж тогда, когда он будет сопровождаться дополнительными пояснениями. Рассмотрим некоторые способы дополнения проекционного изо- бражения, позволяющие сделать его «обратимым», то есть однозначно определяющим проецируемый предмет. Способ проекций с числовыми отметками Этот способ лежит в основе построения чертежей планов местно- сти и некоторых инженерных сооружений (плотин, дорог, дамб и т.п.). Способ заключается в том, что положение любой точки в пространстве определяется ее прямоугольной проекцией на некоторую горизонталь- ную плоскость, принятую за плоскость нулевого уровня (рис. 5). Рядом с проекциями точек (a, b, c) указывают их отметку. Она указывает рас- стояние от точки до плоскости проекций. Способ векторных проекций Академик Е.С. Федоров предложил изображать высоты точек при помощи параллельных отрезков на плоскости проекций. Начало этих от- резков находится в проекциях соответствующих точек (рис. 6). Направ- ление всех высотных отрезков произвольно. Рис. 5 Рис. 6 7 Если точки расположены выше горизонтальной плоскости, высот- ные отрезки, а также числовые отметки считаются положительными, ес- ли ниже отрицательными. Положительные и отрицательные высотные отрезки в «федоровских проекциях» отличаются противоположным на- правлением. Такие чертежи применяют в геологии, горном деле, топо- графии. Метод прямоугольных проекций (метод Монжа) Чертеж в системе прямоугольных проекций образуется при про- ецировании предмета не на одну, а на две или три взаимно перпендику- лярные плоскости проекций. Этот способ является частным случаем па- раллельного проецирования. Направление проецирования l перпендику- лярно плоскости проекций. Из точки опускается перпендикуляр на плос- кость проекций. Основание перпендикуляра является прямоугольной (ортогональной) проекцией точки. Осуществлять проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости впервые предложил Гаспар Монж. Такое проецирование обеспечивает обратимость чертежа. Обра- тимость чертежа – однозначное определение положения точки в пространстве по ее про- екциям. Одну из плоскостей принято распола- гать горизонтально ее называют горизон- тальной плоскостью проекций H (от греч. hori- zon – разграничивающий), другую – ей пер- пендикулярно. Такую вертикальную плоскость называют фронтальной плоскостью проекций V (от лат. – vertical is – отвесный). Эти плоско- сти проекций пересекаются по линии, которая называется осью проекций х (рис. 7). Чтобы получить проекции точки на плоскости, опускаем из точки A в простран- стве перпендикуляры (проецирующие лучи) до встречи с плоскостями H и V. Для полного выявления наружных и внутренних форм деталей и их соединений и для ряда других задач бывает необходимо три и более изображения. Введем в систему плоскостей H и V третью плоскость. Распо- лагаем ее перпендикулярно этим плоскостям. Новая плоскость называется профильной плоскостью проекций и обозначается буквой W. Она пересекает плоскости H и V по осям y и z. Точку пересечения Рис. 7 Рис. 8 8 всех осей называют началом координат и обозначают буквой O (от ла- тинского слова «origo» начало). Оси x, y, z взаимно перпендикулярны. Три взаимно-перпендикулярные плоскости делят пространство на восемь частей, восемь октантов (рис. 8) (от лат. octo восемь). В нашей стране принята европейская система расположения про- екций. Ось x направлена от начала координат влево, y вперед (к нам), z вверх (x – ось широт, y – ось глубин, z – ось высот). Обратные направ- ления координатных осей считаются отрицательными. Точка Опустим из точки А проецирующие лучи (перпендикуляры) до пе- ресечения с плоскостями проекций H, V и W. Точки пересечения перпен- дикуляров с плоскостями проекций – это проекции точки на каждую из плоскостей проекций (рис. 9): a горизонтальная; a фронтальная; a профильная. Преобразуем его так, чтобы горизонтальная и профильная плос- кости проекций совпали с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость чертежа (рис. 10). В результате получаем чертеж, назы- ваемый эпюр Монжа (от франц. epure чертеж, проект) или комплекс- ный чертеж. Рис. 9 Рис. 10 Основные правила ортогонального проецирования точки 1. Положение точки в пространстве определяется тремя координатами А(x, y, z). 2. Положение точки на плоскости определяется двумя координатами: a(x, y); a′(x, z); a″(y, z). 3. Две проекции точки определяют положение ее третьей проекции; две проекции точки определяют ее положение в пространстве. 4. Две проекции находятся на одном перпендикуляре (линии связи) к оси проекций, их разделяющей. 9 Прямая линия Линия – это множество всех последовательных положений дви- гающейся точки. Прямая линия – линия, образованная движением точки, не меняю- щей своего направления. Прямая линия задается двумя точками, ей принадлежащими; одной точкой и направлением линии. Прямая может занимать в пространстве различное положение. Положение прямой в пространстве Относительно плоскостей проекции прямая может занимать раз- личные положения: не параллельное ни одной из плоскостей проекций H, V, W; параллельное одной из плоскостей проекций (прямая может и принадлежать этой плоскости); параллельное двум плоскостям проекций, то есть перпендикуляр- ное третьей. Прямая общего положения – прямая, не параллельная ни од- ной из плоскостей про- екций (рис. 11). Прямые частно- го положения – пря- мые, параллельные или перпендикулярные плоскости проекций. Прямые частного положения можно разделить на: прямые, параллельные плоскости проекций – прямые уровня; прямые, перпендикулярные плоскости проекций – проецирующие прямые. Прямые, параллельные плоскости проекций (прямые уровня) Горизонтальная прямая (АВ // H) Фронтальная проекция прямой a b параллельна оси x; профильная проекция a b параллельнаоси y W ; длина горизонтальной проекции от- резка равна длине самого отрезка (ab=AB);угол , образованный гори- зонтальной проекцией и осью проекции x, равен углу наклона прямой к фронтальной плоскости проекций; угол , образованный горизонтальной проекцией и осью проекции y H , равен углу наклона прямой к профильной плоскости проекций (рис. 12). Рис. 11 10 Свойства проекций /ab/ = /АВ/; (a′b′) // (Оx); (a′′b′′) // (Oy w ); (AB ^ V)=(ab ^ Оx)= ; (AB ^ W)=(ab ^ Oy н )= . Фронтальная прямая (CD //V) Горизонтальная проекция прямой cd параллельна оси x; профиль- ная проекция c d параллельна оси z; длина фронтальной проекции от- резка равна длине самого отрезка (с d =CD);угол , образованный фрон- тальной проекцией и осью проекций x, равен углу наклона прямой к го- ризонтальной плоскости проекций; угол , образованный фронтальной проекцией и осью z, равен углу наклона прямой к профильной плоскости проекций (рис. 13). Свойст-ва проекций c d = CD ; (cd) // (Оx); (c d) // (Оz); (CD^H)=(c d^Оx)= ; (CD^W)=(c d^Оz)= . Профильная прямая (EF //W) Горизонтальная проекция прямой ef параллельна оси y H ; фронталь- ная проекция e f параллельна оси z; длина профильной проекции отрезка равна длине самого отрезка (e f =EF); углы и , образованные про- фильной проекцией с осямиy W и z, равны углам наклона прямой к гори- зонтальной и фронтальной плоскостям проекций соответственно, рис. 14. Свойства проекций e f = EF ; (ef) // (Оy н ); (e f ) = (Оz); (EF^H)=(e f ^Оy w )= ; (EF^V)=(e f ^Оz) = . Рис. 14 Рис. 12 Рис. 13 11 Если прямая параллельна плоскости проекций, то на эту плос- кость в натуральную величину проецируется сама прямая и углы накло- на ее к двум другим плоскостям проекций. Проекции прямой на две дру- гие плоскости проекций параллельны осям, определяющим данную плос- кость проекций. Прямые, перпендикулярные плоскости проекций (проецирующие) Прямая АВ Н – горизонтально-проецирующая прямая. Свойства проекций Проекция a b перпендику- лярна осиx,проекцияa b перпендикулярна оси y w , проекции aиbсовпадают. (AB) H; (AB) // V; (AB) // W; ab – точка; a b = a b = AB ; (a b)(Оx); (ab)(Оy w ). Прямая CD V – фронтально-проецирующая прямая. Свойства проекций Проекция cd перпендику- лярна оси x, проекция c d перпендикулярна оси z, проекции с и d совпадают. (CD) V; (CD) // H; (CD) // W; c d – точка; cd = c d = CD ; (cd)(Оx); (c d) (Оz). Прямая EF W – профильно-проецирующая прямая. Свойства проекций Проекция ef перпендику- лярна оси y H |