Курс_лекций_Начертательная ге. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей Томск 2009 2 удк 515 Начертательная геометрия. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей. Томск Издво тпу, 2009. 65 с
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
Две основные задачи преобразования чертежа плоскости Плоскость общего положения можно преобразовать: в проецирующую плоскость; плоскость уровня. 1. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость В системе плоскостей V и Н плоскость Q (∆АВС) занимает общее положение (рис. 16). Если мы заменим одну из плоскостей на новую и расположим эту плоскость перпендикулярно плоскости Q, то в новой системе плоскостей плоскость Q будет проецирующей. Заменим, например, плоскость V на новую плоскость V 1 . Располо- жим V 1 перпендикулярно плоскости H и плоскости Q. Плоскость V 1 бу- дет перпендикулярна плоскости Q, если мы ее расположим перпендику- лярно какой-нибудь линии плоскости. Для упрощения решения задачи в качестве этой линии возьмем горизонталь (линию, параллельную гори- зонтальной плоскости проекций). Строим в плоскости Q горизонталь A1 и перпендикулярно ей про- водим новую плоскость V 1 . Ось x 1 проводим в любом месте перпендику- лярно горизонтальной проекции горизонтали (x 1 a1). Строим новую фронтальную проекцию плоскости Q. Горизонталь на новую плоскость спроецируется в точку (a 1 =1 1 ), а плоскость Q ( C) – в линию c 1 a 1 b 1 H V H V 1 ; V 1 H; V 1 Q ( C); V 1 A1 (A1 – горизонталь); x 1 (a1). Рис. 16 Рис. 17 24 Для преобразования плоскости Q в горизонтально-проецирующую плоскость, необходимо заменить плоскость H на новую, расположив ее перпендикулярно плоскости V и Q. Для этого в плоскости Q проводим фронталь и перпендикулярно ей строим новую горизонтальную плос- кость. Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня При таком преобразовании мы определяем натуральную величину плоской фигуры (рис. 18). В этом случае заменяется фронтальная плоскость V на новую V 1 Она проводится перпендикулярно плоскости H и параллельно плоскости ( С). Ось x 1 строится параллельно линии abc. При такой замене ко- ординаты z не изменяются. Измеряем их на фронтальной плоскости про- екций и откладываем на линиях связи от новой оси x 1 H V H V 1 ; V 1 H; V 1 //P( C); x 1 //abc. Рис. 18 2. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня Для того, чтобы преобразовать плоскость общего положения в плоскость, которая будет параллельна одной из плоскостей проекций, необходимо провести две замены (рис. 19). Вначале преобразуем плос- кость общего положения (рис. 19, а) в проецирующую плоскость (рис. 19, б), а затем проецирующую плоскость преобразуем в плоскость уров- ня (рис. 19, в). 25 H V x H V 1 ; V 1 H; V 1 P( C); V 1 А1 (А1 – горизонталь); x 1 (а1); 1 1 1 H V H V ; H 1 V 1 ; H 1 //P( C); x 2 //c 1 а 1 b 1 а б в Рис. 19 26 Лекция 4. Взаимное положение прямой и плоскости. Взаимное положение плоскостей Взаимное положение прямой и плоскости Взаимное положение прямой и плоскости определяется количест- вом общих точек: а) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она при- надлежит этой плоскости; б) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость; в) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в беско- нечность, то прямая и плоскость параллельны. Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. Называются позицион- ными задачами. Прямая параллельна плоскости Прямая параллельна плоскости, ес- ли она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы по- строить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую (рис. 1). Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной. Рис. 1 Прямая пересекает плоскость Построить точку пересечения прямой с плоскостью – значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости. 1. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, рис. 2), то го- ризонтальная проекция точки пересечения должна одновременно при- надлежать горизонтальному следу плоскости и горизонтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определя- ется горизонтальная проекция k точки K (точки пересечения прямой AB с горизонтально-проецирующей плоскостью Q ( CDE)), а затем ее фрон- тальная проекция. Q AB Q CD AB // ) ( ) //( ) ( Q AB Q P AB // ) ( // ) ( 27 2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения На рис. 3 изображена плоскость общего положенияP ( CDE)и го- ризонтально-проецирующая прямая AB, пересекающая плоскость в точке K. Горизонтальная проекция точки точка k совпадает с точками a и b. Для построения фронтальной проекции точки пересечения проведем че- рез точку K в плоскости Pпрямую (например, 1 2). Сначала построим ее горизонтальную проекцию, а затем фронтальную. Точка K является точ- кой пересечения прямых AB и 1-2, то есть точка K одновременно лежит на прямой AB и в плоскости P и, следовательно, является точкой их пе- ресечения. Рис. 2 Рис. 3 3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения В этом случае линия, лежащая в плоскости и пересекающаяся с данной прямой, может быть получена как линия пересечения вспомога- тельной секущей плоскости Р, проведенной через прямую АВ, с данной плоскостью Q (линия MN) (рис. 4). Точку пересечения прямой с плоскостью строят по следующему плану. 1. Через прямую AB проводят вспомогательную плоскость P. 2. Строят линию пересечения MN заданной плоскости Q и вспомогатель- ной плоскости P. P AB) ( P Q MN) ( Рис. 4 28 ) ( ) 12 ( Δ CDE Q P 3. Так как прямые AB и MN лежат в одной плоскости P, то опреде- ляют точку их пересечения (точку K), которая является точкой пересече- ния прямой AB с плоскостью Q. 4. Определяют взаимную видимость прямой AB и плоскости Q. Задача: Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника СDE (рис. 5). Точки задаются координатами: A(9,1,2), B(2,7,6), C(11,7,4), D(2,4,2), E(5,0,7) Задачу решаем по выше рассмотренному плану. Через прямую AB проводим вспомогательную фронтально- проецирующую плоскость P. Строим линию пересечения MN заданной плоскости Q ( CDE) и вспомогательной плоскости P. Так как прямые AB и MN лежат в одной плоскости P, то определяем точку их пересечения (точку K), которая явля- ется точкой пересечения прямой AB с плоскостью Q. Определяем взаимную видимость прямой AB и плоскости Q. Для определения видимых участков прямой AB анализируем положение точек на скрещивающихся прямых (конкури- рующих точек). Рис. 5 Взаимное положение двух плоскостей Параллельные плоскости. Плоскости будут параллельными: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно па- раллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 6); если плоскости параллельны, то параллельны их одноименные следы (рис. 7). V P AB) ( AB K 12 ) ( AB 3 ) ( CD 1 ) ( 3 1 Y Y АВ 4 ) ( СD 5 ) ( 5 4 Z Z ) ( ) ( ) .( 3 MN AB K 29 Рис. 6 Рис. 7 Плоскости пересекаются Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо или найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; или найти одну точку, принадлежащей двум плоскостям, и на- правление линии пересечения. В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей. Плоскости в пространстве могут занимать различное положение. рассмотрим три случая построения линии их пересечения. 1. Линия пересечения двух проецирующих плоскостей Если плоскости занимают частное положе- ние, например, как на рис. 8, являются горизон- тально-проецирующими, то проекцией линии пересечения на плоскость проекций, которой данные плоскости перпендикулярны (в данном случае горизонтальной), будет точка. Фронталь- ная проекция линии пересечения перпендику- лярна оси проекций. Рис. 8 2. Линия пересечения плоскости общего положения и проецирую- щей плоскости В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с про- екцией проецирующей плоскости на той плоскости проекций, которой 30 она перпендикулярна. На рис. 9 по- казано построение проекций линии пересечения горизонтально- проецирующей плоскости, заданной следами, c плоскостью общего по- ложения (треугольник ABC). На горизонтальной проекции (рис. 9) в пересечении следа плоско- сти P Н и сторон АСи ВС треуголь- ника АВС находим горизонтальные проекции n и m линии пересечения. По линиям связи находим фрон- тальные проекции точек M и N ли- нии пересечения. При взгляде по стрелке на плоскость V по горизонтальной про- екции видно, что часть треугольника правее линии пересечения MN (mn) находится перед плоскостью P, то есть будет видимой на фронтальной плоскости проекций. Остальная часть за плоскостью P, то есть неви- дима. Линия пересечения двух плоскостей общего положения Построение линии пересечения двух плоскостей общего положе- ния осуществляется с помощью дополнительных плоскостей- посредников. Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей за- ключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посред- ник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными. В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построе- ние с помощью еще одной вспомогательной плоскости. Соединяем полу- ченные точки М и N и определяем взаимную видимость фигур. Рис. 9 ) 34 ( ) 12 ( ) ( ) 34 ( ) 12 ( M EFK Q ABC Q ) 78 ( ) 56 ( ) ( ) 78 ( ) 56 ( N EFK P ABC P Рис. 10 31 При решении подобных задач удобнее в качестве посредников применять проецирующие плоскости. Задача. Построить линию пересечения двух плоских фигур, задан- ных треугольниками с координатами вершин: На рис. 11 дано построение линии пересечения двух треугольни- ков. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости плос- кость P через сторону ED и плоскость Qчерез сторону DF треугольника DEF. Плоскость P пересекает треугольник ABC по прямой 1-2. В пересе- чении фронтальных проекций 1 -2 и d e находим фронтальную проек- цию точки M(m ) линии пересечения. Плоскость Q пересекает треуголь- ник ABC по прямой 3-4. В пересечении фронтальных проекций 3 -4 и b c находим фронтальную проекцию точки N(n ) линии пересечения. Го- ризонтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересече- ния, находим, проводя линии связи. Соединяем точки M и N. Взаимную видимость треугольников на плоскостях проекций определяем с помощью конкурирующих точек. Рис. 11 ) 3 , 4 , 1 ( ), 7 , 9 , 10 ( , ) 0 , 2 , 16 ( - C B A ABC ) 9 , 1 , 9 ( , ) 5 , 1 , 16 ( , ) 0 , 9 , 5 ( - F E D DEF ) ( ) 12 ( ) .( 3 ) 12 .( 2 ) .( 1 ED M ABC P H P ED ) ( ) 34 ( ) .( 6 ) 34 .( 5 ) .( 4 FD N ABC Q H Q FD 32 Лекция 5. Поверхности Способы задания поверхности Существуют различные способы задания поверхности. 1. Аналитический способ Поверхность в этом случае описана математическим выражением и представляется как геометрическое место точек или линий, удовлетво- ряющих уравнению F(x, y, z) = 0. Например, поверхность шара задана уравнением: x 2 +y 2 +z 2 =r 2 2. Задание поверхности каркасом. Этот способ используется при задании сложных поверхностей. По- верхность задается семейством линий, принадлежащих поверхности (каркасом). Каркасы могут быть сетчатые, линейчатые, точечные. При задании поверхности каркасом необходимо иметь ряд ее па- раллельных сечений, которые можно рассматривать как положения обра- зующей переменного вида. Такой способ применяется при изготовлении кузовов автомобилей, в самолетостроении и судостроении. Способ задания поверхности каркасом с помощью линий пересе- чения поверхности плоскостями уровня применяется в топографии, гор- ном и дорожном деле. Проекции линии уровня на плоскость проекций с соответствующими отметками представляют собой карту рельефа мест- ности. Поверхность, отнесенная к земной поверхности, называется топо- графической (рис. 1) . Рис. 1 3. Кинематический способ В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных по- ложений движущейся линии. Та- кой способ образования поверх- ности называется кинематиче- ским. Линия (кривая или прямая) движется в пространстве и созда- ет поверхность. Она называется Рис. 2 Направляющая Образующая 33 образующей. Как правило, образующая движется по второй линии. Эта линия называется направляющей (рис. 2). Классификация поверхностей Поверхности можно разделить на несколько классов в зависимости от формы образующей, а также от формы, числа и расположения направ- ляющих: 1. Поверхности закономерные и незакономерные. 2. Линейчатые (образованные перемещением прямой линии) и не- линейчатые (криволинейные) поверхности. 3. Поверхности развертывающиеся (или торсы) и неразвертываю- щиеся. Развертывающиеся поверхности – поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть односторонне совмещены с плос- костью без наличия разрывов и складок. Неразвертывающиеся поверхности – поверхности, которые не мо- гут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. 4. Поверхности с образующей постоянной формы и поверхности с образующей переменной формы. 5. Поверхности с поступательным, вращательным или винтовым движением образующей. Задание поверхности на чертеже Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют постро- ить каждую ее точку. Совокупность этих элементов называется определи- телем поверхности. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической части, включающей постоянные геометри- ческие элементы (точки, линии), ко- торые участвуют в образовании по- верхности; алгоритмической части, задающей закон движения обра- зующей, характер изменения ее формы. Когда какая-нибудь поверх- ность проецируется с помощью параллельных лучей на плоскость проекций P, то проецирующие пря- мые, касающиеся поверхности , образуют цилиндрическую поверхность (рис. 3). Эти проецирующиеся l Рис. 3 34 прямые касаются поверхности в точках, образующих некоторую ли- нию m,котораяназывается контурной линией. Проекция контурной линии m на плоскость P, m p , называется очер- ком поверхности. Чтобы сделать чертеж более наглядным строят очерк поверхности , а также ее наиболее важные линии и точки. |