Курс_лекций_Начертательная ге. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей Томск 2009 2 удк 515 Начертательная геометрия. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей. Томск Издво тпу, 2009. 65 с
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
, проекцияe f перпендикулярна оси z, проекции e и f совпадают. (EF) W; (EF) // H; (EF) // V; e f – точка; ef = e f = EF ; (ef ) (Оy н ); (e f )(Оz). Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плос- кость она проецируется в точку. Проекции прямой на две другие плоско- сти проекций перпендикулярны осям, определяющим данную плоскость проекций и равны натуральной величине отрезка прямой. Рис. 17 Рис. 15 Рис. 16 12 Лекция 2. Прямые. Преобразование чертежа прямой. Две прямые Взаимное положение точки и прямой Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскости проекций. Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответствующим проек- циям этой прямой. Если это положение нарушается, то точка данной прямой не принадлежит. Рассмотрим это положение на чер- теже (рис. 1). Точка F принадлежит прямой AB, так как горизонтальная проекция f точки при- надлежит горизонтальной проекции ab прямой, а фронтальная проекция f точки принадлежит фронтальной проекции a b прямой: ( ) F (AB) (f ab) (f a b). Точка C лежит над прямой AB, точка D лежит под прямой AB, точ- ка E лежит за прямой AB: ( ) C (AB) (c ab)(c a b); ( ) D (AB) (d ab)(d a b); ( ) E (AB) (e ab)(e a b). Следы прямой Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций назы- ваются следами прямой. На рис. 2, а точка M горизонтальный след прямой, точка N фронтальный. а б Рис. 2 Рис. 1 13 Горизонтальная проекция m горизонтального следа прямой совпа- дает с самим следом точкой M (рис. 2, a), а фронтальная проекция это- го следа m лежит на осиx. Фронтальная проекция n фронтального следа прямой совпадает с фронтальным следом точкой N, а горизонтальная проекция n лежит на той же оси проекций. Чтобы построить на плоскостном чертеже горизонтальный след прямой (точки m и m ), надо продолжить фронтальную проекцию a b прямой до пересечения с осью x (точка m ). Затем через нее провести перпендикуляр к оси x до пересечения с продолжением горизонтальной проекции ab. Точка m горизонтальная проекция горизонтального следа. Для построения проекций фронтального следа (точек n и n ) необ- ходимо продолжить горизонтальную проекцию ab прямой до пересече- ния с осью x (точка n). Затем через нее провести перпендикуляр к оси x до пересечения с продолжением фронтальной проекции a b . Точка n фронтальная проекция фронтального следа (рис. 2, б). Прямая может пересекать и профильную плоскость проекций, то есть иметь профильный след. Этот след на профильной плоскости про- екций совпадает со своей проекцией. Фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях z и y. Способ перемены плоскостей проекций Для упрощения решения ряда графических задач желательно, что- бы геометрическая фигура (прямая, плоскость) занимала частное поло- жение. Этого можно добиться разными способами, например, способом перемены плоскостей проекций. Способ перемены плоскостей проекций состоит в том, что одну из плоскостей заменяют новой, которую располагают более рационально по отношению к заданному геометрическому объекту. При этом должны быть выдержаны следующие условия: новая плоскость располагается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций; геометрическая фигура не меняет своего положения в простран- стве; на новую плоскость проекций фигура проецируется с помощью перпендикулярных лучей. Например, заменим фронтальную плоскость V на новую V 1 , кото- рую расположим перпендикулярно плоскости Н и спроецируем на нее точку А. Ось х 1 – новая ось проекций (рис. 3). При замене фронтальной плоскости проекций постоянной остается z-координата точки, так как расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н не изменилось. Следовательно, для построения новой проекции точки А точки а 1 (рис. 4) необходимо: 14 провести новую ось х 1 ; через горизонтальную проекцию а перпендикулярно оси х 1 про- вести линию связи; от точки пересечения линии связи с осью х 1 отложить z- координату точки А; отметить новую проекцию точки А – точку а 1 Рис. 3 Рис. 4 Две основные задачи преобразования прямой Прямую общего положения можно преобразовать в: прямую уровня; проецирующую прямую. 1 Преобразование прямой общего положения в прямую уровня Такое преобразование позволяет определить натуральную величи- ну отрезка прямой и углы наклона его к плоскостям проекций. При решении задачи новую плоскость, например, V 1 (рис. 5), ста- вим в положение, параллельное отрезку. В этом случае новая ось проек- ций будет проходить параллельно горизонтальной проекции прямой: H V H V 1 ; V 1 H; V 1 // AB; x 1 // ab. V V 1 H H V 1 H 15 Через горизонтальные проекции a и b, перпендикулярно новой оси x 1 , проводим линии связи и на них откладываем z координаты точек (то есть расстояние от оси x до фронтальных проекций точек). Новая проек- ция a 1 b 1 будет равна натуральной величине отрезка, а угол равен углу наклона отрезка к плоскости H. Преобразование прямой уровня в проецирующую прямую В данном случае прямую необходимо поставить в положение, пер- пендикулярное плоскости проекций, чтобы на эту плоскость прямая спроецировалась в точку (рис. 6). Рис. 5 Рис. 6 Так как данная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, то для преобразования ее в проецирующую прямую, необхо- димо заменить фронтальную плоскость V на новую V 1 . Располагаем плоскость V 1 перпендикулярноAB. Тогда на плоскость V 1 прямая спрое- цируется в точку (a 1 =b 1 ). H V H V 1 ; V 1 H; V 1 AB; x 1 ab. 2. Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую за одну замену нельзя, так как невозможно расположить новую плоскость одновре- менно перпендикулярно прямой общего положения и оставшейся старой плоско- сти проекций. Чтобы прямую общего положения AB (рис. 7) преобразовать в проецирую- щую, проводят две замены, то есть обе задачи, первую и вторую, решают по- следовательно. Сначала прямую общего Рис. 7 16 положения преобразуют в прямую, параллельную плоскости проекций (прямую уровня), а затем эту прямую преобразуют в проецирующую. 1. H V H V 1 ; V 1 H; V 1 // AB; x 1 //ab; 2. 1 1 1 H V H V ; H 1 V 1 ; H 1 AB; x 2 a 1 b 1 Взаимное положение двух прямых Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные поло- жения: пересекаться, то есть иметь одну общую точку; скрещиваться, то есть не иметь общей точки; быть параллельными, когда точка пересечения прямых удалена в бесконечность. Пересекающиеся прямые. Если прямые пересекаются, то их одно- именные проекции пересекаются между собой и точки пересечения про- екций лежат на одной линии связи (рис. 8). Скрещивающиеся прямые. Если прямые в пространстве не пере- секаются, а скрещиваются (рис. 9), то хотя на чертеже их одноименные проекции и пересекаются, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых. Точки 1, 2, 3 и 4 являются конкурирующими. Конкурирующими точками назы- ваются точки, лежащие на одной линии связи, но на разных прямых. Рис. 8 Рис. 9 Параллельные прямые. Если прямые общего положения в про- странстве параллельны, то их од- ноименные проекции параллель- ны между собой (рис. 10). Пря- мые частного положения парал- лельны при условии параллель- ности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые (рис. 11). Рис. 10 Рис. 11 Рис. 7 17 Проекции плоских углов В общем случае плоский угол проецируется на плоскость с иска- жением. Однако, если обе стороны угла парал- лельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость угол проецируется без искажения. Например, стороны угла ABC (рис. 12) парал- лельны горизонтальной плоскости Н, поэтому угол спроецировался на нее без изменений. Исключение составляет прямой угол. Он проецируется в истинную величину даже тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Теорема о проецировании прямого угла Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна. Пусть сторона DЕ прямого угла KED параллельна плоскости P, а сторона EK ей не перпендикулярна (рис. 13). Требуется доказать, что его проекция – угол ked – равна 90 Доказательство. Спроецируем стороны угла KED на плоскость Р. Для этого проведем проецирующие лучи из точек K, E, D перпендику- лярно плоскости. Через прямые EK и Ee проведем дополнительную плоскость Q. Плоскость Q перпендикулярна плоскости P, так как она проходит через прямую Ee, перпендикулярную плоскости P. (EK) (Ee) Q; (Ee) Р Q Р Прямая ED перпендикулярна плоскости Q, так как она перпенди- кулярна к двум прямым этой плоскости EK и Ee. (ED) (EK); (ED) (Ee) (ED) Q Прямая ed также перпендикулярна к плоскости Q, так как прямая ED и ее проекция ed параллельны между собой. (ED) Q; (ed) // (ED) (ed) Q Прямая ed перпендикулярна лю- бой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой ek, то есть угол ked прямой. (ed) (ek); ked = 90 . Рис. 13 Рис. 12 18 Лекция 3. Плоскость Задание плоскости на чертеже На чертеже плоскость может быть задана различными способами (рис. 1): а проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; б – проекциями прямой и точки, не лежащей на этой прямой; в – проекциями двух пересекающихся прямых; г – проекциями двух параллельных прямых; д – проекциями любой плоской фигуры; е – следами плоскости. а б в г д е Рис 1 Следы плоскости Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций (рис. 2): Рис. 2 P V фронтальный след плоскости P; P H горизонтальный след плоскости P; P W профильный след плоскости P. 19 Точки пересечения плоскости с осями проекций (P x , P y , P z ) назы- ваются точками схода следов. Если прямая лежит в плоскости, то горизонтальный след прямой лежит на горизонтальном следе плоскости, а фронтальный след прямой – на фронтальном следе плоскости (рис. 3). Следовательно, чтобы перейти от задания плоскости двумя пересе- кающимися прямыми к заданию плоскости следами, необходимо найти горизонтальные и фронтальные следы этих прямых (рис. 4). Если прямые лежат в плоскости Р, то для построения горизонтального следа Р H необ- ходимо найти горизонтальные проекции горизонтальных следов этих прямых (точки m 1 и m 2 ). Для построения следа Р V необходимо найти фронтальные проекции следов этих прямых (точки n 1 и n 2 ). Рис. 3 Рис. 4 Точка и прямая в плоскости Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, ле- жащей в этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если: она проходит через две точки, принадлежащие плоскости; она проходит через одну точку этой плоскости параллельно пря- мой, лежащей в этой плоскости. ( )А Q (AB CD)(CD Q) (AB) Q Пример. Плоскость Q задана треугольником АВС (рис. 5). Необходимо построить горизонтальную проекцию точки K(k) и фронтальную проекцию точки N(n ), если они принадлежат плоскости Q. Q K Q AB K ) ( ) ( Q AB Q B Q A ) ( ) ( 20 Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости. Проведем через точку К прямую А1. по- строим фронтальную проекцию этой прямой (а 1 ). Проведя через точку k линию связи, найдем горизонтальную проекцию точки К – точку k (рис. 6). Фронтальная проекция точки N(точка n ) найдена с помощью пря- мой В2 (рис. 6). Рис. 5 Рис. 6 Положение плоскости в пространстве Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям про- екций, называются плоскостями частного положения. Они делятся на две группы. Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проецирующей плоскостью. Плоскость, параллельную плоскости проекций, называют плоско- стью уровня. Проецирующие плоскости Горизонтально-проецирующие (рис. 7). Фронтально-проецирующие (рис. 8). Профильно-проецирующие. Если плоскость перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в линию. Эту проекцию можно рассматри- вать и как след плоскости. На эту же плоскость проекций в натуральную величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций. Проецирующие плоскости обладают собирательным свойством: если точка, линия или фигура расположены в плоскости, перпендику- лярной плоскости проекций, то на этой плоскости их проекции совпада- ют со следом проецирующей плоскости. 21 Горизонтально-проецирующая Фронтально-проецирующая плоскость плоскость Плоскости уровня Горизонтальная (рис. 9) Фронтальная (рис. 10) Если фигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину. Проекции фигуры на две другие плоскости проекций параллельны осям, определяющим данную плоскость проекций. Главные линии плоскости Прямых, принадлежащих плоскости, очень много. Среди них есть прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. Эти линии называются главными линиями плоскости. К ним относятся: Линии наименьшего наклона к плоскостям проекций (линии уровня) – горизонталь, фронталь и профильная прямая. Линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Рис. 8 Рис. 7 Рис. 9 Рис. 10 22 Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная гори- зонтальной плоскости проекций (рис. 11). Фронтальная проекция гори- зонтали параллельна оси x, профильная осиy. Фронталь прямая, лежащая в плоскости и параллельная фрон- тальной плоскости проекций (рис. 12). Горизонтальная проекция фрон- тали параллельна оси x, профильная оси z. Профильная прямая прямая, лежащая в плоскости и параллель- ная профильной плоскости проекций. Горизонтальная проекция про- фильной прямой параллельна оси y, фронтальная осиz (рис. 13). Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций чаще всего интерес представляет линия наибольшего наклона к горизонталь- ной плоскости. Эту линию называют линией ската. Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13 Линия ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендику- лярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали. Проведем плоскость Р перпендикулярно плоскости Q и Н. Плос- кость Р пересекает плоскость Q по линии ската MN (рис. 14). Рис. 14 Рис. 15 23 Построив эту линию наибольшего наклона, можно определить ве- личину двугранного угла между заданной плоскостью и плоскостью про- екций. Этот угол будет равен линейному углу, который составляет линия наибольшего наклона со своей проекцией на эту плоскость (рис. 15). Преобразование чертежа плоскости |