Курс_лекций_Начертательная ге. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей Томск 2009 2 удк 515 Начертательная геометрия. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей. Томск Издво тпу, 2009. 65 с
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
Линейчатые поверхности Гранные поверхности Гранной поверхностью называется поверхность, образованная пе- ремещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Гранные поверхности можно разделить на два вида: пирамидальные (рис. 4, а) и призматические (рис. 4, б). Пирамидальная поверхность Призматическая поверхность а б Рис. 4 Пирамидальной называется поверхность, образованная перемеще- нием прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят через некоторую неподвижную точку S. Опре- делитель поверхности – ломаная направляющая m и точка S. Призматической называется поверхность, образованная переме- щением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят параллельно некоторому заданному на- правлению l. Определитель поверхности – ломаная направляющая m и направление l. Точка на поверхности Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой- нибудь линии, принадлежащей поверхности. Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки, принадлежащие поверхности. Следовательно, если точка принадлежит поверхности, то ее проек- ции принадлежат одноименным проекциям линии этой поверхности. 35 Точки M и N принадлежат соответственно пирамидальной и приз- матической поверхностям, так как принадлежат прямым, расположен- ным на этих поверхностях. Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом Многогранники Многогранником называется тело, ограниченное плоскими много- угольниками. Рассмотрим два многогранника – пирамиду и призму. Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань основание (произвольный многоугольник). Остальные грани (бо- ковые) треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пи- рамиды. Для задания на чертеже пирамиды достаточно задать ее основание и вершину. Чтобы построить проекции точки на поверхности пирамиды, нужно через эту точку провести вспомогательную прямую, принадлежа- щую поверхности пирамиды (рис. 5). – пирамида SABC. ( ) М (m ) m – ? ( ) М S1 ( ) М 2–3 ( ) М B4 Рис. 5 Призмойназывается многогранник, у которого основания – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами. Боковые грани призмы параллелограммы. Если ребра боковых граней перпен- дикулярны основанию, то призму называют прямой (рис. 6), если нет – наклонной (рис. 7). Для задания призмы достаточно задать одно ее осно- вание и боковое ребро. Чтобы построить недостающую проекцию точки, лежащей на грани призмы, нужно через эту точку провести прямую. 36 – призма ABC. ( ) М (m ) – призма ABC. ( ) М (m ) m – ? m – ? Пересечение многогранников плоскостями В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ре- бер гранных поверхностей с секущей плоскостью. Многоугольник сечения может быть построен двумя способами: 1. Вершины многоугольника находятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью; 2. Стороны многоугольника находятся как линии пересечения плоскостей (граней) многогранника с секущей плоскостью. В качестве примера построим сечение призмы (рис. 8) и пирамиды (рис. 9) фронтально-проецирующими плоскостями. Секущая плоскость является фронтально - проецирующей, следо- вательно, все линии, лежащие в этой плоскости (в том числе и фигура сечения на фронтальной проекции), совпадут с фронтальным следом Q V плоскости Q. Таким образом, фронтальные проекции фигур сечения 1 2 3 определятся при пересечении фронтальных проекций ребер приз- мы и пирамиды со следом Q V . Горизонтальные проекции точек 1, 2 и 3 находим при помощи линий связи на горизонтальных проекциях соот- ветствующих ребер. Грани прямой призмы на плоскость, которой они перпендикуляр- ны, проецируются в линии, ребра – в точки. Поэтому все точки и линии, находящиеся на гранях и ребрах призмы проецируется соответственно на эти линии и точки. Проекция фигуры сечения призмы совпадает с гори- зонтальной проекцией самой призмы (рис. 8). Рис. 6 Рис. 7 ( ) М грани ВС ( ) М 1–2 37 – призма ABC. Q V – пирамида SABC. Q V Q = Δ 123 Q = Δ 123 Рис. 8 Рис. 9 Криволинейные поверхности Коническая поверхностьобразуется движением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей. При этом образующая проходит через некоторую неподвижную точку S, которая называется вершиной (рис. 10). Коническая поверхность определена на чертеже, если заданы на- правляющая и вершина. Тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, называется конусом. Конус будет круговым, если в его ос- новании лежит круг. Точка N принадлежит конической поверхности, так как она при- надлежит образующей f этой поверхности; nочка K принадлежит кониче- ской поверхности, так как она принадлежит образующей S1 (k s1, k s 1 ) данной поверхности (рис. 10). ( m, s) Рис. 10 38 Цилиндрическая поверхность образуется движением прямолиней- ной образующей параллельно заданной прямой линии l по криволиней- ной направляющей (рис. 11). Цилиндрическая поверхность определена, если задана направляю- щая и образующая. Для построения чертежа цилиндрической поверхно- сти удобно выбирать в качестве направляющей линию пересечения ци- линдрической поверхности с плоскостью проекций или другой плоско- стью, ей параллельной. Цилиндрическая поверхность также может быть незамкнутой или замкнутой. Тело, ограниченное цилиндрической замкнутой поверхно- стью и двумя параллельными плоскостями, называется цилиндром. Ци- линдрические поверхности различают по виду нормального сечения, на- пример, круговой цилиндр, эллиптический цилиндр и т.д. Точка N принадлежит цилиндрической поверхности, так как она принадлежит образующей f этой поверх- ности; точка K принадлежит цилиндриче- ской поверхности, так как она принадле- жит образующей, проходящей через точ- ку 1 параллельно направлению S данной поверхности (рис. 11). Торс (поверхность с ребром возвра- та) образуется движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой, называемой ребром возврата (от франц. tors витой, крученный). Ребро возврата m является направляющей торса. Торс состоит из двух полостей, разделенных ребром возврата (рис. 12). Если ребро возврата вырождается в точку, поверхность торса пре- вращается в коническую. В случае, когда ребро возврата вырождается в бесконечно удаленную точку, торсовая поверхность превращается в ци- линдрическую. ( m, l) Рис. 11 Рис. 12 39 Лекция 6. Поверхности вращения Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением образующей вокруг неподвижной оси (рис. 1). Эта поверх- ность определяется на чертеже заданием образующей и оси вращения. Каждая точка образующей l описывает при своем вращении ок- ружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси вращения, с центром на оси. Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей называется экватором, наименьшая горлом. Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называ- ют меридианальной. Линию ее пересечения с поверхностью – меридиа- ном. Меридиан, параллельный фронтальной плоскости проекций, назы- вается главным меридианом. Все меридианы равны между собой. На чертеже ось вращения II располагают перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, например горизонтальной. Тогда все параллели проецируются на эту плоскость в истинную величину. Экватор и горло определят горизонтальный очерк поверхности. Фронтальным очерком такой поверхности будет главный меридиан, то есть меридиан, располо- женный во фронтальной плоскости. Точки на поверхностях вращения могут быть построены с помо- щью параллелей, то есть окружностей на поверхности. Цилиндр вращения Цилиндром вращения называется поверхность, образованная вра- щением прямой вокруг параллельной ей оси. Если ось цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальные проекции точек, лежащих на его поверхно- Рис. 1 40 Рис. 2 сти, будут расположены на окружности, в которую спроецируется ци- линдр на горизонтальную плоскость Н (рис. 2). Задача. Найти недостающие проекции точек M и K (рис. 2). Для того, чтобы найти горизонтальную проек- цию точки М, проведем линию связи от фронталь- ной проекции М(m ) до пересечения с горизонталь- ной проекцией цилиндра (окружностью). Задача имеет два ответа: точки m 1 и m 2 Однозначно определить положение фронталь- ной проекции точки К по одной только горизон- тальной проекции k невозможно. По линии связи, проведенной от горизонтальной проекции этой точ- ки, на поверхности цилиндра может находиться бесчисленное множество точек. В этом случае необходима дополнитель- ная информация о положении точки К. При пересечении цилиндра вращения плоскостью, параллельной оси вращения, в сечении получаются две прямые – образующие (рис. 3). Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, в резуль- тате сечения получится окружность (рис. 4). В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси враще- ния цилиндра, в сечении получается эллипс (рис. 5). Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 (l, II) M (m ) K(k) m (m 1 , m 2 ) – ? k (k 1 , k 2 ) – ? 41 Сечение цилиндра плоскостью В общем случае построение линии пересечения поверхности плоскостью заключается в нахож- дении общих точек, то есть точек, принадлежащих одновременно се- кущей плоскости и поверхности. Для нахождения этих точек применяют способ дополнитель- ных секущих плоскостей: 1. Проводят дополнительную плоскость. 2. Строят линии пересечения дополнительной плоскости с поверх- ностью и дополнительной плоскости с заданной плоскостью. 3. Определяют точки пересечения полученных линий. Дополнительные плоскости проводят таким образом, чтобы они пересекали поверхность по наиболее простым линиям. Нахождение точек линии пересечения начинают с определения ха- рактерных (опорных) точек. К ним относятся верхние и нижние, левая и правая и точки границы видимости; точки, характеризующие данную линию пересечения (для эл- липса точки большой и малой осей). Для более точного построения линии пересечения необходимо по- строить еще и дополнительные (промежуточные) точки. Прямой круговой конус Сечение конуса плоскостью В зависимости от направления секущей плоскости в сечении кону- са вращения могут получиться различные линии. Рис. 6 Рис. 7 42 Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается две прямые образующие (треугольник) (рис. 8, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 8, б). Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола (рис. 8, в, г, д) – в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости. Эллипс получается в том случае, когда угол наклона секущей плоскости меньше угла наклона образующих конуса к его основанию (0 ),т.е. когда плоскость пересекает все образующие данного кону- са (рис. 8, в). Если углы и равны(то есть секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса), в сечении получается парабола (рис. 8, г). Если секущая плоскость направлена под углом, который изменя- ется в пределах 90 , то в сечении получается гипербола. В этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса. Ги- пербола имеет две ветви, так как коническая поверхность двухполостная (рис. 8, д). а б в г д Рис. 8 43 SN A ) ( SM A ) ( Точка на конусе Для конуса наиболее простыми линиями являются прямые (образующие) и окружности. Горизонтальную проекцию точки A найдем с помощью образующей. Проведем через точку A и вершину конуса S вспомогательную фронталь- но-проецирующую плоскость P(P V ). Она пересе- кает конус по двум образующим SM и SN.Ихфрон- тальные проекции совпадают. Строим горизон- тальные проекции образующих. Затем проводим через точку a линию связи. На пересечении ли- нии связи и горизонтальных проекций образую- щих определим горизонтальную проекцию точки. Задача имеет два ответа: точки a 1 и a 2 (рис. 9). или Горизонтальную проекцию точки B найдем, построив окружность, на которой она лежит. Для этого через точку проведем горизонтальную плоскость T(T V ), котораяпересекает конус по ок- ружности радиуса r. Строим горизонтальную проекцию этой окружности. Через точку b проведем линию связи до ее пересечения с окружностью. Задача также имеет два ответа точки b 1 и b 2 Рассмотрим пример построения проекций линии пересечения ко- нуса фронтально - проецирующей плоскостью P(P V ). В этом случае в се- чении получается эллипс (рис. 10). Сначала определим характерные (опорные) точки. Фронтальная проек- ция линии сечения совпа- дает с фронтальным следом плоскости P V Нижняя точ- ка 1 лежит на образующей AS, верхняя 2 на обра- зующей S.Эти точки оп- ределяют положение боль- шой оси эллипса. Малая ось эллипса перпендику- r Окр B Рис. 10 эллипс конус P P V ) ( Рис. 9 44 лярна большой оси. Чтобы найти малую ось, разделим отрезок 1-2 на две равные части. Точки 3 и 4 определяют малую ось эллипса. Точки 5 и 6, расположенные на образующих CS и DS, являются точками границы ви- димости для профильной плоскости проекций. Проекции точек 1, 2, 5 и 6 находятся на соответствующих проекциях образующих. Чтобы найти про- екции точек 3 и 4, проводим дополнительную секущую плоскость T(T V ). Она рассекает конус по окружности радиуса r. На этой окружности на- ходятся проекции данных точек. Для точного построения необходимо определить дополнительные (случайные точки). Проекции этих точек находим аналогично точкам 3 и 4 или проводя через эти точки образую- щие. Соединяем полученные проекции точек. Определяем видимость. На горизонтальной плоскости все точки, лежащие на поверхности конуса, видимы. На профильной точки 5, 3, 1, 4, 6 видимы, остальные нет. Шаровая поверхность Шаровой поверхностью (или сфе- рой) называется поверхность, образован- ная при вращении окружности вокруг своего диаметра. Если шаровая поверхность пересе- кается плоскостью, то в сечении всегда получается окружность, которая может спроецироваться: - в прямую, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций; - в окружность, если секущая плос- кость параллельна плоскости проекций. Например, окружность с радиусом r, равным расстоянию от оси вращения ша- ра до очерка (рис. 11); - в эллипс, если секущая плоскость не параллельна плоскости про- екций. Чтобы построить проекции точки, лежащей на поверхности шара, необходимо через нее провести секущую плоскость, параллельную плос- кости проекций, затем построить окружность, на которой находится эта точка. Сечение шаровой поверхности плоскостью Пересечем поверхность шара фронтально-проецирующей плоскостью Q(Q V )(рис. 12). Построение начинаем с определения характерных точек. Точки 1 и 2 находятся на главном меридиане. Эти точки концы малой оси эллипса, а также это самая высокая и самая низкая точки. Их Рис. 11 r Окр A меридиану гл . 2 , 1 ) ( 45 горизонтальные и профильные проекции строим по фронтальным проекциям. Точки 3и 4 находятся на профильном меридиане и оп- ределяют видимость на про- фильной плоскости проекций. Горизонтальные проекции точек находим по профильным проекциям. Точки 5 и 6 принадлежат экватору и являются точками границы видимости на горизонтальной проекции. Профильные проекции точек находим по горизонтальным проекциям. Чтобы найти положение большой оси эллипса (точки 7 и 8) разде- лим отрезок 1 2 пополам. Фронтальные проекции точек (точки 7 и 8 ) совпадают с серединой этого отрезка. В этой же точке находится фрон- тальная проекция центра окружности сечения. На горизонтальную плос- кость диаметр окружности проецируется без искажения. Поэтому точки 7 и 8 будут находиться на расстоянии R от центра окружности сечения (рис. 12). Для большей точности строим несколько дополнительных точек. Полученные точки соединяем плавной кривой линией с учетом ее видимости. Тор Тор поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр. Если ось вращения проходит вне окружности, то поверхность на- зывается «открытый тор» или «тор кольцо» (рис. 13); если ось касает тор» (рис. 15 – 16). Тор, изображенный на рис. 15, называется также «тор-яблоко», а на рис. 16 – «тор-лимон». Сфера – частный случай торо- вой поверхности. очерку у профильном 4 , 3 ) ( экватору 6 , 5 ) ( Рис. 12 46 Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16 Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка: а) эллипсоид вращения поверхность, полученная вращением эллипса вокруг оси (рис. 17). Поверхность, образованная вращением эл- липса вокруг его большой оси, называется вытянутым эллипсоидом вра- щения (рис. 17, б), при вращении вокруг малой оси сжатым эллипсои- дом вращения (рис. 17, а, в); б) параболоид вращения поверхность, образованная вращением параболы вокруг ее оси (рис. 18); в) двухполостный гиперболоид вращения поверхность, обра- зованная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис. 19). б в Рис. 17 Рис. 18 Рис. 19 r окр А ) ( а |