Курс_лекций_Начертательная ге. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей Томск 2009 2 удк 515 Начертательная геометрия. Курс лекций для студентов тпу всех специальностей. Томск Издво тпу, 2009. 65 с
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
Винтовая линия Винтовая линия (гелиса) – это про- странственная кривая, образованная движе- нием точки, совершающей одновременно поступательное и вращательное движение. Рассмотрим цилиндрическую винто- вую линию (рис. 1) и построим две ее про- екции. Для этого используем две проекции цилиндра, каждую из которых делим на двенадцать равных частей. При перемеще- нии точки из первого положения во второе ее горизонтальная проекция перемещается по окружности на одну двенадцатую часть, а фронтальная – вверх на одну двенадца- тую. Совершая полный оборот, точка в пространстве опишет винтовую линию. Вы- сота, на которую поднимается точка по прямой за полный оборот, называется ша- гом винтовой линии. Если ось винтовой ли- нии перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то горизон- тальная проекция винтовой линии есть окружность, а фронтальная – си- нусоида. На одной поверхности цилиндра может быть несколько винтовых линий. Винтовые поверхности Винтовой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении какой-либо линии (образующей) по винтовой линии (направляющей). Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или гели- коидом (от франц. helic спираль, винтовая линия). Геликоид называет- ся прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна об- разующая оси геликоида или наклонна. Рассмотрим некоторые виды линейчатых винтовых поверхностей. 1. Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образую- щей lпо двум направляющим. Одна из направляющих является цилинд- рической винтовой линией m, а другая ее осью II. Причем во всех сво- их положениях образующая l параллельна плоскости, которая называется Рис. 1 48 плоскостью параллелизма, перпендикулярной оси II (рис. 2). У прямого геликоида образующая lпересекает ось II под прямым углом. 2. Наклонный геликоид отличается от прямого геликоида тем, что его образующая l пересекает ось геликоида под постоянным углом , не равным прямому углу. Во всех своих положениях образующая l парал- лельна образующим некоторого конуса вращения. У этого конуса угол между образующей и осью, параллельной оси геликоида, равен . Он на- зывается направляющим конусом наклонного геликоида (рис. 3). Его направляющими являются цилиндрическая винтовая линия m и ее ось II. Образующие геликоида параллельны соответствующим обра- зующим направляющего конуса. Если образующие геликоида пересекают его ось, то геликоид на- зывается закрытым, если нет – открытым. 3. Открытый геликоид образуется при винтовом движении прямо- линейной образующей l, касающейся во всех свих положениях поверх- ности малого цилиндра и параллельно плоскости параллелизма, прове- денной перпендикулярно оси геликоида (рис. 4). Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 49 Пересечение поверхностей Линия пересечения двух поверхностей это геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям. Общим способом построения точек, принадлежащих кривой вза- имного пересечения поверхностей, является способ вспомогательных поверхностей (плоскостей) посредников. Принцип решения задачи Пусть даны некоторые взаимно пересекающиеся поверхности и (рис. 5). Введем плоскость – посредник Q которая пересечет поверх- ности по линиям Mи N. Взаимное пересечение этих линий даст точки 1 и 2, принадлежащие линии пересечения. Проводя ряд посредников, по- лучаем семейство точек линии пересечения. Точки К 1 и К 2 находятся в точках пересечения очерков по- верхностей и являются самой высокой и самой низкой точками линии пересечения. Способы построения ли- ний пересечения поверхностей: В качестве посредников наиболее часто применяют плос- кости частного положения и шаровые поверхности – сферы. В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей: а) способ вспомогательных секущих плоскостей; б) способ вспомогательных сфер. При построении линии взаимного пересечения поверхностей необ- ходимо сначала определить опорные точки кривой. Эти точки дают пре- делы линии пересечения. Между ними и следует определять промежу- точные (случайные) точки. Способ вспомогательных секущих плоскостей Для построения линии пересечения заданных поверхностей конуса и шара (рис. 6) в качестве вспомогательных плоскостей необходимо ис- пользовать фронтальную плоскость P и ряд горизонтальных плоскостей (S, T, R). Построение начинаем с определения проекций характерных точек (рис. 7). Проводим фронтальную плоскость P(P H ).Эта плоскость пересе- кает поверхности по очеркам. Фронтальные проекции высшей и низшей точек (1 и 2 ) находим как точки пересечения очерков. Рис. 5 50 P (P H ) // V; P = треугольник; P = окружность; ( ) 1 , 2 = треугольник окружность – самая высокая и самая низкая точки линии пересечения. Горизонтальные проекции 1 и 2 определяем, проведя линии связи до пересечения с Р H Вспомогательные горизонтальные плоскости пересекают сферу и конус по окружностям. Точки 3 и 4, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью го- ризонтальной плоскости T(T V ). Она проходит через центр сферы. Плос- кость пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса r. В пересечении горизонтальных проекций этих линий и находим горизон- тальные проекции 3 и 4. Т (Т V ) // H; T = окр. max радиуса (экватор); T = окр. радиуса r; ( ) 3, 4 = экв. сферы окр. радиуса r Фронтальные проекции точек 3 и 4 находим, проведя линии связи до пересечения с Т V Рис. 6 Рис. 7 51 Горизонтальные проекции точек 3 и 4 являются точками границы видимости линии пересечения на этой проекции. Промежуточные точки (точки 5, 6, 7, 8) находим с помощью вспо- могательных горизонтальных плоскостей S(S V ) и R(R V ). S(S V ) // H; S = окр. рад. R 1 ; S = окр. рад. r 1 ; ( ) 5, 6 = окр. рад R 2 окр. рад. r 2 ( ) 5 , 6 находим, проведя линии связи до пересечения с S V R(R V ) // H; R = окр. рад. R 2 ; R = окр. рад. r 2 ; ( ) 7, 8 = окр. рад R 2 окр. рад. r 2 ( ) 7 , 8 находим, проведя линии связи до пересечения с R V Полученные точки соединим плавной кривой линией с учетом ви- димости. Пересечение соосных поверхностей Соосными поверхностями вращения – называются поверхности, у которых совпадают оси вращения. Линии пересечения соосных поверхностей окружности, плоско- сти которых перпендикулярны оси поверхностей вращения. При этом ес- ли ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то ли- нии пересечения на эту плоскость проецируются в отрезки прямых ли- ний (рис. 8). Это свойство используют для построения линии взаимного пересе- чения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. Способ концентрических сфер Способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях: а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями враще- ния; б) оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер; в) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость сим- метрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций. Рис. 8 Окружности Окружности Окружност и 52 Используя этот способ, можно построить линию пересечения по- верхностей на одной проекции. Рассмотрим пример построения линии пересечения двух цилинд- ров (рис. 9). Рис. 9 53 Построим фронтальную проекцию линии пересечения. Проводим фронтальную плоскость Q(Q H ), которая является плос- костью симметрии поверхностей.Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Точки 1 , 2 , 3 , 4 определяем как точки пересечения контур- ных образующих поверхностей, принадлежащих плоскости Q. Q (Q H ) = прямоугольник; Q (Q H ) = прямоугольник; ( )1 , 2 , 3 , 4 = прямоугольник прямоугольник . ( )1 – самая высокая; ( )2 – самая низкая. Остальные точки находим способом вспомогательных концентри- ческих сфер. За центр сфер выбираем точку пересечения осей (точку о ) и про- водим сферу произвольного радиуса. Эта сфера будет одновременно со- осна вертикальному и наклонному цилиндрам и пересечет их по окруж- ностям. Плоскости окружностей перпендикулярны осям вращения ци- линдров. Фронтальные проекции окружностей – отрезки прямых a b и c d на вертикальном цилиндре, e f и g h на наклонном цилиндре. Точки их пересечения (точки 5 , 6 , 7 , 8 ) принадлежат обоим цилиндрам, сле- довательно, являются точками линии пересечения. Сфера R пр = a b ; Сфера R пр = c d ; Сфера R пр = e f ; Сфера R пр = g h ; ( )5 , 6 = a b e f ; ( )7 , 8 = c d g h . Проведя несколько сфер разного радиуса можно построить доста- точное количество точек линии пересечения поверхностей. Размеры вспомогательных сфер выбираются в определенных пределах. Мини- мальная сфера должна касаться большей поверхности и пересекать меньшую. То есть минимальная сфера вписывается в большую поверх- ность. С помощью такой сферы найдены точки 9 , 10 , 11 , 12 . Это самые глубокие точки линии пересечения. Сфера R min = k l ; Сфера R min = s t ; Сфера R min = m n ; ( )9 , 10 = m n k l ; ( )11 , 12 = m n s t . Радиус максимальной сферы будет равен расстоянию от центра о до само удаленной точки пересечения контурных образующих (точки 1 и 4 ). Радиус промежуточных сфер находится в пределах R max R пром R min Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизон- тальной проекцией вертикального цилиндра (рис. 9). 54 Возможные случаи пересечения криволинейных поверхностей Существуют четыре варианта пересечения поверхностей. Проницание Все образующие первой поверхно- сти пересекаются со второй по- верхностью, но не все образующие второй поверхности пересекаются с первой. В этом случае линия пе- ресечения поверхностей распада- ется на две замкнутые кривые ли- нии (рис. 10). Врезание Не все образующие той и другой поверхности пересекаются между собой. В этом случае линия пере- сечения одна замкнутая кривая линия (рис. 11). Касание Все образующие одной поверхно- сти пересекаются со второй, но не все образующие второй поверхно- сти пересекаются с первой. По- верхности имеют в одной точке (точка на рис. 12) общую плос- кость касания. Линия пересечения распадается на две замкнутые кри- вые линии, пересекающиеся в точ- ке касания. Двойное касание Все образующие обеих поверхно- стей пересекаются между собой. В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кри- вые, которые пересекаются в точ- ках касания (рис. 13). Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13 55 Теорема Монжа Если две поверхности второго порядка описаны около третьей по- верхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Если оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны какой – либо плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в прямые. На рис. 14-15 два цилиндра описаны вокруг сферы, а на рис. 16 два сжатых эллипсоида вращения вписаны в сферу. Во всех этих случаях по- верхности пересекаются по эллипсам. Теорема о двойном касании Если две поверхности второго порядка имеют две общие точки (точки касания), то линия их взаимного пере- сечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Причем плос- кости этих кривых пройдут через пря- мую, соединяющую точки касания. На рис. 17 два цилиндра (ци- линдр вращения и эллиптический ци- линдр) пересекаются по двум плоским кривым (окружности и эллипсу). Рис. 14 Рис. 15 Рис. 17 Рис. 16 56 Лекция 8. Аксонометрия Аксонометрические проекции Комплексный чертеж является графически простым и удобно из- меряемым. Но по нему не всегда легко представить предмет в простран- стве. Необходим чертеж, дающий и наглядное представление. Он может быть получен при проецировании предмета вместе с осями координат на одну плоскость. В этом случае на одной проекции можно получить на- глядное и метрически определенное изображение. Такие виды изображе- ний называют аксонометрическими проекциями. Слово «аксонометрия» (от гр. axon ось и metreo измеряю) пере- водится как «измерение по осям». Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что фи- гура вместе с осями прямоугольных координат (к которым она отнесена в пространстве) проецируется на некоторую плоскость. Эту плоскость называют плоскостью аксонометрических проекций, или картинной плоскостью. При проецировании фигуры проецирующие лучи могут выходить из одной точки – центральная аксонометрия или быть параллельными друг другу – параллельная аксоносметрия. В дальнейшем мы будем рас- сматривать только параллельную аксонометрию. Построим аксонометрическую проекцию точки A, отнесенной к трем взаимно перпендикулярным плоскостям проекций (рис. 1). Рис. 1 Введем некоторые наименования: Q плоскость аксонометрических проекций (картинная плос- кость); l направление проецирования l α 57 – угол наклона направления проецирования l к плоскости аксо- нометрических проекций Q (картинной плоскости). Из точек o, a x , a y , a z проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью Q и найдем аксонометрические проекции этих точек o 1 , a x1 , a y1 , a z1. x y z 1 аксонометрические оси координат (аксонометрические оси) A аксонометрическая проекция точки A a 1 , a 1 a 1 "вторичные проекции точкиA В зависимости от положения плоскостей проекций H, V, W, плос- кости аксонометрических проекций Q и направления проецирования l координаты точки будут проецироваться с различными искажениями. Чтобы учесть эти факторы на осях координат отложим масштабные от- резки и построим их аксонометрические проекции. e x , e y , e z масштабные отрезки; e x1 , e y1 , e z1 аксонометрические (вторичные) проекции масштабных отрезков. При построении аксонометрии фигуры учитывают не длины мас- штабных отрезков, а отношение длины аксонометрической проекции масштабного отрезка к его действительной величине. Эти отношения на- зываются коэффициентом искажения по оси. Обозначим эти коэффициенты: по оси x x x e e m 1 , по оси y y y e e n 1 , по оси z z z e e k 1 В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости аксонометрических проекций Qаксонометрические проекции делятся на: прямоугольные, если угол проецирования = 90º; косоугольные, если Доказано, что сумма квадратов коэффициентов искажения удовле- творяет уравнениям: для косоугольной аксонометрии – m 2 +n 2 +k 2 =2+ctg 2 ; для прямоугольной аксонометрии – m 2 +n 2 +k 2 =2. Основная теорема аксонометрии Занимаясь теорией аксонометрии, немецкий геометр К. Польке в 1853 году предложил и доказал для частного случая теорему, названную основной теоремой аксонометрии: «Любые три отрезка, выходящие из одной точки на плоскости, могут быть приняты за параллельные проек- ции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве». 58 Доказательство этой теоремы в общем виде было дано в 1864 г. другим немецким геометром Г. Шварцем. С этого времени основная теорема ак- сонометрии стала называться теоремой Польке – Шварца. Из рассмотренного выше можно вывести определение аксономет- рии: Аксонометрией называется изображение предмета на плоскости, отнесенное к определенной системе координат и выполненное в опреде- ленном масштабе с учетом коэффициентов искажения. В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения по осям различают следующие аксонометрические проекции: 1. Изометрические, если m = n = k. 2. Диметрические, если m =k n или m = n k. 3. Триметрические, если m n k. Наименование проекций произошло от древнегреческих слов: «isos» одинаковый (изометрическая проекция – проекция с оди- наковыми коэффициентами искажения по всем трем осям) «di» двойной (диметрическая проекция проекция с одинаковы- ми коэффициентами искажения по двум осям) «treis» три (триметрическая проекция проекция с разными ко- эффициентами искажения по всем трем осям). |