Курс лекций по линейной алгебре Составил Педагог дополнительного образования цдт Прикубанский
 Скачать 434.59 Kb.
|
|
Базовый курс лекций по линейной алгебре Составил: Педагог дополнительного образования ЦДТ «Прикубанский» Косярский А. А. ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ §1. Системы линейных уравнений и связанные с ними понятия … 5 §2. Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований ………………………. 7 §3. Исследование систем линейных уравнений ступенчатого вида .. 10 §4. Системы линейных однородных уравнений ……………………… 11 §5. Фундаментальная система решений СЛОУ. Алгоритм её нахождения ……………………………………………………………… 14 §6. Основная система решений СЛУ. Алгоритм её нахождения …. 15 §7. Связь между множествами решений СЛУ и ассоциированной с ней СЛОУ ………………………………………………………………… 16 Глава II. МАТРИЦЫ §8. Матрицы и некоторые связанные с ними понятия ……………. 18 §9. Перестановки символов и подстановки ой степени ….. 20 §10. Чётность перестановок символов и подстановок ой степени …………………………………………………………………… 22 §11. Определитель го порядка. Правило Сарриуса …………… 23 §12. Свойства определителя ………………………………………….. 24 §13. Алгоритм вычисления определителя при помощи элементарных преобразований над его строками (столбцами) ……………………. 25 §13. Разложение определителя по его ряду (продолжение) ………. 27 §14. Формула обратной матрицы. Два способа вычисления обратной матрицы ………………………………………………………………… 27 §15. Правило Крамера решения СЛУ ………………………………. 29 §16. Ранг матрицы …………………………………………………….. 29 §17. Базисный минор матрицы. Метод окаймления миноров …. 31 §18. Обобщённое правило Крамера решения СЛУ ………………. 32 Глава III. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ §19. Определение кольца. Примеры ……………………………….. 34 §20. Виды колец. Примеры…………………………………………. 35 §21. Определение поля. Примеры полей и колец, которые не являются полями……………………………………………………. 36 §22. Определение векторного пространства над произвольным полем. …………………………………………………………………………38 §23. Группоиды и их виды ………………………………………... 39 §24. Кольца класса вычетов. Делимость. §25. Определение векторных пространств и алгебр над произвольными полями. §26. Поле комплексных чисел. Действия над числами в алгебраической форме. §27. Связь между комплексными и действительными числами. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. §28. Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ §29. Действия над многочленами, степень суммы и произведения многочленов. Область целостности многочленов …………………. 49 §30. Теорема Безу, эквивалентные формулировки. Кратность корня многочлена ………………………………………………………………. 50 §31. Схема Горнера и её применение с иллюстрацией на примерах 51 §32. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида ……….. 53 §33. Делимость многочленов, некоторые свойства. НОД и НОК. Связанные с ними понятия ……………………………………………. 54 §34. Отделение кратных корней многочлена ………………………... 56 Глава V. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА §35. Определение евклидова и унитарного пространств. Простейшие свойства и примеры …………………………………………………….. 58 §36. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство Шварца. Угол между векторами ………………………………………………………… 61 §37. Алгоритм ортогонализации (орто-нормализации) Грамма-Шмидта системы векторов унитарного (евклидова) пространств…62 ГЛАВА I СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ §1. Системы линейных уравнений и связанные с ними понятия. В школьном курсе алгебры мы уже использовали понятие «линейное уравнение», однако в большинстве случаев мы имели дело с уравнениями, зависящими от одной переменной. Напомним некоторые важные определения: Определение 1. Линейным уравнением одной переменной называется алгебраическое уравнение вида: . Как известно, любое линейное уравнение имеет либо одно решение, либо бесконечное множество решений, либо не имеет их вовсе. Предположим, что , тогда получим уравнение , которое верно для Если же тогда в таком случае уравнение сводится к виду , а в виду того, что фиксированы, то в таком случае решение единственно. Если тогда в таком случае получим уравнение вида , а так как коэффициент не равен 0, то уравнение не имеет решений. Определение 2. Системой n-линейных уравнений одной переменной называется система вида . Заметим, что в курсе высшей математики мы будем рассматривать линейные уравнения от n- переменных вида . Определение 3. В соответствии с введёнными выше определениями введём понятие системы линейных уравнений от n-переменных в каноническом виде называется система вида: где коэффициенты линейных уравнений при неизвестных. свободные коэффициенты линейных уравнений. искомые неизвестные переменные. Вообще говоря, система m-линейных уравнений от n-переменных может быть представлена в так называемой матричной форме. Определение 4. Матрицей линейной системы называется прямоугольная таблица размеров m на n, состоящая из коэффициентов, стоящих при неизвестных. Такая таблица представима в виде: матрица системы линейных уравнений от n-переменных. Если таблица содержит также и столбец свободных коэффициентов, то такая матрица называется расширенной: где Как и у любой системы линейных уравнений от одной переменной, так и у любой системы линейных уравнений от n-переменных есть решения представимые в виде вектора: Определение 5. Вектор называется решением системы линейных уравнений (1), если при подстановке его в каждое уравнение системы получаются истинные равенства. Определение 6. Если система линейных уравнений (1) имеет хотя бы одно решение, то её называют совместной, а если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Пример 1. Используем «школьный метод» сложения уравнений. К первому уравнению системы прибавим второе, умноженное на (-2), тогда система сводится к решению уравнения: Теперь, подставляя полученное значение во второе уравнение системы, получаем уравнение для нахождения : , то есть система имеет единственное решение Таким образом, в соответствии с теорией получаем, что данная система совместна. Пример 2. Заметим, что если решение системы существует, то оно удовлетворяет сразу двум уравнениям системы, но стоит заметить, что сумма двух чисел не может одновременно быть равна 0 и -1, а это значит, что система не имеет решений, то есть она несовместная. Определение 7. Если система линейных уравнений (1) имеет ровно одно единственное решение, то она называется определённой, если же система имеет более одного решения, то такая система называется неопределённой. Определение 8. Две системы линейных уравнений от одного и того же числа неизвестных называют равносильными (эквивалентными), если у них совпадают множества решений. §2. Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований. Рассмотрим систему (1) Оказывается, что использованный в прошлом пункте «школьный метод» решения систем уравнений имеет очень глубокие теоретические корни, так как является одним из элементарных преобразований над строками системы. Таких преобразований существует ровно 3 вида: и уравнение поменять местами. уравнению прибавить , умноженное на число , после чего результат записать вместо уравнения. уравнение умножить на отличное от нуля число. Замечание 1. Оказывается, если одна система линейных уравнений, получена из другой с помощью нескольких элементарных преобразований над уравнениями системы, то эти системы линейных уравнений эквиваленты. Замечание 2. Существует метод решения систем линейных уравнений, основанный на применении к системе нескольких элементарных преобразований одновременно, называемый методом Гаусса. В результате применения этого способа система при водится к так называемому ступенчатому виду, в котором система может быть легко решена. Для понимания того, что называется «ступенчатым видом» рассмотрим следующий пример, который является также и доказательством справедливости замечания 2. Доказательство (алгоритм приведения СЛУ к ступенчатому виду) Предполагается изначально, что среди коэффициентов при неизвестных в записи СЛУ всегда имеются ненулевые (если некоторой переменной коэффициент равен 0, то необходимости записывать данный элемент не имеет смысла). Шаг 1. Среди коэффициентов при неизвестной находим ненулевой и уравнение с этим коэффициентом с помощью преобразований типа 1 делаем первым. Затем при помощи преобразования типа 2 под первым уравнением обнуляем все коэффициенты при (первое уравнение умножаем на некоторые числа так, чтобы коэффициенты при в остальных уравнениях стали бы равными 0). В результате выполнения первого шага СЛУ (1) приобретает вид: Где а среди коэффициентов существует хотя бы один отличный от нуля коэффициент. В дальнейших шагах первое уравнение системы фигурировать более не будет, так как оно уже образовало первую ступеньку нашей системы. Шаг 2. Применим рассуждения, аналогичные тем, что были проведены на шаге 1, но теперь уже относительно второго уравнения системы. Тогда, используя элементарные преобразования над строками новой системы получим СЛУ вида: Где а среди коэффициентов существует хотя бы один отличный от нуля коэффициент. Как и любой другой алгоритм, так и алгоритм приведения системы к ступенчатому виду конечен. Предположим, что такой шаг есть, назовём его шаг Шаг . Применим рассуждения, аналогичные тем, что были проведены на шаге 1, но теперь уже относительно уравнения системы. Тогда, используя элементарные преобразования над строками новой системы получим СЛУ вида: Где . Полученная на последнем шаге система называется системой, приведённой к ступенчатому виду §3. Исследование систем линейных уравнений ступенчатого вида. Рассмотрим систем линейных уравнений ступенчатого вида: (1*) Вообще говоря, может оказаться, что , то есть равенства, у которых справа стоят нули отсутствуют. Неизвестные , стоящие на краях ступенек называются главными, а остальные называются свободными (параметрами). Ясно, что если среди чисел имеется хотя бы одно, отличное от нуля число, то система называется несовместной. Оказывается, тогда, что если или , то система называется совместной системой линейных уравнений от переменных. Поясним способ нахождения решений данной системы. Сначала всем свободным неизвестным придаём конкретные числовые значения, а затем, поднимаясь по ступенькам снизу-вверх последовательно будем находить главные неизвестные, выраженные через свободные. Таким образом, найдём систему решений системы, то есть данная система совместна. Замечание 1 Ясно, что каждому набору конкретных числовых значений свободных неизвестных соответствует своё одно конкретное решение СЛУ. Замечание 2 Если свободных неизвестных в системе нет, то в таком случае говорят, что данная система является определённой. Теорема Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда: либо , либо Совместная система линейных уравнений является определённой тогда и только тогда, когда то есть число главных и свободных неизвестных совпадает. §4. Системы линейных однородных уравнений. Определение 1 Система линейных уравнений, у которой свободные коэффициенты равны 0 называется системой линейных однородных уравнений. В общем виде СЛОУ такова: ( ) Заметим, что является очевидным факт того, что строка является решением системы , т.е. любая СЛОУ всегда является совместной. Поэтому ставится вопрос: является ли СЛОУ определённой или неопределённой? Лемма Если число уравнений СЛОУ меньше числа неизвестных, то говорят, что данная СЛОУ неопределённая, т.е. существует по крайней мере одно отличное от нулевого решение. Доказательство Положим для системы , что , т.е. число уравнений меньше, чем неизвестных в данной системе. Согласно теореме из предыдущего параграфа, надо показать, что , где число главных неизвестных (число ступенек), получившихся в системе в результате приведения её к ступенчатому виду. Заметим, что , так как такая ситуация возможна лишь в том случае, если число уравнений совпадает с количеством неизвестных. А это значит, что . Теперь заметим, что отсюда в виду свойства транзитивности получаем, что . А это значит, что если СЛОУ имеет число уравнений меньшее, чем количество неизвестных в этих уравнениях, то такая система является неопределённой. Что и требовалось доказать. Как уже было сказано ранее, каждое уравнение умеет своё решение, а значит имеет и множество решений. Конечно, из всех возможных решений этих уравнений, нам необходимы лишь те, которые удовлетворяют каждому уравнению системы. В совокупности эти решения образуют множество решений системы и, оказывается, даже пространство решений СЛОУ. Но что же такое пространство решений? Определение Пространством решений системы линейных однородных уравнений – называется множество строк длины с действительными компонентами. Свойства пространства решений: Строки можно складывать друг с другом; Строки можно вычитать; Строки можно умножать на числа. Пример Пусть даны строки и некоторое число . Тогда: Сумма строк: Разность строк: Произведение строки на число: Оказывается, относительно введённых операций, множество называется линейным (арифметическим) пространством строк длины с действительными коэффициентами. Определение Пусть а . Тогда называют линейной комбинацией строк или линейным выражением строки через строки . Если в системе строк какая-то строка является линейной комбинацией других строк системы, то такую систему строк называют линейно-зависимой (ЛЗ), а если никакая строка не может быть представлена в виде линейной комбинации других строк системы, то соответственно линейно независимой. Замечание При то есть в случае, когда система состоит только из одного уравнения, то будем считать такую систему ЛЗ, если эта строка «нулевая» и ЛНЗ, если строка «ненулевая». Определение Непустое множество называют подпространством пространства , если любая линейная комбинация строк из есть строка из и относительно введённых операций (сложения, вычитания, умножения на число) данное множество является пространством. Определение Систему строк подпространства называют базисом подпространства , если выполняются 2 условия: Система ЛНЗ; Любая строка из подпространства является линейной комбинацией строк системы . Число строк в базисе равное называют размерностью подпространства и пишут Теперь, когда мы ввели в достаточном количестве необходимые нам определения и теоремы, вернёмся к рассмотрению . Заметим, что решением СЛОУ является строка, которая обращает каждое уравнение системы в истинные тождества. Оказывается, если решения СЛОУ сложить, вычесть или умножить на некоторые числа, то мы получим опять решение СЛОУ. Это означает, что множество решений СЛОУ является подпространством пространства строк поэтому вместо термина «множества решений СЛОУ» используем «пространство решений СЛОУ». Утверждение Сумма решений СЛОУ тоже является решением СЛОУ Доказательство Пусть решения СЛОУ, т.е. Т.е. в виду определения решения получаем справедливость следующих равенств: Рассмотрим строку покажем, что данная строка также есть решение СЛОУ. имеем: Заметим, что для первой и второй скобки, в виду того, что есть решения, известно, что они равны 0. То есть получаем . Что и требовалось доказать. §5. Фундаментальная система решений СЛОУ. Алгоритм её нахождения. Определение Пусть дана СЛОУ (*): Если данная система является определённой, т.е. имеет одно единственное решение, значит только нулевая строка есть её решение. Если же СЛОУ неопределённая, т.е. кроме нулевого решения имеется хотя бы одно отличное от нулевого, то базис пространства решений СЛОУ называется фундаментальной системой решений СЛОУ. Сформулируем алгоритм нахождения фундаментальной системой решений: Шаг 1 Приводим СЛОУ (*) к ступенчатому виду. После того как система приведена к ступенчатому виду, построим таблицу:
Шаг 2 В первой строке главные неизвестные обводим в кружок, затем каждую строку в этой таблице, начиная со второй получим следующим образом: Вместо одной из свободных неизвестных напишем 1 или любое другое число, а остальные свободные неизвестные зануляем. Затем для полученного набора свободных неизвестных находим соответствующее значение главного неизвестного и полностью заполняем данную строку. Данный шаг проделываем столько раз, сколько у нас есть свободных переменных. В виду конечности числа свободных неизвестных данный алгоритм конечен. §6. Основная система решений СЛУ. Алгоритм её нахождения. Пусть дана система линейных уравнений (*): А также соответствующая ей система линейных однородных уравнений (**): Говорят, что СЛОУ (**) ассоциирована к СЛУ (*). Определение Система решений СЛУ(*), называется основной системой решений, если ФСР СЛОУ(**). Замечание Может оказаться, что , т.е. СЛОУ (**) не имеет ФСР, тогда единственное решение СЛУ (*) образует ОСР СЛУ (*). Алгоритм нахождения ОСР системы линейных уравнений (*): Шаг 1 Приведём систему линейных уравнений (*) к ступенчатому виду. Если СЛУ совместна, то продолжаем алгоритм дальше, в противном случае алгоритм прерывается. Построим таблицу типа:
В которой главные неизвестные обводим в кружочек, а свободным неизвестным придаём значение равное 0, находим главные неизвестные и запишем эту строку, т.е. получаем строку . Если система определённая, т.е. имеет одно единственное решение, то процесс считаем завершённым. Если система неопределённая, то алгоритм продолжается дальше. Начиная с 3 строки, одной из свободных неизвестных присваиваем некоторое числовое, отличное от нуля решение, а остальным неизвестным присваиваем 0. Алгоритм продолжаем до тех пор, пока не закончатся свободные неизвестные. Таким образом получаем систему . Замечание Множество решений СЛУ (*) . §7. Связь между множествами решений СЛУ и ассоциированной с ней СЛОУ. Пусть дана система линейных уравнений (*): А также соответствующая ей система линейных однородных уравнений (**): Множество решений СЛУ(*) обозначим через , а множество решений СЛОУ (**) Ранее было отмечено, что подпространство а некоторое подмножество из . Будем считать, что непустое множество, т.е. СЛУ (*) совместна. Имеет место: Теорема , где - некоторое фиксированное (частное) решение СЛУ (*). Замечание Обычно множество в правой части равенство записывают в виде , справедливость которого следует из того факта, что равенство справедливо для любого решения СЛОУ. Утверждение 1 Если и , то , т.е. сумма решения СЛУ (*) и решения СЛОУ (**) образует решение СЛУ (*). Утверждение 2 Если , т.е. разность решений СЛУ (*) есть решение СЛОУ (**). Доказательство теоремы Пусть произвольный элемент из т.е. есть произвольное решение СЛУ (*), а значит . Надо показать, что Рассмотрим строку: где некоторые решения СЛУ (*), тогда в виду утверждения (2) такая что , а это значит, что Пусть теперь , надо показать, что Т.к. то , такое что , согласно утверждению (1), то |