Курс лекций по линейной алгебре Составил Педагог дополнительного образования цдт Прикубанский
 Скачать 434.59 Kb.
|
|
ГЛАВА VI ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП §38. Отображение множеств. Их виды и примеры. Пусть даны непустые множества Х и У. Определение Закон соответствия , по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие некоторый элемент из множества У называется отображением множества Х в множество У. Замечание Если элементу при отображении соответствует элемент , то называют прообразом элемента , а называют образом элемента То, что отображение из Х в У обычно записывают в виде: . Замечание Часто Х называют областью определения для отображения . А множество называют множеством значений для отображения Аксиоматика
Определение Введём понятие множества Данное множество называют образом отображения , иногда говорят, что данное множество называется областью значений отображения . Область значений Y Множество значений Определение Пусть – отображение множеств. В таком случае называется: Инъекцией (инъективным отображением, взаимно-однозначным отображением) из Х в У, если (образы различных элементов различны) или, что тоже самое . ( из равенства образов следует равенство прообразов). Сюръекцией (сюръективным отображением, отображением «на») Х на У, если область значений совпадает с множеством значений, т.е. . Биекцией (биективным отображением, взаимнооднозначным отображением) называется отображение, которое одновременно инъективно и сюръективно. Примеры В качестве закона соответствия будем принимать соответствие, задаваемое функцией: 1 случай. Правило отображения: где . Анализ: 1)заметим, что данное отображение не инъективно, так как одному и тому же значению функции соответствует сразу два отличных по знаку значения 2) отображение не сюръективно, так как множество значений не совпадает с областью значений : 2 случай. Правило отображения: где . Анализ: 1) заметим, что данное отображение не инъективно, так как одному и тому же значению функции соответствует сразу два отличных по знаку значения 2) отображение сюръективно, так как множество значений совпадает с областью значений : 3 случай. Правило отображения: где . Анализ: 1) заметим, что данное отображение инъективно, так как одному и тому же значению функции соответствует одно значение 2) отображение не сюръективно, так как множество значений не совпадает с областью значений : 4 случай. Правило отображения: где . Анализ: 1) заметим, что данное отображение инъективно, так как одному и тому же значению функции соответствует одно значение 2) отображение сюръективно, так как множество значений не совпадает с областью значений : §39. Умножение отображений. Ассоциативность. Симметричная полугруппа преобразований множества. Пусть непустые множества. И отображения. Закон соответствия, определяемый по правилу: называется произведением (композицией) отображений и обозначается: Теорема (ассоциативное произведение отображений). Пусть , отображения. Тогда: Замечание Оказывается, что произведение отображений, если оно существует, тоже является отображением. Два отображения и называются равными, если 1 Утверждение 1 и 2 предлагаются к самостоятельному доказательству. Однако в конце пособия, доказательство будет приведено. 2 Немного позднее мы покажем прямую взаимосвязь между действительными и комплексными числами. А пока ограничимся тем фактом, что множество действительных уже чем множество комплексных чисел, а также тем, что любое действительное число есть комплексное с нулевой второй компонентой. 3 В данной книге доказательство данной теоремы не приводится и остаётся на совести читающего, с надеждой на то, что он попытается доказать данную формулу, используя метод математической индукции. 4 Если речь идёт о главном аргументе, то необходимо заменить угол на соответствующий ему угол, лежащий на отрезке 5 Данный алгоритм будет приведён в конце пособия в качестве дополнительного материала для изучения. |