Курс лекций по линейной алгебре Составил Педагог дополнительного образования цдт Прикубанский
 Скачать 434.59 Kb.
|
|
ГЛАВА II МАТРИЦЫ §8. Матрицы и некоторые связанные с ними понятия. Определение Таблица вида , где называют матрицей с вещественными коэффициентами или матрицей над полем действительных чисел. Заметим, что данная матрица имеет строк, которые будем обозначать и столбцов, которые будем обозначать Если , то матрицу называют квадратной матрицей порядка . Число называется элементом матрицы, стоящим на пересечении строки и столбца, т.е. на Часто матрицу обозначают большими латинскими буквами, или пишут . Выгодно иногда вместо писать . Квадратную матрицу вида , т.е. матрицу под главной диагональю которой стоят 0 называют верхнетреугольной матрицей или левотреугольной. Элементы образуют так называемую главную диагональ, а элементы образуют побочную диагональ. В теории множеств говорилось, что множеством является совокупность объектов, объединённых в группу по какому-либо общему признаку. Тогда, очевидно, что ввести понятие множества матриц. Определение Множеством матриц с действительными компонентами размеров называется множество, обозначаемое следующим образом: . Определение Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и если элементы, стоящие на соответствующих местах одинаковы. На данном множестве вводятся понятия сложения, вычитания матриц, умножения их на некоторые числа. Опишем свойства данных операций: Свойства: Замечание Часто свойство 1) называют ассоциативном свойством, свойства 2) и 3) дистрибутивным свойством (левой и правой дистрибутивностью). Свойство 4) называется унитарностью. Замечание Умножать на числа можно матрицы любых размеров. Для того, чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент умножить на это число, при этом размеры матриц не поменяются. Определение Пусть заданы матрицы . Произведение матриц определяется как Замечание Две матрицы можно перемножить, если число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы, при этом получается матрица, у которой число строк совпадает с числом строк левой матрицы, а число столбцов совпадает с числом столбцов правой матрицы. Чтобы найти элемент произведения 2-х матриц, стоящих на надо каждый элемент строки левой матрицы умножить по порядку на каждый элемент столбца правой матрицы, а затем полученные произведения сложить. Замечание Используя определение суммы, представимой в виде: можно переписать произведение в виде: Свойства §9. Перестановки символов и подстановки ой степени. Введём для удобства использования в дальнейших рассуждениях множество, которое обозначим следующим образом: где . А также для удобства элементы этого множества назовём символами. Определение Перестановкой символов называется такой набор что в записи этого набора участвуют все символы . Замечание Порядок следования символов в перестановке важен! Замечание Перестановка символов ещё называется упорядоченным набором различных символов. Пример Утверждение 1 Число перестановок символов можно вычислить как Замечание Говорят, что одна перестановка получена из другой в результате одной транспозиции, если в первой перестановке после замены двух произвольных символов получится вторая перестановка. Пример Если, например, поменяем местами , то получили транспозицию Ясно, что тоже самое.
Утверждение 2 Все перестановок символов можно расположить так, что каждая получается из предыдущей в результате одной транспозиции (начиная со второй). Причём начинать записывать таким образом перестановки можно с любой. Определение Рассмотрим функцию или тоже самое, что некоторое отображение с областью определения и множеством значений равным Воспользуемся табличным способом задания функции:
В данной таблице и – перестановки символов . Такую функцию называют подстановкой степени. Замечание Обычно данная подстановка записывается в виде: . Причём, говорят, что подстановка записана в каноническом виде, если перестановка упорядочена по возрастанию. Замечание Любая подстановка ой степени может быть представлена в каноническом виде: где некоторая перестановка. Вообще говоря, между множеством подстановок степени и таблицей канонического вида можно установить взаимно-однозначное соответствие. Так как таких таблиц столько же, сколько и перестановок , т.е. то и число подстановок ой степени также равно Определение Подстановка – некоторая функция, которая отображает элементы множества , т.е. символы, на его же элементы. Напомним суть композиции двух функций: . Если функции подстановки степени, то их композиция называется произведением подстановок ой степени тоже является подстановкой ой степени. Пример Кстати, данная подстановку называют - единичной подстановкой или тождественным преобразованием степени. §10. Чётность перестановок символов и подстановок ой степени. Определение Говорят, что символы в записи перестановки образуют элементов вида образуют алгебраическую инверсию, если , т.е. левый символ больше правого. Пример Запишем перестановку . По нашему определению, очевидно, что 3 образует инверсию лишь с 1 и 2, так как 3 больше их и стоит левее. 9 образует инверсию с 8, 7, 5, 4, 6, 2. 8 с 7, 5, 4, 6, 2 и т.д. Замечание Число пар символов, образующих инверсии в записи данной перестановки, называют общим числом инверсий этой перестановки. Пример Запишем перестановку . По нашему определению, очевидно, что 3 образует инверсию лишь с 1 и 2, так как 3 больше их и стоит левее. 9 образует инверсию с 8, 7, 5, 4, 6, 2. 8 с 7, 5, 4, 6, 2 и т.д. В нашем примере общее число пар инверсий будет 21, убедиться в этом можно, если посчитать количество пар для каждого символа. Замечание Если общее число инверсий перестановки чётное (нечётное), то перестановка называется чётной (нечётной). Утверждение 1 В результате одной транспозиции ( ) перестановка символов меняет свою чётность на противоположную. Утверждение 2 Если к перестановке применить чётное число транспозиций, то чётность не меняется. Замечание Перестановка 1,2,3, … n всегда чётная. Определение Подстановка называется чётной (нечётной) если чётности перестановок в её записи одинаковы (противоположны). Утверждение 3 Чётность подстановки ой степени не зависит от вида её записи. Т.е. если в подстановке поменять местами столбики, то получим другую подстановку, такой же чётности, что и исходная. Утверждение 4 При чётных и нечётных перестановок символов будет поровну, т.е. число чётных перестановок равно числу нечётных перестановок, т.е. . Утверждение 5 При чётных и нечётных подстановок ой степени будет поровну, т.е. число чётных подстановок равно числу нечётных подстановок, т.е. . §11. Определитель го порядка. Правило Сарриуса. С квадратной матрицей связывают число, называемое определителем матрицы или детерминантом и обозначают . В третьей форме записи определителя мы можем говорить о его строках и столбцах. Определение Определителем го порядка равен алгебраической сумме слагаемых, каждое из которых равно произведению элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причём слагаемое берётся с «+», если подстановка, составленная из индексов элементов множителей, входящих в него, является чётной и со знаком «–» в противном случае. Проиллюстрируем определение. количество слагаемых. . Данное правило называется правилом Сарриуса, которое можно продемонстрировать в виде рисунка: . §12. Свойства определителя. У определителя выделяется ряд характерных свойств: Свойство 1 При транспонировании матрицы, её определитель не меняется. Замечание Транспонированием матрицы называется процедура, в процессе исполнения которой столбцы и строки матрицы меняются местами. (т.е. строки становятся столбцами, а столбцы строками.). Свойство 2 Если определитель имеет нулевую строку (столбец), то он равен нулю. Свойство 3 Если определитель имеет две равные строки (два равных столбца), то он равен нулю. Свойство 4 Если определитель имеет две пропорциональные строки (два пропорциональных) столбца, то он равен нулю. Свойство 5 Если какая-то строка (какой-либо столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов) матрицы, то её определитель равен нулю. Свойство 6 Если определитель равен нулю, то обязательно какая-либо из строк (столбцов) определителя будут являться линейной комбинацией каких-либо строк (столбцов). Замечание Если для строк найдутся такие числа , что , то говорят, что является линейной комбинацией строк или линейно выражается через строки или является линейной комбинацией строк , с коэффициентами . Замечание Свойства 5 и 6 можно переформулировать в виде критерия равенства определителя нулю. Определитель не менее 2-го порядка равен нулю тогда и только тогда, когда какая-то его строка (какой-либо его столбец) является линейной комбинацией его строк (столбцов). Свойство 7 Аддитивность определителя отражается формулой: . Данное свойство называется свойством аддитивности определителя по столбцу. §13. Алгоритм вычисления определителя при помощи элементарных преобразований над его строками (столбцами). Кроме указанных в прошлом параграфе свойств 1-7, есть ещё 3 свойства, связанные с элементарными преобразованиями над его рядами, т.е. над его строками и столбцами. Свойство 8 Если в матрице поменять местами две строки или два столбца, то его знак поменяется на противоположный. Свойство 9 Если к строкам или столбцам применить элементарные преобразования 2 типа, то определитель не меняется. Свойства 10 Если строки или столбцы умножить на некоторое число, то и сам определитель умножится на это число. Замечание Обычно при вычислении определителя свойство 10 выгоднее формулировать так: Общий множитель элементов строки (элементов столбца) можно вынести за знак определителя. Свойство 11 Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Алгоритм вычисления определителя сколь угодно большого порядка с помощью элементарных преобразований над рядами базируется на свойствах 8)-11). С помощью элементарных преобразований над строками (столбцами) приводим определитель к ступенчатому виду. При применении преобразований 1и 3, получаемый определитель меняется, а при преобразованиях 2-го типа не меняется. Учитывая изменение определителя, по свойству 11 находим определитель ступенчатого вида, он и будет равен исходному. Пример §13. Разложение определителя по его ряду. Пусть дана квадратная матрица где элемент этой матрицы. Вычеркнем у матрицы строку и столбец. Получим новую квадратную матрицу размеров Определитель полученной матрицы называют дополнительным минором к элементу и обозначают . Число называют алгебраическим дополнением к элементу и обозначают . Пример Рассмотрим матрицу Имеет место теорема Теорема Пусть - квадратная матрица порядка и фиксированные. Тогда: . Сумма произведений элементов строки на соответствующие им алгебраические дополнения – эта сумма называется разложением определителя по строке. . Сумма произведений элементов столбца на соответствующие им алгебраические дополнения – эта сумма называется разложением определителя по столбцу. §14. Формула обратной матрицы. Два способа вычисления обратной матрицы. Пусть даны и такие, что , где единичная матрица какого-либо порядка. Тогда матрицу называют обратной матрицей к матрице Замечание Если . То есть квадратные матрицы и одного и того же порядка с единичной матрицей. Определение Матрица, которая имеет обратную матрицу называется обратимой. Замечание Не всякая матрица является обратимой. Все прямоугольные матрицы не обратимы в любом случае, но и не любая квадратная матрица обратима. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она квадратная и её определитель отличен от нуля, т.е. матрица невырожденная. Вариант 1 (по формуле). Пусть и , тогда . Вариант 2 (элементарными преобразованиями). Пусть и . Матрица - искомая обратная матрица. Замечание Если слева возникла нулевая строка, то матрица необратима. А если нулевая строка не возникла, то с помощью элементарных преобразований над строками большой матрицы, поднимаясь снизу-вверх добиваемся, чтобы слева от черты стояла единичная матрица, а справа некоторая матрица . Оказывается, матрица есть искомая обратная матрица. Замечание Оказывается, что если обратная матрица существует, то она определяется единственным образом. Замечание Если обратная матрица к матрице , то матрица к матрице . §15. Правило Крамера решения СЛУ. Замечание По правилу Крамера решаются лишь те системы линейных уравнений, у которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель отличен от нуля. В таком случае СЛУ является определённой (имеет единственное решение) и её решение находят по формулам Крамера: Ищем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных: Тогда единственное решение находится по формулам Крамера: , т.е. этот определитель равен определителю матрицы, у которой столбец заменён на столбец свободных коэффициентов. §16. Ранг матрицы. Рассмотрим арифметическое пространство строк длины с компонентами из множества вещественных чисел . Поскольку мы работаем с матрицами, то для них удобно ввести понятие арифметического пространства столбцов с компонентами из множества вещественных чисел В обоих пространствах определены операции сложения строк (столбцов) и умножения строк (столбцов) на действительные числа. Говорят, что строки (столбцы) матрицы являются линейной комбинацией строк (столбцов) если существуют такие числа что выполняется равенство Замечание Система строк (столбцов) называется линейно зависимой, если хотя бы один её элемент является линейной комбинацией других элементов этой системы. Замечание Системы, состоящие только из одной нулевой строки (одного нулевого столбца) также считаются ЛЗ. Замечание Система строк (столбцов) называется ЛНЗ, если она не является ЛЗ. Замечание Считают, что система, состоящая из одной ненулевой строки (столбца) ЛНЗ. Определение Пусть дана система строк (столбцов), Максимальная по количеству элементов ЛНЗ подсистема элементов этой системы называется базой этой системы. Замечание Если все элементы системы нулевые (нулевые строки или нулевые столбцы), то она не имеет базы. Оказывается, одна и та же система имеет несколько баз, но у каждой из них одинаковое число элементов. Определение Число элементов базы называется рангом системы строк (столбцов). Замечание Если система строк (столбцов), состоящая только из нулевой строки (столбца), то её ранг считается равным нулю. Замечание Оказывается, у любой матрицы (с действительными компонентами) ранг её системы строк равен рангу ей системы столбцов. Поэтому ранг системы строк, что тоже самое, что и ранг системы столбцов) называется рангом матрицы. Замечание Ранг любой матрицы можно вычислить так: с помощью элементарных преобразований не только над строками, но можно и над столбцами приводим матрицу к ступенчатому виду. Число ступенек в получившейся матрице и равно рангу исходной матрицы. Этот приём основан на следующем факте: при элементарных преобразованиях над строками и над столбцами, ранг матрицы не меняется. Замечание Обычно в литературе вместо база системы строк (столбцов) говорят максимально ЛНЗ подсистема. §17. Базисный минор матрицы. Метод окаймления миноров. Пусть дана матрица зафиксируем в ней строку и столбец: номера строк, номера столбцов. Определитель матрицы, стоящий на пересечении этих строк и столбцов называется минором ого порядка матрицы и обозначается иликороче , если известно с какой матрицей работаем. Замечание Оказывается, ранг матрицы равен порядку наибольшего по порядку среди ненулевых её миноров. Этот наибольший по порядку ненулевой минор называют базисным минором матрицы одна и та же матрица может иметь несколько базисных миноров, но порядки у них у всех одинаковы и равны рангу матрицы. Замечание Нулевая матрица не имеет базисного минора. Метод окаймления миноров (минорами). Данный метод позволяет по алгоритму находить один из базисных миноров произвольной не нулевой матрицы. При этом по пути находится ранг матрицы равен порядку этого минора. Алгоритм Пусть дана ненулевая матрица Шаг 1. Выбираем ненулевой минор первого порядка. Пусть он, например, . Шаг 2. Выбираем ненулевой минор второго порядка Среди миноров 2-го порядка, окаймляющих, найденный на предыдущем шаге минор 1-го порядка, ищем ненулевой минор. Возможно, таких миноров не существует или такие миноры существуют, но все равны 0. Тогда, найденный на предыдущем шаге минор 1-го порядка является базисным минором матрицы и ранг матрицы Возможен и случай, что среди окаймляющих миноров 2-го порядка существует ненулевой, выберем его . Шаг 3. Среди миноров 3-го порядка где Т.е. среди миноров 3-го порядка, окаймляющих найденный на шаге 2 минор 2-го порядка, ищем ненулевой. Возможно, таких не существует. Тогда, найденный на предыдущем шаге минор 2-го порядка является базисным минором матрицы и при этом ранг матрицы равен 2. Возможен случай, что среди окаймляющих миноров 3-го порядка существует ненулевой . Переходим к шагу 4 и т.д. В виду конечности размеров матрицы, данный алгоритм конечен. §18. Обобщённое правило Крамера решения СЛУ. Обычное правило Крамера позволяет решать только системы, у которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы отличен от нуля. При этом решение СЛУ сводится к вычислению определителей. Обобщённое правило Крамера позволяет решать любые системы линейных уравнений. В процессе решения по этому правилу тоже вычисляются только определители. Правило Крамера. Методом окаймления миноров пытаемся найти базисный минор этой расширенной матрицы, который расположен слева от черты. В случае, когда такого базисного минора не существует ранг матрицы системы будет меньше ранга расширенной матрицы системы. А значит по теореме Кронекера – Капелле СЛУ будет несовместна. Теорема Кронекера – Капелле. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы. В случае, когда удастся слева от черты найти какой-то базисный минор то дальше действуем так: Сначала выписываем уравнения с номерами , другие уравнения выбрасываем. Затем в каждом из этих уравнений в левой части оставляем слагаемые с неизвестными а остальные слагаемые переносим в правую часть. Неизвестные с номерами называют главными, а остальные неизвестные свободными (параметрами). Рассмотрим СЛУ: Где выражения, не содержащие в своей записи главных неизвестных, но возможно содержащие параметры. Теперь эту СЛУ с параметрами решаем по обычному правилу Крамера. Это возможно потому что в ней число уравнений равно числу неизвестных в левой части. И определитель системы |