Курс лекций по линейной алгебре Составил Педагог дополнительного образования цдт Прикубанский
 Скачать 434.59 Kb.
|
|
ГЛАВА III АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ §19. Определение кольца. Примеры. Пусть некоторое непустое множество, на котором определены две бинарные (алгебраические) операции для удобства называемые сложением (+) и умножением ( ). Замечание Алгебраичность подразумевает следующее: для любой пары элементов множества , взятой в определенном порядке существует и притом единственный элемент данного множества, равный их сумме. Более формально данная запись выглядит так: Определение Множество с введёнными на нём операциями «+», «*» называется кольцом, если выполняется 6 свойств (аксиом кольца): коммутативность сложения. ассоциативность сложения. существование нейтрального элемента по сложению. существование к любому элементу кольца нейтрализующего. правая дистрибутивность. левая дистрибутивность Замечание Если кольцо относительно операции сложения удовлетворяет свойствам 1-4, то говорят, что кольцо называется абелевой группой. Примеры Рассмотрим множество - множество натуральных чиселотносительно операций сложения и умножения. Очевидно, что данные операции бинарны на этом множестве, так как результат любой из данных операций есть натуральное число. Однако, если мы начнём проверять свойства, необходимые для кольца, то получим, что свойство 3 не выполняется, а значит данное множество кольцом не является. Попытаемся расширить множество добавлением в него 0. Но даже в этом случае кольца не получится в виду свойства 4. А значит множество натуральных чисел точно не является кольцом. Добавив к множеству натуральных чисел с нулём ещё и отрицательные целые числа получим множество . Данное множество при проверке окажется удовлетворяющим каждому свойству, а значит является кольцом. Приведём ещё несколько множеств, которые являются кольцами: множество рациональных чисел , множество действительных чисел Рассмотрим множество векторов 3-мерного евклидового пространства относительно операций «+», «х»- векторное произведение. Если рассмотреть данное множество относительно именно векторного произведения, то в таком случае можно говорить о выполнении всех необходимых свойств кольца, а это значит, что данное множество есть кольцо. ( ). §20. Виды колец. Примеры. Пусть множество относительно операций «+», «*» есть кольцо. Если операция умножения в кольце коммутативна, т.е. , то кольцо называется коммутативным кольцом. Если операция умножения в кольце ассоциативна, т.е. , то кольцо называется ассоциативным кольцом. Если в кольце существует единичный элемент по умножению, т.е. такой элемент, что , то кольцо называется кольцом с единицей. Если в кольце найдутся такие ненулевые элементы , для которых, , то такие элементы называют делителями нуля, а само кольцо называют кольцом с делителями нуля. Если в кольце, в котором больше одного элемента, нет делителей нуля, то его называют кольцом без делителей нуля. Коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, без делителей нуля называют областью целостности. Ассоциативное кольцо с единицей, в котором больше 1 элемента называется телом, если для любого элемента этого кольца существует обратный элемент к этому элементу, т.е. Коммутативное тело называется полем. Примеры . Умножение коммутативно и ассоциативно. 1- единичный элемент по умножению, делителей нуля нет, так произведение никаких ненулевых чисел нуль не даёт. Значит множество целых чисел есть область целостности. . С одной стороны, это область целостности, но заметим, что любой отличный от нуля элемент обладает обратным, а значит данное множество есть тело. А так как умножение рациональных чисел ассоциативно, то коммутативное тело или поле. Замечание Всяко поле является областью целостности, но не всякая область целостности является полем. §21. Определение поля. Примеры полей и колец, которые не являются полями. Определение Телом называется ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором больше одного элемента и для любого ненулевого элемента существует обратный. Определение Пусть множество, в котором более одного элемента и на котором определены операции сложения и умножения элементов (обе бинарные). называют полем, если эти операции удовлетворяют 9 аксиомам поля: . . . . . . Замечание Самое маленькое поле состоит из двух элементов. Для удобства обозначим его элементы 0 и 1, т.е. . Операции сложения и умножения можно описать с помощью таблиц Кэли:
Пример Рассмотрим поле . Сначала опишем как получается каждая из таблиц Кэли, а затем построим их. Сложение. Очевидно, что для элементов 0 и 1 таблица Кэли останется такой же, что приведена в параграфе. Рассмотрим случай 2. 2+0=2 – данный элемент лежит в нашем поле, значит на пересечении 0 и 2 (2 и 0) мы запишем число 2. 2+1=3, но 3 не лежит в нашем поле. Как поступить? Делаем так, из порядка кольца , который равен 3 вычитаем данную сумму до тех пор, пока не получим элемент, лежащий в нашем кольце. В конкретном варианте 3-3=0. А нуль лежит в поле. Значит на пересечении 2 и 1 (1 и 2) мы запишем 0. 2+2=4. Выполняем уже знакомую процедуру, 4-3=1, а 1 лежит в нашем поле, значит на пересечении запишем 1. Есть другой вариант трактовки этого алгоритма: сумма элементов, не лежащая в поле, делится на порядок поля и в таблицу записывается значение остатка от деления. Умножение. Для заполнения таблицы Кэли необходимо перемножить соответствующие элементы и, если их произведение не лежит в поле, то в таблицу записать остаток от деления произведения на порядок поля.
Замечание Для поля справедливо следующее утверждение: таблица Кэли (по сложению) в каждой своей строке и каждом своём столбце содержит все элементы поля. (Данное свойство подробнее будет изучено в курсе «Теория групп».) Замечание Оказывается, при таком же построении для мы будем получать кольцо. Это кольцо называется кольцом вычетов по модулю . Оказывается, оно является полем тогда и только тогда, когда простое число. §22. Определение векторного пространства над произвольным полем. Пусть непустое множество и некоторое поле (т.е. на определены две бинарные операции: сложения и умножения элементов). Для удобства элементы множества назовём векторами, а элементы множества назовём числами. На множестве введём две операции: бинарную операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на некоторые числа. Т.е. для Определение Множество называется векторным пространством над произвольным числовым полем , если введённые на нём операции сложения векторов и умножения векторов на числа выполняются 8 аксиом векторного пространства. . . . . . . Свойства векторного пространства. 2) 3) . §23. Группоиды и их виды. Определение Пусть дано непустое множество . Закон соответствия, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов , где , ставится в соответствие однозначно определённый для этой пары элемент, обозначаемый, например , из того же множества , называется алгебраической операцией на множестве Определение Непустое множество , на котором задана алгебраическая операция *, называется группоидом и обозначается Замечание Если в качестве * используют «+» и операцию называют сложением, то в таком случае имеет место аддитивная терминология. А если вместо * подразумевается операция « » и её называют умножением, то имеет место мультипликативная терминология. Определение Группоид ( называется полугруппой, если операция * ассоциативна, т.е. Определение Полугруппа называется моноидом, если она обладает нейтральным элементом: Утверждение 1 В моноиде существует только один нейтральный элемент. Определение Моноид называется группой, если к любому его элементу найдётся нейтрализующий, т.е. Утверждение 12 В группе к любому элементу найдётся только один нейтрализующий элемент. Определение Группа называется абелевой группой, если операция * коммутативна, т.е. Замечание Если в группоиде операция * коммутативна, то его называют коммутативным группоидом. Говорят, например, коммутативная полугруппа, коммутативный моноид. Таблица терминологий
Примеры
§24. Кольца класса вычетов. Делимость. Теорема ( о делении с остатком). Для любых чисел из множества целых чисел и любых натуральных чисел существует и притом единственная пара целых чисел , такая что выполняется равенство , где частное, делитель, остаток. Замечание Если остаток равен 0, то говорят, что число делится на или, что число делит , или кратно Замечание Если два целых числа при делении на имеют равные остатки, то говорят, что число сравнимо с числом по модулю . Записывают это так: Утверждение: При Замечание Часто вместо сравнимо с по модулю , говорят, что и равноостаточны при делении на Утверждение При При Замечание При делении на натуральное некоторого целого числа в остатке может получиться только одно из чисел . Множество целых чисел, которые при делении на дают остаток обозначают и называют классом вычетов по модулю Каждый класс состоит из тех и только тех целых чисел, которые при делении на . Это означает, что любые 2 класса вычетов по модулю не имеют общих элементов, т.е. не пересекаются. Иными словами, имеет место равенство: . Утверждение На множестве определяются две операции, сложение и умножение классов вычетов по модулю по правилам: Сложение . Умножение Сложение Замечание Оказывается одни и те же классы вычетов можно обозначать несколькими способами или Сложение . относительно операции сложения и умножения является кольцом, более того коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей. – составное число, что - является кольцом с делителем 0. Оказывается, поле, тогда и только тогда, когда простое число. §25. Определение векторных пространств и алгебр над произвольными полями. Пусть непустое множество и какое-то поле. Для удобства элементы из множества назовём векторами, а элементы множества назовём числами. На множестве векторов определены 3 операции: Сложение векторов (алгебраическая операция); Умножение векторов на числа; Умножение векторов. Множество А называется алгеброй над полем Р, если: Относительно операций сложения векторов, умножения векторов А является кольцом. Относительно операций сложения векторов и умножения их на числа, А является векторным пространством над полем Р. §26. Поле комплексных чисел. Действия над числами в алгебраической форме. Введём множество упорядоченных пар На данном множестве введём две операции: сложение и умножение, которые являются алгебраическими по правилам: 1) 2) Оказывается относительно этих двух операций С является полем. А так как элементы этого поля называют комплексными числами, то поле называют полем комплексных чисел. Заметим, что? Если то называют нулевым элементом по сложению. , то называют нейтральным элементом по умножению. существование обратного элемента к каждому элементу поля. Замечание Комплексные числа, у которых вторая компонента нулевая ведут себя как действительные числа.2 Т.е. После введения такого отождествления становится понятно, что множество вещественных чисел есть подмножество множества комплексных чисел. Рассмотрим число это так называемая мнимая единица. Данная форма комплексного числа называется алгебраической. Действия над комплексными числами в алгебраической форме: Если комплексное число представлено в виде: вещественная часть комплексного числа; мнимая часть комплексного числа; Число называют сопряжённым к числу Оказывается, сопряжение комплексных чисел обладает следующими свойствами: 1) 2) 3) 4) 5) Пример: Чтобы поделить комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель умножить на сопряженное к знаменателю. Пример: §27. Связь между комплексными и действительными числами. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Ранее было показано, что число со второй компонентой равной нулю есть действительное. Но оказывается, любое комплексное число можно отождествить с точкой в прямоугольной декартовой системе координат. По аналогии с ПДСК с действительными компонентами можно ввести понятие комплексной плоскости: Рассмотрим в этой плоскости число . Определение Модулем комплексного числа называется квадратный корень суммы квадратов вещественной и мнимой части. Т.е. . Оказывается, вместе с понятием комплексного числа и одноимённых чисел, вводится понятие единичной числовой окружности и угла между число и действительной осью. Главный аргумент ( лежит в отрезке . Любой другой аргумент можно получить, используя формулу: Ввиду связи комплексного числа с ПДСК и единичной окружностью, можно получить ключевой прямоугольный треугольник с катетами и . В связи с этим можно получить так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа: Т.е. всякое комплексное число можно записать в тригонометрической форме. Наряду с тригонометрической существует так называемая показательная форма или формула Эйлера: Замечание При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме аргументы складываются, а модули перемножаются: При делении комплексных чисел в тригонометрической форме аргументы вычитаются, а модули делятся: . С тригонометрической формой записи комплексного числа связана формула Муавра. Так как для справедливо: Тогда оказывается, что справедливо равенство: Данная формула и называется формулой Муавра.3 §28. Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел. Пусть и . Определение Корнем n- ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , для которого верно, что Замечание Множество называется множеством корней степени. При для любого натурального числа существует и притом единственный корень n- ой степени, который равен 0. Поэтому будем рассматривать только те случаи, когда . Оказывается, в такой ситуации существует ровно попарно-различных . Замечание Из предыдущего замечания следует, что все корни n- ой степени из числа z лежат на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен , причем аргументы этих всех n- штук попарно различных корней имеют вид: Этот факт значит, что образует правильный n -угольник, вписанный в единичную окружность. Пример: Вычислить Найдём сначала аргумент: 4 Теперь найдём модуль комплексного числа: Приступим к самому алгоритму: Таким образом получаем, что |