Курс лекций по линейной алгебре Составил Педагог дополнительного образования цдт Прикубанский
 Скачать 434.59 Kb.
|
|
ГЛАВА IV МНОГОЧЛЕНЫ §29. Действия над многочленами, степень суммы и произведения многочленов. Область целостности многочленов. Определение Пусть некоторое поле, а символ, тогда выражение вида: , где называется многочленом -ой степени с коэффициентами из поля Элементы этого поля - числа называют коэффициентами многочлена, называют старшим коэффициентом, а называют свободным коэффициентом. Определение Порядком или степенью многочлена называется показатель степени неизвестной при старшем коэффициенте, т.е. число . Степень многочлена принято обозначать в виде Замечание Многочлен, состоящий только из свободного коэффициента называется многочленом нулевой степени. Многочлен, записанный только из 0 называют нулевым многочленом и для удобства считают, что его степень равна Определение Множество всех многочленов с коэффициентами из поля обозначают , а сами многочлены обозначают маленькими латинскими буквами. Пример, Замечание Для того, чтобы получить старший коэффициент при умножении двух многочленов, необходимо перемножить старшие коэффициенты этих многочленов. Свойства множества многочленов: По сложению есть абелева группа; Умножение в коммутативно и ассоциативно; Роль единичного элемента играет многочлен 1; Выполняется свойство дистрибутивности, т.е. является коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей; Не обладает делителями нуля, так как произведение любых двух ненулевых многочленов есть ненулевой многочлен. Что значит, что область целостности. Пусть и , тогда: . §30. Теорема Безу, эквивалентные формулировки. Кратность корня многочлена. 1 формулировка теоремы Безу Пусть многочлен с коэффициентами из поля и , тогда существует и притом единственный многочлен такой что . Определение Число называется корнем многочлена , если 2 формулировка теоремы Безу Если есть корень ненулевого многочлена то существует и притом единственный многочлен такой что . Сформулируем алгоритм отыскания кратности корня многочлена: Пусть дан некоторый ненулевой многочлен и его корень. Шаг 1 По теореме Безу существует такой многочлен такой, что . Если отличен от нуля процесс завершён, иначе следующий шаг. Шаг 2 По теореме Безу существует такой многочлен , такой что , т.е. Если отличен от нуля, то процесс завершён, иначе шаг 3. Шаг 3 По теореме Безу существует такой многочлен , такой что , т.е. Если отличен от нуля, то процесс завершён, иначе… Шаг k По теореме Безу существует такой многочлен , такой что , т.е. Если отличен от нуля, то процесс завершён, иначе… Замечание Данный процесс конечен, т.к. степень многочлена есть конечное конкретное число, которое на каждом шаге уменьшается. На каком-то шаге мы остановимся. Т.е. найдётся такой многочлен , такой что Определение Натуральное число k называется кратностью корня многочлена ,если существует такой многочлен , что верно: §31. Схема Горнера и её применение с иллюстрацией на примерах. По теореме Безу для любого ненулевого многочлена существует и притом единственный многочлен , такой что Существует алгоритм, который позволяет находить многочлен называющийся схемой Горнера. Запишем многочлен в общем виде: Заполним таблицу:
Пример
Замечание Одним из важных применений схемы Горнера является использование её для разложения многочлена по степеням Бинома т.е. зная его можно представить в виде Пример Разложить многочлен по степеням бинома
Используя схему Горнера можно также выяснить, является ли число корнем многочлена и найти его кратность. Также схема Горнера используется в алгоритме отыскания рациональных корней.5 Пример Проверим, является ли число 1 корнем многочлена и найдём его кратность.
Значит 1 является корнем кратности 3. §32. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов. Для любых двух многочленов , где . Существует и притом единственная пара многочленов , такая что выполняется 2 условия: Замечание Такие многочлены называют соответственно частным и остатком при делении многочленов Существование таких многочленов обеспечивает, например алгоритм «деления уголком». Пример
Таким образом, , Алгоритм Евклида Для любых 2 многочленов , где можно построить так называемый многочлен алгоритма Евклида на каждом шаге которого будем делить некоторый многочлен с остатком. Шаг 1. Делим с остатком многочлен на многочлен . Находим многочлены , такие, что Если нулевой многочлен, то алгоритм завершён, иначе продолжаем процесс. Шаг 2. Делим с остатком многочлен на многочлен . Находим многочлены , такие, что Если нулевой многочлен, то алгоритм завершён, иначе продолжаем процесс. Шаг 3. Делим с остатком многочлен на многочлен . Находим многочлены , такие, что Если нулевой многочлен, то алгоритм завершён, иначе продолжаем процесс. Шаг k. Делим с остатком многочлен на многочлен . Находим многочлены , такие, что Если нулевой многочлен, то алгоритм завершён, иначе продолжаем процесс. Данный алгоритм конечен, так как на каждом шаге степень остатка уменьшается. Т.о. на последнем шаге получится остаток – нулевой многочлен. §33. Делимость многочленов, некоторые свойства. НОД и НОК. Связанные с ними понятия. Замечание Говорят, что многочлен делится на многочлен , если и при делении многочлена в остатке получается нулевой многочлен. Тогда пишут: Так же в этом случае говорят, что многочлен является делителем многочлена . Свойства Если многочлены с коэффициентами из одного и того же множества. Тогда: Если Если говорят, что многочлены отличаются на ненулевой множитель, т.е. они ассоциированы. Определение Многочлен называется НОД , если Хотя бы один из многочленов отличен от нуля. Многочлены имеют коэффициенты из одного и того же множества. Многочлен имеет наибольшую возможную степень среди многочленов, на которые одновременно делятся и многочлен Свойства НОД Свойство 1 У набора многочленов может быть несколько НОД, но оказывается, все они обязательно ассоциированы. Свойство 2 Среди всех НОД данного набора многочленов только 1 имеет старший коэффициент равный 1. Обычно многочлен со старшим коэффициентом = 1 называют приведённым. Свойство 3 Таким образом, приведённый многочлен для некоторого набора многочленов среди которых существует хотя бы один отличный от нуля определяется однозначно. Обозначим его . Свойство 4 Если Замечание Набор многочленов, у которых приведённый НОД =1 обычно называют взаимнопростым. Утверждение Пусть набор многочленов, среди которых имеется хотя бы один ненулевой. При получаем, что НОД: . Т.е. для нахождения НОД нескольких многочленов нужно попарно находить НОД многочленов, начиная с 1 и 2. Замечание Оказывается, что для отыскания НОД нескольких многочленов можно воспользоваться алгоритмом Евклида. Оказывается, что в алгоритме Евклида последний ненулевой остаток и является НОД наших многочленов. Замечание Для двух многочленов также определяется понятие НОК многочленов. Определение НОК набора многочленов , среди которых есть отличные от нуля, называется многочлен наименьшей из возможных степеней многочленов, которые одновременно делят любой многочлен набора. Обозначают НОК следующим образом: Замечание Любые два НОК для данного набора многочленов всегда ассоциированы. Утверждение Пусть набор многочленов, среди которых имеется хотя бы один ненулевой. При получаем, что НОК: . Т.е. для нахождения НОК нескольких многочленов нужно попарно находить НОК многочленов, начиная с 1 и 2. §34. Отделение кратных корней многочлена. Процесс отделения кратных корней многочлена основывается на утверждении: Утверждение Пусть и . Если корень кратности многочлена , то будет корнем кратности многочлена В частности, при , очевидно, что данный корень не является корнем многочлена – производной. Замечание На основании основной теоремы алгебры становится понятным факт: Пусть и он ненулевой, поделим многочлен . Найдём частное и нулевой остаток. Тогда имеем: Т.е. оказывается, что всякий корень многочлена является корнем многочлена и наоборот, всякий корень есть корень . Но только кратность всех корней многочлена равна 1. Говорят, что многочлен получен из многочлена в результате отделения кратных корней. Пример Как уже говорилось, каждый корень многочлена есть корень и его многочлена -производной, однако с кратностью меньшей на 1. А это значит, что производная многочлена может быть представлена в виде . Тогда НОД этих многочленов очевидно совпадает с многочленом-производной: Теперь найдём многочлен по формуле, приведённой выше: Заметим, что, как и говорилось в замечании корни многочлена являются корнями многочлена с кратностью 1. Значит деление выполнено верно. ГЛАВА V ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА §35. Определение евклидова и унитарного пространств. Простейшие свойства и примеры. Определение евклидова пространства Векторное пространство над полем называется евклидовым пространством, если на нём кроме 2-х операций – сложения векторов, умножения векторов на числа, задаётся 3 операция, называемая скалярным произведением. Определение операции: Любой упорядоченной паре элементов ставится в соответствие такое число причём выполняются следующие свойства: Замечание Выполнение свойств 2 и 3 эквивалентно выполнению свойства: Это свойство называется линейностью скалярного произведения по левой компоненте. Это свойство линейности обычно записывают в виде: Оказывается, скалярное произведение обладает свойством аддитивности, однородности, линейности не только по левой, но и по правой компоненте. А именно: В общем виде свойство линейности по правой компоненте: В виду того, что скалярное произведение в евклидовом пространстве обладает свойством линейности как по левой, так и по правой компоненте, то следует наличие свойства билинейности: Определение унитарного пространства Векторное пространство над полем называется унитарным пространством, если на нём кроме 2-х операций – сложения векторов, умножения векторов на числа, задаётся 3 операция, называемая скалярным произведением. Определение операции: Любой упорядоченной паре элементов ставится в соответствие такое число причём выполняются следующие свойства: Замечание Выполнение свойств 2 и 3 эквивалентно выполнению свойства: Это свойство называется линейностью скалярного произведения по левой компоненте. Это свойство линейности обычно записывают в виде: Оказывается, скалярное произведение обладает свойством аддитивности, однородности, линейности не только по левой, но и по правой компоненте. А именно: В общем виде свойство полу-линейности по правой компоненте: В виду того, что скалярное произведение в евклидовом пространстве обладает свойством линейности по левой и свойством полу-линейности по правой компоненте, то следует наличие свойства полутора-линейности: Замечание В связи с 4 аксиомой скалярного произведения как в унитарном, так и в евклидовом пространстве подразумевает: действительное неотрицательное число. Имеет смысл: Так как речь идёт о векторах, то данное число называют длиной вектора. Свойства нормы (длины) вектора: Определение скалярного произведения в евклидовом пространстве Если то Определение скалярного произведения в унитарном пространстве Если то Оказывается, т.о. определённое скалярное произведение на и в действительности удовлетворяет всем 4 аксиомам евклидова и унитарного пространства соответственно. §36. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство Шварца. Угол между векторами. Теорема Пусть евклидово пространство, тогда пространства удовлетворяют неравенству: или что тоже самое Доказательство Если хотя бы один из векторов или есть нулевой, то из свойства однородности, следует, что в левой части неравенства стоит 0. А из свойства 4 следует, что в правой части стоит также 0. Отсюда, очевидно следует, что в случае нулевых векторов неравенство верно. Поэтому будем считать, что векторы и ненулевые. Для удобства введём обозначения: Тогда по 4 аксиоме следует, что По свойству билинейности: , в виду замены имеем: По 4 аксиоме , так как мы предположили, что вектор ненулевой. Ч.т.д. Неравенство * называется неравенством Шварца. Замечание Пусть ненулевые векторы векторного пространства Неравенство (**) можно представить в виде: Замечание В виду этого двойного неравенства для любых векторов евклидова пространства можно ввести понятие угла между векторами. Определение Пусть вектора есть ненулевые векторы пространства евклидова . Угол называется углом между векторами , если При этом угол между ненулевыми векторами в унитарном пространстве в силу выполнимости неравенства: определяется так и Т.е. иными словами в унитарном пространстве не бывает тупых углов. §37. Алгоритм ортогонализации (орто-нормализации) Грамма-Шмидта системы векторов унитарного (евклидова) пространства. Определение Пусть евклидово (унитарное) пространство, а система векторов пространства Множество , где , если речь идёт о евклидовом пространстве и , если имеем дело с унитарным пространством. Данное множество называется линейной оболочкой на векторах Определение Линейная оболочка – подпространство пространства , число векторов в котором (в базисе) равно размерности линейной оболочки. Замечание Система векторов называется ортогональной, если скалярное произведение любых двух векторов из этой системы равно 0. Замечание Алгоритм ортогонализации для данной системы векторов даёт ортогональную систему , такую что . Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Пусть …. В результате данного процесса получим ортогональную систему . Поэтому данный процесс получил название процесса ортогонализации. Помимо него можно ввести понятие процесса орто-нормализации. … Система есть система единичных векторов, т.е. векторов единичной длины. Замечание Если в ортогональной системе векторов некоторые векторы умножить на ненулевые числа, то вновь получим ортогональную систему векторов, причём линейные оболочки на старой и на полученной системе векторов совпадут. Это замечание позволяет в ходе процесса ортогонализации украшать получаемые векторы, умножая их на некоторые ненулевые числа. В полученной ортогональной системе векторов могут оказаться нулевые, отбросим их. Ок-ся, останутся ортогональные векторы, образующие базис всей линейной оболочки, т.е. гарантированно ДНЗ векторы. Замечание Для получения ортогонального базиса линейной оболочки, нужно найти какой-либо базис оболочки и применить к нему процесс ортогонализации. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||