конспект механика жидкости и газа. Конспект+лекций. Курс лекций по опд гидравлика тема Предмет и методология гидравлики Курс "Гидравлика" включает в себя несколько самостоятельных дисциплин, которые объединяет такое понятие, как гидравлические и пневматические системы.
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
3 ; g - ускорение свободного падениям с 1 α , 2 α – коэффициенты Корио- лиса для соответствующих сечений 1 V , 1 V – средние скорости в сечениях 1 – 1 и 2 – 2, мс w h – потери напора при движении жидкости отсечения км. Величина h складывается из потерь по длине и местных потерь h м Потери по длине обусловлены действием сил трения по поверхности контакта потока с твердыми стенками. Местные потери возникают на тех участках потока, где утрачивается равномерность (резкое изменение формы русла, направления потока. Это уравнение принято называть уравнением Д. Бернулли для реальных потоков жидкости – в знак глубокого уважения к его трудам в области гидродинамики. Оно широко используется при решении практических задач. Приведем несколько простых примеров его применения. Пример 1. Для измерения скорости в точках открытого потока широко используется трубка Пито. Она представляет собой трубку, конец которой направлен навстречу потоку (рис. 21). Рис. 21. Пусть требуется измерить скорость жидкости в какой-то точке потока. Поместим конец трубки в указанную точку и присоединим её к пьезометру. Жидкость в пьезометре поднимется на высоту H Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно плоскости сравнения О – О. При этом учтем, что, так как жидкость в трубке неподвижна, то потери напора между сечениями h w равны нулю. Тогда уравнение Бернулли для рассматриваемого случая будет иметь вид р h H g V gh р ат ат После преобразований этого уравнения и выражения скорости в явном виде имеем ρ − = = ) ( 2 ат p p Это уравнение позволяет по высоте столба жидкости в трубке H или подавлению р, которое может быть измерено манометром, рассчитать скорость набегающего на трубку потока. Данный метод широко используется в авиации и мореплавании для измерения скоростей самолетов и кораблей относительно среды, в которой они перемещаются. Пример 2. Для непрерывного измерения расхода жидкости или газа в трубе используются расходомеры Вентури. Расходомер представляет собой отрезок трубы сплавным сужением сечения, оборудованный манометрами для измерения давления в широком и суженном сечении (рис. 22). Рис. 22. Расходомер Вентури Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2. Плоскость сравнения О – О проведем через ось симметрии трубы. Потерями напора пренебрежем так как расстояние между сечениями незначительно, а сужение сечения трубы плавное. Тогда уравнение будет иметь вид g V g p g V g p 2 2 2 2 2 2 1 Умножим числитель и знаменатель слагаемых сна квадраты площадей соответствующих сечений w 2 , сократим g и с учетом, что w 1 V 1 =w 2 V 2 =Q получим 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 w Q p Выразив Q в явном виде, получим уравнение для расчета расхода жидкости в трубе − αρ ∆ = − αρ − = 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ) ( 2 w w p w w Расходомеры Вентури широко применяются в трубопроводном транспорте жидкостей и газов. Так как площади сечений, коэффициент Кориолиса и плотность жидкости заранее известны, то для определения расхода необходимо фиксировать только разность давлений. При этом для измерения разности давлений 2 1 p p p − = ∆ обычно применяют такой прибор как диффмано- метр. Из уравнения Бернулли вообще, ив частности для рассмотренной схемы движения жидкости в расходомере Вентури (см. рис. 22), следует очень важный вывод. При установившемся движении с ростом скорости потока давление в сечении падает, а приуменьшении скорости – повышается, хотя на первый взгляд кажется, что должно быть наоборот. Объясняется этот парадокс действием закона сохранения энергии. При увеличении скорости в суженном сечении увеличивается удельная кинетическая энергия жидкости g V 2 2 2 α . Чтобы общий баланс энергии остался неизменным, уменьшается удельная потенциальная энергия g p ρ 2 . Так как плотность жидкости ρ и ускорение свободного падения g величины постоянные, то уменьшается давление р. Рассмотрим проявление этого парадокса на двух примерах (рис. 23). Рис. 23. Пример a. При обтекании профиля крыла самолета (риса) набегающий со скоростью V поток в точке А разделяется, а в точке В вновь соединяется. По условию неразрывности потока частицы воздуха одновременно подошедшие к точке А должны одновременно встретиться в точке В. Но чтобы выполнить это условие при обтекании профиля они должны двигаться с разной скоростью. Путь по верхней образующей длиннее, следовательно скорость обтекания будет больше, чем по нижней. А где больше скорость, там меньше давление, значит р < р. В результате разности давлений появляется подъемная сила F. Пример b. Если взять два листа бумаги, расположить их параллельно см. рис. 23 b) и дунуть между ними, то вопреки ожиданию листы не разойдутся, а наоборот сблизятся (объяснение такое же как ив примере a). Уравнение равномерного потока Это уравнение выражает закон сохранения количества движения применительно к равномерным потокам при условии, что из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести. Для его вывода обратимся к рис. Выделим объем жидкости длиной L, ограниченный сечениями 1 - 1, 2 - 2 и стенками трубы. Согласно закона сохранения количества движения (Количество движения замкнутой системы в процессе ее движения не изменяется) сумма проекций на ось потока всех сил, действующих на жидкость в процессе протекания ее через указанный объем, равна нулю. В нашем случае, на жидкость, находящуюся в выделенном объеме, действуют силы 1) Сила давления на плоскости сечений со стороны окружающей жидкости, равные произведению соответствующего давления p на площадь сечения потока w. Вес жидкости G. Сила трения жидкости о стенки трубы, равная произведению напряжения силы трения жидкости о стенки τ 0 на смоченный периметр сечения χ и на длину участка L, – Поэтому, можем записать 0 sin 0 2 1 = χ τ − − α + L w p G w Поскольку L w g G ρ = , L z z 2 1 sin − = α , то после деления членов уравнения на L w g ρ и замены α sin на его выражение получаем 0 0 2 2 1 1 = ρ χ τ − ρ − − + ρ w g L g p L z z L g или, после некоторых преобразований ρ + − ρ + χ = ρ τ L g p z g p z w g ) ( ) ( 2 2 1 Величина I L g p z g p z = ρ + − ρ + ) ( ) ( 2 2 1 Рис. 24. характеризует изменение пьезометрического напора Н п на единицу длины равномерного потока. Она называется пьезометрическим уклоном. Используя это понятие и учитывая, что w / χ = R , получаем I R g = ρ τ 0 (28) Это соотношение принято называть основным уравнением равномерного потока. Это уравнение применяется при расчетах безнапорных потоков. Тема 4. Режимы движения жидкости и гидродинамические сопротивления. Расчет напорных трубопроводов Рассмотрим равномерный поток в горизонтальной трубе оборудованной пьезометрическими трубками (пьезометрическая трубка - стеклянная трубка, присоединенная к трубе) (рис. 25). Плоскость сравнения проведем через ось трубы, Так как между сечениями нет местных сопротивлений и труба горизонтальная, то уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 будет выглядеть следующим образом L h g V g p g V g p + α + ρ = α + ρ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , где L h - потери напора по длине, м. Так как поток равномерный, то α 1 = α 2 , V 1 = и слагаемые с V можно сократить. Поэтому можем записать, что потери напора по длине между сечениями и 2 – 2 равны разности пьезометрических напоров 2 1 2 1 h h g p g p h L − = ρ − ρ = , где, h 1 и h 2 – высота столба жидкости в пьезометрах, м. Таким образом, для горизонтальных труб величина потери напора L h легко может быть определена с помощью двух пьезометров, как разность уровней в них. Для изучения потерь напора в трубах на установке, оборудованной пьезометрами проведены эксперименты. Опыты проделанные с разными трубами, жидкостями и скоростями, показали, что зависимость потерь напора или уклона жидкости в трубе L h I L / = от средней скорости V имеет вид, показанный на рис. 26. Рис. 25. Как видно из графика при V < кр эта зависимость имеет линейный характера при V > кр – нелинейный. Величина критической скорости кр у разных потоков разная, но указанная особенность зависимости ) (V f I = обнаруживается у всех равномерных потоков. Объяснение этому факту было дано английским ученым О. Рейнольдсом, который в г. провел весьма наглядные опыты на установке, схема которой представлена на рис. 27. Эта установка позволяла по поведению струйки подкрашенной жидкости 3 судить о характере движения частиц жидкости в трубе 2. Результаты оказались следующими. При V < кр струйка подкрашенной жидкости сохраняет вид тонкой прямой нити на всём протяжении потока, что свидетельствует об упорядоченном движении всех частиц жидкости в направлении оси трубы. Такой режим движения частиц жидкости в потоке был назван ламинарным (от латинского слова "Lamina", означающего "слой. При V > кр струйка подкрашенной жидкости уже на начальном участке потока размывается, и вся жидкость в трубе оказывается равномерно окрашенной. Это значит, что частицы жидкости помимо движения в главном направлении (вдоль оси трубы) совершают дополнительные перемещения в поперечном направлении. Более наглядную картину движения жидкости Рис. 26. График зависимости уклона жидкости в трубе от средней скорости Рис. 27. Установка для изучения режимов движения жидкости можно получить при помощи подмешивания в поток мелких частиц с плотностью, равной плотности жидкости. При подобных наблюдениях можно обнаружить, что при V > кр частицы жидкости движутся по весьма сложным зигзагообразным траекториям, сталкиваясь друг с другом и со стенками трубы. Такой режим движения жидкости был назван турбулентным, что соответствует русскому слову "беспорядочный. Итак, установлено, что имеется прямая связь между видом зависимости потери напора по длине h L от средней скорости потока и характером движения частиц жидкости в потоке (режимом движения жидкости. Потери напора при V < кр, что соответствует ламинарному режиму, растут с увеличением средней скорости линейно и медленнее, чем при V > кр (турбулентный режим. Но это значит, что расчетные формулы для потери напора по длине при ламинарных и турбулентных режимах должны быть различными и (для правильного выбора формулы) необходимо перед началом расчета определять режим движения жидкости в каждом рассматриваемом случае. Для этого надо располагать соответствующим критерием режима. Установим его вид. В результате анализа факторов, влияющих на режим движения жидкости, а также экспериментов установлено, что характер потока зависит от сочетания следующих четырех характеристик потока коэффициента вязкости µµµµ , характеризующего вязкость жидкости плотности ρ , характеризующей инерционность жидкости средней скорости потока V, характеризующей продольные скорости движения частиц жидкости диаметра трубы d, характеризующего эффективность направляющего действия стенок трубы. Поскольку увеличение V, d, содействует установлению турбулентного режима, а увеличение установлению ламинарного режима, то можно утверждать, что большим значениям комплекса (V d должны отвечать турбулентные режимы, а малым - ламинарные. Этот комплекс называется числом Рейнольдса. Поскольку ориентируясь на его величину можно судить о режиме, то он может служить критерием режима. Критерий режима первоначально был получен Рейнольдсом на базе качественного анализа движения жидкости аналогичного приведенному выше. Однако, его можно также получить, используя теорию размерности. Для потока в круглой трубе критерий режима движения жидкости имеет вид µ ρ = d V Re или ν = d V Re , (29) где, ν = кинематический коэффициент вязкости жидкости, мс. Чтобы можно было воспользоваться указанным критерием режима на практике, необходимо знать величину критического числа Рейнольдса Re кр, соответствующего границе между ламинарными турбулентным режимами. Эта величина может быть определена только из опытов. Опыты показали, что критическое число Рейнольдса не является определенным, а зависит от условий опыта. В лабораторных условиях (создав плавный вход жидкости в трубу, устранив вибрации трубы и т.п.) удавалось сохранить ламинарный режим до весьма больших значений критерия Рейнольдса (до Re>13000). Однако такая неопределенность величины Re кр не может служить основанием для отказа практического использования числа Рейнольдса в качестве критерия режима движения жидкости. В технических системах отсутствуют условия для сохранения ламинарных режимов до больших чисел Re. Практика показывает, что для потоков в круглых трубах можно принимать кр. (30) Следует отметить, что, для других форм сечения потока, величины критического числа Рейнольдса иные. Таким образом установлено, что существуют два режима движения жидкости – ламинарный и турбулентный. Рассмотрим каждый из них более подробно. Ламинарное движение жидкости в трубах и зазорах Ламинарное движение жидкости в трубах. Уравнение Бернулли для реальных потоков в том виде, в каком мы его получили, не является расчетным, поскольку вопрос об определении входящих в него величин коэффициента Кориолиса α и общих потерь напора h w остался открытым. В этом разделе мы дадим ответ об их определении применительно к ламинарному потоку жидкости в трубах. Начнем с коэффициента Кориолиса α . Для этого сначала получим выражение для эпюры местных скоростей, причем на таком удалении от начала трубы, где она имеет стабильный вид. Выделим объём жидкости в виде цилиндра, у которого радиус равен r и длина рис. 28). Движение жидкости равномерное. Поэтому можно считать, что сумма проекций на ось трубы всех сил, действующих на выделенный объём жидкости, равна нулю. Так как на выделенный объём действуют только силы, обу- Рис. 28. 40 словленные давлениями на торцах (р, р) и напряжением сил вязкости τ , то можем записать L r r p p π τ = π − 2 ) ( 2 Поскольку рассматривается ламинарное движение, то dr Подставив вместо выражение для него, получим после замены (p 1 - p 2 )= ∆ p и некоторых преобразований dr r L p После интегрирования этого выражения получаем const r L p u + µ ∆ − = 2 Так как при r = r 0 u = местная скорость у стенки трубы равна нулю, то, подставив эти граничные условия в уравнение, получим 2 0 2 r L p Следовательно, выражение для эпюры местных скоростей имеет вид ) ( 4 2 2 0 r r L p Как видно, она представляет собой параболу. Максимальную скорость, находящуюся на оси трубы, можно определить по формуле полученной из предыдущей при r = 0: 2 0 max 4 r L p Сравним u max со средней скоростью потока V. Для сравнения рассмотрим ранее полученное выражение для средней скорости через местные скорости Возьмем за элемент площади сечения трубы площадь кольца, заключенного между окружностями, имеющими радиусы r ирис. При этом dw = 2 π r dr Тогда ∫ ∫ ∫ = − π µ ∆ = π = o r o r w dr r r r L p dr r u dw u 0 2 2 0 0 ) ( 2 4 2 = − π µ ∆ = − π µ ∆ ) 4 2 ( 2 4 } ] 2 [ ] 2 [ { 2 4 4 0 4 0 0 0 4 0 0 2 2 0 r r L p r r r L p Рис. 29. 41 2 0 4 0 8 4 2 4 r w L p Подставляя результат в выражение для средней скорости, получаем 2 Сравнивая выражения для u max и находим, что Теперь определим величину поправочного коэффициента α . Из предыдущего материала, где мы рассматривали энергетические параметры потока, имеем w V dw u w 3 Решим интеграл, стоящий в числителе этого выражения, используя расчетную схему из предыдущего вывода (см. рис. 29): = π − µ ∆ = − µ ∆ = ∫ ∫ ∫ dr r r r L p dw r r L p dw u r w w 2 ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( 0 0 3 2 2 0 3 3 2 2 0 3 3 = = − + − π µ ∆ = ∫ dr r r r r r r r L p r ) 3 3 ( 2 ) 4 ( 6 4 2 0 2 4 0 0 0 6 0 3 = − + − π µ ∆ = } ] 8 [ ] 6 [ 3 ] 4 [ 3 ] 2 [ { 2 ) 4 ( 0 0 8 0 0 6 2 0 0 0 4 4 0 0 0 2 6 0 3 r r r r r r r r r r r L p = π µ ∆ = − + − π µ ∆ = 8 1 2 ) 4 ( } 8 1 2 1 4 3 2 1 { 2 ) 4 ( 8 0 3 8 0 3 r L p r L p w V w r L p 2 2 ) 8 ( 3 3 2 0 = µ ∆ = , 2 2 3 3 = = α w V w V (31) Таким образом, истинное значение кинетической энергии ламинарного потока жидкости в трубе в два раза больше того, которое получается приза- мене местных скоростей средней скоростью потока. Следует отметить, что на начальном участке потока (при входе в трубу) эпюра местных скоростей отличается от рассмотренной нами. Как установлено экспериментально, эпюра местных скоростей формируется в параболическую при длине начального участка d L нач Re 029 , 0 = Поэтому, выведенные зависимости и значение α = 2 справедливы только при L > L нач Получим расчетную формулу для потери напора по длине трубы (h L ) при ламинарном движении жидкости. Для этого воспользуемся ранее полученной зависимостью для средней скорости при ламинарном режиме |